1、考点突破练5数列求和方法及综合应用1.(2022陕西宝鸡三模)已知数列an中,a1=a2=1,且an+2=an+1+2an.记bn=an+1+an.(1)求证:数列bn是等比数列;(2)若数列bn的前n项和为Tn,求数列Tn的前n项和.2.(2022云南昆明一模)已知数列an满足a1=13,an+1=anan+1.(1)设bn=1an,计算b1,b2,b3,并证明数列bn是等差数列;(2)求数列ann+1的前n项和Sn.3.(2022新疆乌鲁木齐二模)设数列an是各项均为正数的等比数列,其中a2=4,a4=16.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bnan是公差为1的等差数列,其中b1=2
2、,求数列bn的前n项和Tn.4.(2022黑龙江哈师大附中三模)已知数列an的前n项和为Sn,且an+Sn=1.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=an+log2an,求数列bn的前n项和Tn.5.已知等差数列an中,a3=3,a6=6,且bn=an+1,n为奇数,2an,n为偶数.(1)求数列bn的通项公式及前20项和;(2)若cn=b2n-1b2n,记数列cn的前n项和为Sn,求Sn.6.(2022四川达州二模)已知数列an满足a1=1,an+1=an+2,Sn为an的前n项和.(1)求an的通项公式;(2)设bn=(-1)nSn,数列bn的前n项和为Tn,且Tn-mn20对一切正奇
3、数n恒成立,求实数m的取值范围.考点突破练5数列求和方法及综合应用1.(1)证明 由an+2=an+1+2an,得bn+1=an+2+an+1=2(an+1+an)=2bn.又b1=a1+a2=20,所以bn是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)解 由(1)知,Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.设数列Tn的前n项和为Sn,由Tn=2n+1-2,知Sn=(22+23+2n+1)-2n=22(1-2n)1-2-2n=2n+2-2n-4.2.解 (1)因为an+1=anan+1,且a1=13,所以a2=14,a3=15,所以b1=3,b2=4,b3=5.因为bn+1-bn=1an+1-1a
4、n=an+1an-1an=1,所以数列bn是首项为3,公差为1的等差数列.(2)由(1)可得bn=3+(n-1)1=n+2,所以an=1n+2,故ann+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,所以Sn=12-13+13-14+14-15+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2n+4.3.解 (1)设an的首项为a1,公比为q,由题可知q0.由a2=4,a4=16,得a1q=4,a1q3=16,所以a1=2,q=2,所以an=2n.(2)因为数列bnan是公差为1的等差数列,其中b1=2,即b1a1=22=1,所以bnan=n,所以bn=n2n,所以Tn=12+222+n2n,2Tn
5、=122+223+n2n+1,所以-Tn=2+22+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1=(1-n)2n+1-2,所以Tn=(n-1)2n+1+2.4.解 (1)由题可知an+Sn=1.当n=1时,a1+a1=1,即a1=12.当n2时,an-1+Sn-1=1.-得2an-an-1=0,即an=12an-1,数列an是以12为首项,12为公比的等比数列,an=12n.(2)由(1)知bn=an+log2an=12n+log212n=12n-n,Tn=b1+b2+bn=121+122+12n-(1+2+n)=121-(12)n1-12-n(1+n)2=1-12n-n(1+n)2=-
6、n2-n+22-12n.5.解 (1)设等差数列an的公差为d,则d=a6-a36-3=1,所以an=a3+(n-3)d=n,所以bn=n+1,n为奇数,2n,n为偶数,所以b1+b2+b3+b19+b20=(2+4+20)+(22+24+220)=10(2+20)2+4(1-410)1-4=110+43(410-1)=4113+3263.(2)由(1)可得cn=b2n-1b2n=2n22n=2n4n,所以Sn=241+442+643+2n4n,4Sn=242+443+644+2(n-1)4n+2n4n+1,所以-3Sn=241+242+243+24n-2n4n+1=8(1-4n)1-4-2n
7、4n+1=23-2n4n+1-83,所以Sn=23n-294n+1+89.6.解 (1)a1=1,an+1=an+2,an+1-an=2,数列an是首项为1,公差为2的等差数列,an=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)可得Sn=n(1+2n-1)2=n2,bn=(-1)nSn=(-1)nn2,bn+bn+1=-n2+(n+1)2=2n+1,n为奇数,当n为奇数,且n3时,Tn=a1+a2+a3+a4+an-1+an=3+7+(2n-3)-n2=n-122n2-n2=-n(n+1)2.当n=1时,T1=-1也适合,故当n为奇数时,Tn=-n(n+1)2.又Tn-mn20对一切正奇数n恒成立,mTnn2=-n+12n=-12-12n对一切正奇数n恒成立.又-12-12n-1,
