1、基础知识一、函数的值域的定义在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的函数值值域二、基本初等函数的值域1ykxb(k0)的值域为.2yax2bxc(a0)的值域是当a0时，值域为；当a0，且a1)的值域是5ylogax(a0，且a1)的值域是.6ysinx，ycosx，ytanx的值域分别为、R.(0，)R1,11,1三、确定函数的值域的原则1当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合2当函数yf(x)的图象给出时，函数的值域是指3当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定4当函数由实际问题给出时，函数的值域由
2、问题的实际意义确定图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合?四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式常用的方法有：1直接法从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取值范围，如y(x3)的值域为2配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法，如y4x2x的值域为2，)(0，)3反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域形如y(a0)的函数的值域，均可使用反函数法此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解，如：y的值域为(1,1)4判别式法把函数转化成关于x
3、的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域形如y(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解如y的值域为2,15换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域形如yaxb(a、b、c、d均为常数，且a0)的函数常用此法求解，如yx的值域为1，)6不等式法利用基本不等式：ab2(a、bR)求函数的值域用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，如yx的值域为(，44，)7单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域形如y的函数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为,)528
4、求导法当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，如yx3x，x0,2的值域为9数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如y的值域为0，)易错知识一、值域求解失误1求ysin2xsinx1的值域结果为，)对吗？答案：，32已知函数f(x)log2(x2axa)的值域为R，则实数a的取值范围_答案：(，40，)二、忽视定义域对值域的制约作用而失误3 已 知 f(x)2 log3x，其 中 x1,9，当 x _时，函数yf(x)2f(x2)有最大值，最大值为_答案：x3 13解析：先求出函数yf(x)2f(x2)的定义
5、域：1x3.函数的定义域为1,3，又yf(x)2f(x2)(2log3x)222log3x(log3x)26log3x6(log3x3)23.1x3.0log3x1.则x1时有最小值6，当x3时有最大值13.三、区分求函数值域的方法4求函数yx与yx的值域，虽然形式上接近但采用方法却不同，前者采用的方法为_，值 域 为 _；后 者 采 用 的 方 法 为_，值域为_答案：换元法(，三角换元法 1，解析：yx，令t，x1t2yt2t1，t0，)y(，yx，令xsin，ysincossin()，y1，回归教材1(教材P1016题改编)函数y(xR)的值域是()A(0,1 B(0,1)C0,1)D0
6、,1)解析：1x21(0,1答案：A2函数yx2x1(x0)的最小值为()A.B2 C1 D3解析：y(x1)2，x0y1，故选C.答案：C3值域是(0，)的函数是()Ayx2x1By()1xCy31Dy|log2x2|解析：A中y，)，C中y1，D中y0，故应选B.答案：B5(2008重庆)函数f(x)的最大值为()A.B.C.D1解析：将解析式整理，得y，利用均值不等式求得f(x)的最大值为.答案：B4(教材P10213题改编)函数y的值域为()A(0,1B0,1)C(0,1)D0,1答案：B【例1】求下列函数的值域(1)y4；(2)y2x；(3)yx.解析(1)(配方法)：由32xx20
7、，得1x3.y4，当x1时，ymin422.当x1或3时，ymax4.函数值域为2,4(2)(换元法)：令t(t0)，则xyt2t1(t)2，当t即x时，ymax，无最小值函数值域为(，3)(三角换元法)函数的定义域是x|1x1设xsint，t，则yx化为ysintcost，yt t，1sin(t)，y1.原来的函数的值域是，1总结评述 对于形如yax2bxc(a0)或求二次复合函数的值域可用配方法对于形如yaxb的函数令t，x且t0，使之变形为二次函数，再利用配方，对于含的结构的函数，可利用三角代换，令xacos，0，或令xasin，对形如y等一些结构简单的函数，可通过直接法 求下列函数的值
8、域：(1)y()|x|；(2)ysin2x4cosx1；(3)y2x5.解析：(1)|x|0,0()|x|1，值域为(0,1(2)ysin2x4cosx1cos2x4cosx2(cosx2)26 由1cosx1.3cosx211(cosx2)293(cosx2)2653y5，值域为3,5【例2】求下列函数的值域：(1)y；(2)y.解析(1)解法一：(反函数法)由y解出x，得x，2y10，函数的值域为y|y，且yR.解法二：(分离常数法)y，y，故函数的值域为y|y且yR(2)(判别式法)：由y得yx23x4y0，当y0时，x0，当y0时，由0得y，函数定义域为R，函数y的值域为.总结评述 反
9、函数的定义域即为原函数的值域，形如y(a0)的函数值域可用反函数法，也可用配凑法把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法形如y(a1，a2不同时为0)的函数的值域常用此法此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式0解得，但要注意判别式中二次项系数为零和不为零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去公因式回到方法去解决求下列函数的值域解析：(1)解法1：(化为真分式)：解法2：(利用反函数法)：由y得2x0，所以y(1,1)(2)由y变形得(y1)x2(y1)xy30当y1时，此方程无解；当y1时，xR
10、(y1)24(y1)(y3)0解得1y，又y1，1y.故函数的值域为y|1y.【例3】(2007重庆模拟)已知：f(x)3xx2|x|(xR.(1)求f(x)的最大值；(2)是否存在实数a，b使f(x)在区间a，b上的取值范围为解析(1)f(x)3xx2|x|当x0时，f(x)33x23(1x)(1x)，所以当x(0,1)，f(x)0，所以x(0,1)时f(x)递增当x(1，)，f(x)0，所以x(1，)时f(x)递减当x0，所以x(，0)时f(x)递增因为函数f(x)在x0处连续，所以x(，1)时f(x)递增，x(1，)时f(x)递减所以f(x)maxf(1)2.(2)由ab0.0ab时，由
11、(1)可知：x(0，)时，f(x)maxf(1)2，所以2a1，即1ab，由(1)可知：xa，b时f(x)递减，所以即a，b是方程f(x)的两根3xx3x43x220 x11；x2，所以a1，b.ab0时，由(1)可知：x(，0)时f(x)递增，所以相减得3a2abb2；相加得3a2abb2，所以ab0，无解综合，存在a1，b使f(x)在区间a，b上的取值范围为总结评述 本题考查了导数及其运用，以及函数值域的讨论如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各 切 去 一 个 全 等 的 四 边形，再沿虚线折起，做成一 个 无 盖 的 正 六 棱 柱 容器当这个正六棱柱容器的 底 面 边 长 为 _时，其容积最大解析：本小题主要考查正六棱柱的概念与性质，以及函数的相关知识，考查考生运用导数知识解决实际问题的能力设被切去的全等四边形的一边为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为12x，高为x，所以正六棱柱的体积V6(12x)2x(0 x0，V是增函数；当x(，)时，V0，V是减函数当x时，V有最大值，此时正六棱柱的底面边长为.答案：1求值域无程序化方法，应在熟练掌握几种基本方法的基础上，对具体的题目作具体的分析，选择最优的方法解决2求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用3遇到含有字母系数或参数区间的一类求值域问题时，应对字母进行合理的分类讨论
