1、【赢在高考黄金 8 卷】备战 2023 年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷 08数学（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知集合,1Ax y xy，,Z,ZBx y xy，则 AB有（）个真子集.A3B16C15D4【答案】A【分析】计算 1,1,1,1AB ，得到真子集个数.【详解】,1Ax y xy，,Z,ZBx y xy，则 1,1,1,1AB ，真子集个数为2213.故选：A2若复数 z 满足|2,3zzz z，则2z 的实部为（）A 2B 1C1D2【答案
2、】C【分析】设复数i,(,R)zxyx y，则izxy,故根据|2,3zzz z可求得222,1xy，结合复数的乘方运算，可求得答案.【详解】设复数i,(,R)zxyx y，则izxy，则由|2,3zzz z可得|2 i|2y 且223xy，解得222,1xy，故2222(i)2ixyxyxzy，其实部为222 1 1xy .故选：C.3在平行四边形 ABCD中，对角线 AC 与 BD 交于点OE，为CD 中点，AE 与 BD 交于点 F，若 ACa BDb，则 FE（）A 11124abB 3144abC 11412abD 1344ab【答案】C【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用,
3、a b 表示出,FD DE 即可求解作答.【详解】平行四边形 ABCD的对角线 AC 与 BD 交于点O，如图，则1111,2222OCACa ODBDb，而点 E 为CD 的中点，有1111()2244DEDCOCODab，由/DEAB 得：|12|FDDEBFAB，则有1133FDBDb，所以11111344412FEFDDEbabab.故选：C4公元656 年，唐代李淳风注九章算术时提到祖暅的开立圆术祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是立体的高意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等则体积相等更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立
4、体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理已知将双曲线22:182xyC 与直线2y 围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体 E，则旋转体 E 的体积是（）A 32 3B 64 3C 80 3D160 3【答案】D【分析】求出2y ，12yx 绕 y 轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积，用垂直于 y轴的平面去截旋转体 E，所得圆环的面积为8，结合祖暅原理可求得旋转体的体积.【详解】22yhh 与双曲线的交点为 284,Phh、284,Qhh，则用垂直于 y 轴的平面截旋转体 E 的截面为
5、圆面，截面圆的半径为284h，截面面积为284h，22yhh 与双曲线的渐近线12yx 的交点为2,h h，所以24h是用垂直于 y 轴的平面截两条渐近线绕 y 轴旋转得到的旋转体的截面面积，2y ，12yx 绕 y 轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为16422 1633，用垂直于 y 轴的平面去截旋转体 E，所得圆环的面积为 22 84 28hh，因为底面半径为 2 2，高为 4 的圆柱的截面面积为8，体积为 4 832，所以根据祖暅原理得旋转体 E 的体积为641604 833V，故选：D5甲乙两袋中各有大小相同的 10 个球，甲袋有 5 个红球，5 个白球；乙袋有 7 个红球，3个白
6、球，随机选择一袋，然后从中随机摸出两个球，P A 表示恰好摸到一个红球与一个白球的事件的概率，则 P A 等于（）A 2390B 59C 2345D12【答案】C【分析】事件1E 为“取到甲袋”，事件2E 为“取到乙袋”，根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算可得；【详解】设事件1E 为“取到甲袋”，事件2E 为“取到乙袋”，则1212P EP E，11551210C C5C9P A E，11732210C C7C15P A E则 1211221517232921545P AP AEP AEP EP A EP EP A E.故选：C.6已知函数 cos(0)3f xx在 ,6 4上单调递增，
7、且当,4 3x 时，0f x 恒成立，则 的取值范围为（）A522 170,232B4170,8,32C4280,8,33D5220,823【答案】B【分析】由已知，分别根据函数 fx 在区间 ,6 4上单调递增，在,4 3x 时，0f x 恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合 的本身范围进行求解.【详解】由已知，函数 cos(0)3f xx在 ,6 4上单调递增，所以1112 2 Z3kxkk，解得：1112 2 2Z33kkxk，由于111Z,6 42 2 233kkk ，所以112 2632 43kk，解得：11141248Z3kkk又因为函数 cos(0)3f xx在,4 3x 上
8、0f x 恒成立，所以22222+Z232kxkk，解得：222225Z66kkxk，由于222225,Z6,463kkk ，所以222462536kk，解得：2222586Z32kkk又因为0，当120kk时，由可知：04432532，解得40 3，；当121kk 时，由可知：02883221732，解得178 2，.所以 的取值范围为4170,8,32.故选：B.【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.7已知0.16a，0.4e1b ，0.82ln1.4c，则 a，
9、b，c 的大小关系为（）A acbB abcCbacDcba【答案】C【分析】a 与b 可看作20.4 与0.4e1，从而可构造函数2()e1xf xx 比大小，a 与c 可看作20.4 与 2 0.4ln(1 0.4)，从而可构造函数2()22ln(1)g xxxx比大小.【详解】构造函数2()e1(0)xf xxx，则()e2xfxx，令()e2xh xx，则()e2xh x 令 0h x，得ln 2x，所以 h x 在0,ln 2 上单调递减，在ln 2,上单调递增，故()(ln 2)22ln 20h xh，因此 fx 在0,上单调递增，所以 00fxf令 x0.4，则0.42(0.4)
10、e1 0.40f ，所以0.4e10.16，即 ab构造函数2()22ln(1)(0)g xxxxx，则222()22011xg xxxx，因此 g x 在0,上单调递减，所以 00g xg，令 x0.4，则(0.4)0.82ln1.40.160g，所以0.82ln1.40.16，所以 ca故 bac故选：C【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量 x 就有了函数的形式，如在本题中0.16a，0.4e1b ，将0.16a 化为20.4 的目的就是出现 0.4，以便与0.4e1b 中的0.4 一致，从而
11、只需比较2yx=与e1xy 这两个函数大小 关系即可.在构造函数后比较大小还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小.8已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC，2SA，若球 O 的表面积为 16，则三棱锥 SABC 的体积的最大值为（）A 3 32B33C 9 32D63【答案】A【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，从而求出三角形 ABC 的外接圆半径，三棱锥底面三角形 ABC 面积最大时，三棱锥 SABC 的体积取得最大值，求出三角形 ABC 为等边三角形时，三角形 ABC 面积最大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.【详解】设球的半径为 R
12、，则2416R，解得：2R，设三角形 ABC 的外接圆半径为 r，则2222SArR，即214r，解得：3r，当三棱锥底面三角形 ABC 面积最大时，三棱锥 SABC 的体积取得最大值，如图所示：要想 ABC面积最大，当 A 位于 BC 垂直平分线与圆的交点（BC 与 A 点位于圆心两侧）时，此时三角形 ABC 为等腰三角形时，面积最大，连接 BO 并延长，交圆于点 D，连接 CD，则2 3BD，BCBC，设,0,2CBD，则2 3 cosBC，3sinOE，33sinAEAOOE，则112 3 cos33 sin3cos1sin22ABCSBC AE，令3cos1 siny，则223sin1
13、 sin3cos6sin3sin33 sin1 2sin1y ，当1sin0,2，即0,6 时，0 y，当1sin,12，即,6 2时，0 y，即3cos1 siny在0,6单调递增，在,6 2上单调递减，所以当6 时，3cos1 siny取得最大值，max9 33cos1 sin664y，则三棱锥 SABC 的体积的最大值为 19 33 32342故选：A【点睛】立体几何外接球问题，要能够画出图形，解题的突破口，找到外接球球心在某个特殊平面的投影，进而找到半径，列出方程，或空间想象，数形结合求出最值等.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项
14、符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9已知函数 32f xxaxbx的导函数为 fx，则（）A若 fx 为奇函数，则 fx为偶函数B若 00f，则 fx 为奇函数C若 fx的最小值为 0，则23abD若 fx为偶函数，则 fx 为奇函数【答案】ACD【分析】根据导函数的性质和函数奇偶性进行逐项判断.【详解】解：由题意得：对于选项 A：若 fx 为奇函数，fxfx，则3232xaxbxxaxbx，故0a，又2()3fxxb，()()fxfx是偶函数，故 A 正确；对于选项 B：若 00f，又 232fxxaxb，则0b，故 32f xxax，32fxxax
15、，当0a 时，()fxf x，()f x 是奇函数，当0a 时，()fxf x，()f x 不是奇函数，所以 fx 不一定是奇函数，故 B 错误；对于选项 C：若 fx的最小值为 0，22232333aafxxaxbxb，2min()03afxb，则23ab，故 C 正确；对于选项 D：若 fx为偶函数，232fxxaxb，232fxxaxb，fxfx，解得0a，故 3f xxbx，fxfx，所以 fx 为奇函数，故 D 正确.故选：ACD10正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，E，F，G 分别为 BC，11,CC BB 的中点，则（）A直线1D D 与直线 AF 垂直B直线1AG
16、与平面 AEF 平行C平面 AEF 截正方体所得的截面面积为 98D点1A 与点 D 到平面 AEF 的距离相等【答案】BCD【分析】根据棱柱的结构特征，建立以 D 为原点，以 DA、DC、1D D 所在的直线为 x 轴、y轴、z 轴的空间直角坐标系 Dxyz，利用向量法即可判断 A，根据线线平行即可判断 B,根据梯形面积即可判断 C,根据中点关系即可判断 D.【详解】在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，建立以 D 为原点，以 DA、DC、1D D 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系 Dxyz，如图所示：E、F、G 分别为 BC、1CC、1BB 的中点，则0,
17、0,0D，1 0,0,1D，1,0,0A，10,1,2F，对于 A,10,0,1DD，11,1,2AF，1102DDAF，故 A 错误；对于 B：连接1AD,1D F，1/ADEF，A,1D,E,F 四点共面，由于11/A DGF,11 A DGF,所以四边形11A D FG 为平行四边形，故11/AGD F，又1AG 平面 AEF，1D F 平面 AEF，1/AG平面 AEF，故 B 正确，对于 C，连接1AD，1FD，1/ADEF，四边形1AD FE 为平面 AEF 截正方体所得的截面，221112AD，22EF，22115122D FAE，四边形1AD FE 为等腰梯形，高为22523
18、2244，则四边形1AD FE 的面积为 123 2922248，故 C 正确；对于 D,连接1A D 交1AD 于点O，故O是1A D 的中点，且O是线段1A D 与平面1AD FE 的交点，因此点1A 和点 D 到平面 AEF 的距离相等，故 D 正确故选：BCD11抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C yx O为坐标原点，一束平行于 x 轴的光线 1l 从点41,116P射入，经过C 上的点11,A x y反射后，再经C 上另一点22,B xy反射后，沿
19、直线 2l 射出，经过点Q，则（）A PB 平分ABQB121y y C延长 AO 交直线14x 于点 D，则,D B Q三点共线D2516AB【答案】ACD【分析】对于 A，根据题意求得1,1A，11,164B，从而证得 PAAB，结合平面几何的知识易得 PB 平分ABQ；对于 B，直接代入12,y y 即可得到1214y y ；对于 C，结合题意求得11,44D，由,D B Q的纵坐标相同得,D B Q三点共线；对于 D，由选项 A 可知2516AB.【详解】根据题意，由2:C yx得1,04F ，又由/PAx 轴，得1,1A x，代入2:C yx得11x（负值舍去），则1,1A，所以14
20、1314AFk，故直线 AF 为4134yx，即 4310 xy，依题意知 AB 经过抛物线焦点 F，故联立24310 xyyx，解得11614xy ，即11,164B，对于 A，412511616PA ，2211251116416AB，故 PAAB，所以APBABP，又因为/PAx 轴，/BQx 轴，所以/PABQ，故APBPBQ，所以ABPPBQ，则 PB 平分ABQ，故 A 正确；对于 B，因为12141,yy ，故1214y y ，故 B 错误；对于 C，易得 AO 的方程为 yx，联立14yxx ，故11,44D，又/BQx 轴，所以,D B Q三点的纵坐标都相同，则,D B Q三点
21、共线，故 C 正确；对于 D，由选项 A 知2516AB，故 D 正确.故选：ACD.12已知函数 e2xf xx和 ln2g xxx，若 120f xg x，则（）A122xxB110 x2C12ex xD1221lnlnxxxx【答案】ABD【分析】A 选项，根据反函数求解出2yx 与 yx交点坐标，从而得到122xx；B选项，由零点存在性定理得到110 x2，21ex；C 选项，化简整理得到1222222lnx xxxxx，求出lnyxx在1,e 上的单调性，求出取值范围；D 选项，构造函数 ln xh xx，根据2121212xxx x得到12101xx，根据 h x 在0,1 上单调
22、递增，所以 121h xhx，即12121lnln1xxxx，整理得1221lnlnxxxx，D 正确【详解】由于exy 和lnyx互为反函数，则exy 和lnyx的图象关于直线 yx对称，将2yx 与 yx联立求得交点为1,1，则1212xx，即122xx，A 正确易知 fx 为单调递增函数，因为 010f ，13e022f ，由零点存在性定理可知110 x2，B 正确易知 g x 为单调递减函数，110g ，3ee02g，由零点存在性定理可知21ex因为1222222lnx xxxxx，令lnyxx，则1 ln0yx 在1,e 上恒成立，所以lnyxx在1,e 上单调递增，所以1222el
23、n2x xxx，C 错误因为1 0 x，20 x，所以2121212xxx x，所以12101xx 令 ln xh xx，则 21lnxhxx，当 01x 时，0h x，h x 在0,1 上单调递增，所以 121h xhx，即12121lnln1xxxx，整理得1221lnlnxxxx，D 正确故选：ABD【点睛】结论点睛：对于双变量问题，要结合两个变量的关系，将双变量问题转化为单变量问题再进行求解，也可通过研究函数的单调性及两个变量的不等关系进行求解三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13在5nxx的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 64，则3x 的系数为_【答案
24、】375【分析】分别求出各项系数和与二项式系数和，相比，求出 n，得到二项式即其通项公式，即可求出3x 的系数.【详解】解：由题意在5nxx中，令1x ，即可得到各项系数和为：5141nn 二项式系数和为 2n，各项系数和与二项式系数和之比为 64，4642nn解得：6n.二项式为65xx展开式的通项公式为：3662665CC5rrrrrrxxx 当3632 r时，解得：2r 3x 的系数为：2266 5C5253752故答案为：375.14已知曲线2:242C yx，直线:0l xya，曲线C 上恰有 3 个点到直线l 的距离为 1，则 a 的取值范围是_.【答案】22,2【分析】根据曲线C
25、 的表达式画出半圆图象，再利用直线与曲线C 的临界位置讨论 a 的取值范围，由于曲线C 上恰有 3 个点到直线l 的距离为 1，根据两平行线间的距离公式并结合图象即可确定实数 a 的取值范围.【详解】由2y，得曲线C 是以2,2 为圆心，半径为 2 的圆的上半部分.在曲线C 中，令2y ，得0 x 或 4，将0,2 代入直线l 得2a，将4,2 代入直线l 得2a ，当直线l 与曲线C 相切时，由圆心到直线的距离为 2，得2 2a，所以当 22a 或2 2a 时，直线l 与曲线C 有一个公共点；当 22 2a 时，直线l 与曲线C 有两个公共点.如下图所示：记与曲线C 相切的直线为 1:2 2
26、0lxy，过0,2 且斜率为 1 的直线记为 2:20lxy.当直线l 与 1l 距离为 1 时，即2 212a ，3 2a 或2a，取2a，此时曲线C 上有 2 个点到直线:20l xy距离为 1；当直线l 与 2l 距离为 1 时，即212a ，22a 或22a，取22a，此时恰有 3 个点到直线l 的距离为 1.222a.故答案为：222a.15已知()f x 为奇函数，当(0,1x，()lnf xx，且()f x 关于直线1x 对称.设方程()1f xx的正数解为12,nx xx，且任意的Nn，总存在实数 M，使得1nnxxM 成立，则实数 M 的最小值为_.【答案】2【分析】根据题意
27、可得函数 fx 是以 4 为周期的周期函数，作出函数 fx 的图像，结合图像可知1lim()nnnxx的几何意义为函数 fx 两条渐近线之间的距离，从而可得到12nnxx，进而求出 M 的最小值.【详解】因为()f x 为奇函数，所以 f xfx，且 00f，又()f x 关于直线1x 对称，所以11fxfx，所以 2+=fxfxf x，则 42fxfxf x，所以函数 fx 是以 4 为周期的周期函数，作出函数 yf x和1yx 的图像如图所示：由()1f xx 的正数解依次为1x、2x、3x、nx、，则1lim()nnnxx的几何意义为函数 fx 两条渐近线之间的距离为 2，所以1lim(
28、)2nnnxx.所以得任意的Nn，12nnxx，已知任意的Nn，总存在实数 M，使得1nnxxM 成立，可得2M，即 M 的最小值为 2.故答案为：2.16已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，点 P 在双曲线2222:1xyC ab 上，点 H 在直线 xa上，且满足122340HPHFHF.若存在实数 使得122112sinsinPFPFOHOPPF FPF F，则双曲线C 的离心率为_【答案】2【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出1243PFPF，再表示出12F F，根据双曲线离心率的定义求解即可.【详解】设直线 PH 交 x
29、轴于点Q，如图，设12PF F的外接圆半径为 R，由122112sinsinPFPFOHOPPF FPF F，有12211222 sin2 sinPFPFOHOPRRPF FRPF F，故12122PFPFPHRPFPF，所以直线 PH 过12PF F的内心，设12PF F的内切圆圆心为 I，内切圆圆 I 分别切1PF、2PF、12F F 于点 M、N、T，由切线长定理可得11F MFT，22F NF T，PMPN，所以，1212122PFPFPMF MPNF NFTF Ta，结合图形可得 22TTTxccxxa，所以，Txa，故12PF F的内心的横坐标为 a，因为点 H 在直线 xa上，所
30、以点 H 为12PF F的内心.由122340HPHFHF可得122340PHPFPHPFPH，所以，12934PHPFPF，记12934777PHPFPF，设123477PGPFPF，则 214377PGPFPFPG，所以，2134F GGF，所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PHF FQ，故点G 与点Q 重合，且有12934777PHPFPFPQ，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF、2PF 的距离相等，故12112243PF QPF QSPFFQSPFF Q，同理可得1212PHPFPFHQFQF Q，令23PFm，则14PFm，且1212121272PHPFPFPFPFHQ
31、FQF QFQF Q，故12122FQF QF Fm.则双曲线C 的离心率12122243F FcmeaPFPFmm.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点 H 为12PF F的内心，再结合角平分线定理推导出112243PFFQPFF Q，以及1212PHPFPFHQFQF Q，再利用双曲线的定义来进行求解.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知数列 na满足11a ，21222nnaann，nN.(1)证明：数列21nan为等比数列.(2)设(1)nnnba，求数列 nb的前 2n 项和2nS.【答案】(1)证
32、明见解析(2)224123nnSnn【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证.（2）首先求出nb 的表达式，然后利用分组求和即可.【详解】（1）（法一）由21222nnaann，知221(1)121nnanan ，又21111a ，故21nan是首项为 1，公比为 2 的等比数列，得证.（法二）11a ，可知：21111a ，又21222nnaann，所以22221222(1)1222(1)12222111nnnnnnanannnanananan，21nan是首项为 1，公比为 2 的等比数列，得证.（2）由（1）知：2112nnan，则1221nnan，12(1)(1)2(1)(1)nnnn
33、nnnban 21222214nnnban，222212121(21)nnnban ，1212221441nnnnnbbaan，12123421214437(41)nnnnSbbbbbbn21 441(21)21 43nnnnnn18（12 分）设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知coscosabAaB(1)求证：B2A；(2)求 bca的取值范围【答案】(1)证明过程见解析.(2)21,32【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到sinsinABA，结合角的范围，得到2BA；（2）利用正弦定理得到2154 cos44bAca，根据三角形为锐角三角形，得到
34、,6 4A，23cos,22A，从而求出取值范围.【详解】（1）coscosabAaB，由正弦定理得：sinsincossincosABAAB，由积化和差公式可得：111111sinsinsinsinsinsinsin222222ABABAABABBAAB，因为11sinsin22ABBA，所以sinsinABA，因为三角形 ABC 为锐角三角形，故,0,2A B，所以,2 2BA，故 ABA，即2BA；（2）由（1）知：2BA，由正弦定理得：sin 2sinsinsinsin 2sin3sinsinsinABAbcBCAAaAAA，其中2sin3sin 2sin 2 coscos2 sin2
35、sincoscos2 sinAAAAAAAAAAA，因为sin0A，所以222sincosscos2csincossco2 inos2co2ss2inAAAAAAbcAAAaA222215cos2cos14cos2cos142cos4 cos42AAAAAA ，由20,2BA 得：40,A，由30,2CABA，解得：,6 3A，结合0,2A 可得：,6 4A，23cos,22A，故2154 cos44bAca在23cos,22A上单调递增，所以2134cos2cos1421,43124bcAAa，即21,32bca.19（12 分）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 A
36、BCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 23 得到的，G 是 DF 的中点(1)求此几何体的体积；(2)设 P 是 CE 上的一点，且 APBE，求CBP的大小；(3)当3AB ，2AD 时，求二面角 EAGC的大小【答案】(1)83(2)30CBP(3)60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得 BE 平面 ABP，然后结合几何体的结构特征计算可得CBP的大小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角 EAGC的余弦值，从而可得二面角的大小.【详解】（1）此几何体的体积21822
37、33V；（2）因为 APBE，ABBE，AB，AP 平面 ABP，ABAPAI，所以 BE 平面 ABP，又 BP 平面 ABP，所以 BEBP，又120EBC，因此30CBP（3）以 B 为坐标原点，分别以,BE BP BA所在的直线为,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得(0,0,3),(2,0,0),(1,3,3),(1,3,0)AEGC，故(2,0,3)AE，(1,3,0)AG，(2,0,3)CG，设111(,)mx y z是平面 AEG的一个法向量由00m AEm AG，得111123030 xzxy，取12z，则113,3xy，得平面 AEG的一个法向量(3,3,2
38、)m 设222(,)nxyz是平面 ACG 的一个法向量由00n AGn CG ，得222230230 xyxz，取22z ，则113,3xy，得平面 ACG 的一个法向量(3,3,2)n 所以1cos,|2m nm nmn 因此二面角 EAGC的大小为60 20（12 分）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品 分为两类不同剂型1 和2 现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂1 和2 合格的概率分别为 34 和 35，第二次检测时两类试剂1 和2 合格的概率分别为 45 和 23 已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品 才算合格(1)设经过两次检测后
39、两类试剂1 和2 合格的种类数为 X，求 X 的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户 4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品 进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)pp且相互独立，该家庭至少检测了 3 个人才确定为“感染高危户”的概率为()f p，若当0pp时，()f p 最大，求0p 的值【答案】(1)分布列见解析，1(2)0212p 【分析】（1）先得到剂型1 与2 合格的概率，求出 X 的所有可能取值及相应的概率，得到分布列，求出期望值；（2）求出
40、2321112fpppppppp，令1xp，得到 22101g xxxx，利用基本不等式求出最值，得到答案.【详解】（1）剂型1 合格的概率为：343455；剂型2 合格的概率为：322535由题意知 X 的所有可能取值为 0，1，2则3260115525P X ，323213111555525P X，32625525P X，则 X 的分布列为X012P6251325625数学期望61360121252525E X （2）检测 3 人确定“感染高危户”的概率为21pp，检测 4 人确定“感染高危户”的概率为31pp，则 2321112fpppppppp令1xp，因为 01p，所以 01x，原函
41、数可化为 22101g xxxx因为2222211144xxxx，当且仅当221xx，即22x 时，等号成立此时212p ，所以0212p 21（12 分）已知函数 1lnf xaxxx.(1)讨论 fx 的单调性；(2)证明：222111ln11122nnn，*Nn.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导得到导函数，考虑0a，02a，2a 三种情况，根据导数的正负得到函数的单调性.（2）当2a 时得到12ln xxx，1x ，证明211ln nnnn，代入计算得到证明.【详解】（1）fx 的定义域为0,，2221111xaxfxa xxx ，0 x.当0a 时，0fx，0
42、 x，此时 fx 在0,单调递减；当0a 时，24a .当02a时，0，0fx，0 x，此时 fx 在0,单调递减；当2a 时，0，令 0fx，得12ax，22ax.当 x 变化时，fx，fx 变化情况列表如下：x10,x1x12,x x2x2,x fx-0+0-fx极大值极小值综上所述：当2a 时，fx 在0,单调递减；当2a 时，fx 在240,2aa，24,2aa单调递减，在2244,22aaaa单调递增.（2）当2a 时，fx 在0,单调递减，此时 10fxf，即12ln0 xxx，1x ，故12ln xxx，1x .下证211ln nnnn，*Nn.因为211111nnnnnnn n
43、nn，11ln2lnnnnn，用1nn 替换 x 得21111ln2ln1nnnnnnnnnn，*Nn.故222231111lnlnln121122nnnn ，整理得222111ln11122nnn，*Nn.22（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(1,0)F，且经过点(0,3)M和(0,3)N(1)求椭圆 C 的方程；(2)O 为坐标原点，设(2,3)Q，点 P 为椭圆 C 上不同于 M、N 的一点，直线 PM 与直线2x 交于点 A，直线 PN 与 x 轴交于点 B，求证：AMQ和OBN面积相等【答案】(1)22143xy(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆焦
44、点坐标和经过的两点即可求得标准方程；（2）设出点 P 的坐标，即可表示出,A B 两点坐标，再写出AMQ和OBN的面积公式，再利用点 P 在椭圆上即可证明等式成立，得出AMQ和OBN面积相等的结论.【详解】（1）由题意可知，椭圆2222:1(0)xyCabab的半焦距1c ，将(0,3)M代入椭圆方程得 2231b，即23b，所以2224abc，椭圆 C 的方程为22143xy.（2）根据题意，设000(,),0P xyx，又(0,3)M，(0,3)N，如下图所示，则直线 PM、PN 的斜率均存在，且000033,PMPNyykkxx；所以，直线 PM 方程为0033,yyxx又直线 PM 与直线2x 交于点 A，所以002(3)2,3yAx又因为(2,3)Q，可得002(3),2yAQMQx；所以，AMQ的面积为00(3)122AMQySAQ MQx同理，直线 PN 方程为0033,yyxx直线 PN 与 x 轴交于点 B，易得003,03xBy，则003,33xOBONy所以，OBN的面积为0013223OBNxSOB ONy要证明AMQ和OBN面积相等，即证明0000(3)3223yxxy成立即可，整理得2200343xy，由点 P 在椭圆 C 上可知，03y，即220034(3)xy，得22003412xy，即2200143xy 显然成立；所以AMQ和OBN面积相等.
