1、抢分练3(时间:30分钟,满分:24分)1.(本题满分12分)(2022辽宁葫芦岛二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,坐标原点O与A点关于直线l:x=-2对称,l与椭圆第二象限的交点为C,且ACOC=-1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过A,O两点的圆Q与l交于M,N两点,直线BM,BN分别交椭圆C于异于B的E,F两点.求证:直线EF恒过定点.2.(本题满分12分)(2022辽宁丹东模拟预测)已知函数f(x)=2aln x-x2+2(a-1)x+a.(1)若a=1,证明:f(x)2a.抢分练31.(1)解 点O与A关于直线x=-2对称,可知A(-4,0
2、),故点B(4,0),a=4,由题意可设C(-2,n),n0,于是ACOC=(2,n)(-2,n)=n2-4=-1,解得n=3.将C(-2,3)代入椭圆方程中,得416+3b2=1,解得b2=4,所以椭圆方程为x216+y24=1.(2)证明 A(-4,0),B(4,0),直线l:x=-2,由题意得,圆心在直线l:x=-2上,设M(-2,yM),N(-2,yN),且OMON,所以OMON=yMyN+4=0,故yMyN=-4,则kBMkBN=yM-2-4yN-2-4=yMyN36=-19.设直线EF:x=my+t(t4),E(x1,y1),F(x2,y2),由x216+y24=1,x=my+t,
3、得(m2+4)y2+2mty+t2-16=0,则y1+y2=-2mtm2+4,y1y2=t2-16m2+4.x1+x2=m(y1+y2)+2t=8tm2+4,x1x2=(my1+t)(my2+t)=4t2-16m2m2+4,所以kBE=kBM=y1x1-4,kBF=kBN=y2x2-4,则y1x1-4y2x2-4=y1y2x1x2-4(x1+x2)+16=t2-16-16m2+4t2-32t+16m2+64=t2-164t2-32t+64=-19,即13t2-32t-80=0,解得t=4(舍去)或t=-2013,所以直线EF为x=my-2013,恒过定点-2013,0.2.(1)证明 当a=1
4、时,f(x)=2ln x-x2+1,定义域为(0,+),令g(x)=f(x)-(2x-x2)=2ln x-2x+1,则g(x)=2x-2,当0x0;当x1时,g(x)0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,故g(x)max=g(1)=-10,所以g(x)0,得f(x)2x-x2.(2)解 因为f(x)有两个不同的零点x1,x2,不妨令x1x2,则f(x)在定义域内不是单调函数.由f(x)=2ax-2x+2(a-1)=-2(x-a)(x+1)x,当a0时,f(x)0时,在(0,a)上有f(x)0,在(a,+)上有f(x)0,所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+)上单调递减.则0x1a0,则F(x)在(0,a)上单调递增,所以F(x)F(a)=f(a)-f(2a-a)=0,故f(x)f(2a-x),因为0x1ax2,所以f(x1)f(2a-x1),又f(x1)=f(x2),a2a-x12a,则f(x2)2a-x1,
