1、山西省太原市2021届高三数学一模试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|x|1，Bx|2x1，则AB（）A（1，0）B（，1）C（1，1）D（0，1）2已知复数z满足i，则复数z（）A1iB1+iC1iD1+i3公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a2sin18，若a2+b4，则（）AB2CD44函数f（x）的部分图象大致是（）ABCD5在区间1，1上任取一个实数k，则使得直线ykx与圆（x2）2+y21有公共点的概率是（）ABCD6已知梯形ABCD中，ABDC，且
2、AB2DC，点P在线段BC上，若+，则实数（）ABCD7已知an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且Sn是等差数列，给出以下结论：an+Sn是等差数列；anSn是等比数列；an2是等差数列；是等比数列则其中正确结论的个数为（）A4B3C2D18已知实数x，y满足，若不等式x+my+10恒成立，则实数m的取值范围是（）A（0，B4，C（，D（，49已知a2ln3，b3ln2，c2ln3，则下列结论正确的是（）AbcaBcbaCbacDabc10已知三棱锥ABCD中，ABBCBDCDAD4，二面角ABDC的余弦值为，点E在棱AB上，且BE3AE，过E作三棱锥ABCD外接球的截面，则所作截
3、面面积的最小值为（）AB3CD11已知过抛物线y22px（p0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，点M是线段AB的中点，以AB为直径的圆与y轴相交于P，Q两点，若2，则sinMPQ（）ABCD12已知函数f（x）sin（x+）（0，|）的图象关于x对称，且f（）0，f（x）在，上单调递增，则的所有取值的个数是（）A3B4C1D2二、填空题（每小题5分）.13函数f（x）（x+2）ex的图象在点（0，f（0）处的切线方程为 14在（1x）+（1x）2+（1x）3+（1x）4+（1x）5+（1x）6的展开式中，x3的系数为 15已知数列an满足a1a2，an+2an+23n（nN*），
4、且bnan+an+1（nN*）则数列bn的通项公式为 若bncn（nN*），则数列cn的前n项和为 16已知椭圆C：1（ab0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若MFN，则椭圆C的离心率是 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，毎个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA4bsinC，再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（）证明：ABC为等腰三角形；（）若ABC的面积为2，点D在线段AB上，且BD
5、2DA，求CD的长条件：cosC；条件：cosA18某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意121184156一般2164412不满意116232（）已知甲是此次调查时满意度为“满意”的报团游游客，由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（）
6、为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记X表示这3人中老年人的人数，求X的分布列和期望，（）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？19如图，在三棱锥PABC中，PAB是正三角形，G是PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF3FC（）求证：平面DFH平面PGE；（）若PBAC，ABAC2，BC2，求二面角APCB的余弦值20已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e，点P是椭圆C上一动点，PF1F2内切圆面积的最大值为（）求椭圆C的标准方程；（）直线P
7、F1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值21已知函数f（x）ex+cosxax2（aR）（）设g（x）f（x）+ax，求g（x）在0，+）上的最小值；（）若不等式xf（x）0在，+）上恒成立，求实数a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）0（）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（）已知点P（3
8、，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+|+|xm|（m0）（）当m1时，求函数f（x）的最小值；（）若存在x（0，1），使得不等式f（x）3成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|x|1，Bx|2x1，则AB（）A（1，0）B（，1）C（1，1）D（0，1）解：集合Ax|x|1x|1x1，Bx|2x1x|x0，ABx|1x0（1，0）故选：A2已知复数z满足i，则复数z（）A1iB1+iC1iD1+i解：i，zizi+i，z1+i，故选：D3公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边
9、形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a2sin18，若a2+b4，则（）AB2CD4解：a2sin18，若a2+b4，b4a244sin2184（1sin218）4cos218，2故选：B4函数f（x）的部分图象大致是（）ABCD解：f（x）f（x），函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除CD；又f（6）0，故排除B故选：A5在区间1，1上任取一个实数k，则使得直线ykx与圆（x2）2+y21有公共点的概率是（）ABCD解：圆（x2）2+y21的圆心为（2，0），半径为1要使直线ykx与圆（x2）2+y21有公共点，则圆心
10、到直线ykx的距离 1，解得：k在区间1，1中随机取一个实数k，则事件“直线ykx与圆（x2）2+y21有公共点”发生的概率为：故选：C6已知梯形ABCD中，ABDC，且AB2DC，点P在线段BC上，若+，则实数（）ABCD解：如图，P在线段BC上，且AB2DC，设，又，解得故选：C7已知an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且Sn是等差数列，给出以下结论：an+Sn是等差数列；anSn是等比数列；an2是等差数列；是等比数列则其中正确结论的个数为（）A4B3C2D1解：由Sn是等差数列，可得：2（a1+a2）a1+a1+a2+a3，a2a3，an是各项均为正数的等比数列，a2a2q
11、，可得q1ana10，an+Sn（n+1）a1，数列an+Sn是等差数列，an2是常数列，为等差数列a10，是等比数列anSnn，anSn不是等比数列故选：B8已知实数x，y满足，若不等式x+my+10恒成立，则实数m的取值范围是（）A（0，B4，C（，D（，4解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），直线x+my+10过定点（1，0），要使不等式x+my+10恒成立，则可行域在直线x+my+10的左上方，则3+m+10，即m4实数m的取值范围是（，4故选：D9已知a2ln3，b3ln2，c2ln3，则下列结论正确的是（）AbcaBcbaCbacDabc解：a2ln32ln3ln9
12、，b3ln23ln2ln8，c2ln36lnln6，1，ab，设f（x），则 f（x），令f（x）0，xe，f（x）在（e，+）上递减，3e，3lnln3，33，6（3）2，9（3）2，33，69，ca，6（2）3，8（2）3，22，68，cb，acb故选：A10已知三棱锥ABCD中，ABBCBDCDAD4，二面角ABDC的余弦值为，点E在棱AB上，且BE3AE，过E作三棱锥ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）AB3CD解：由已知可得，ABD，BCD都是边长为4的正三角形，由二面角ABDC的余弦值为，结合余弦定理可得AC4，则三棱锥ABCD是棱长为4的正四面体，放置在棱长为2的正
13、方体中，则正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，其半径为2R，R，cosOAB，OAR，AEAB41，3，则截面圆的半径r，截面面积的最小值为Sr23故选：B11已知过抛物线y22px（p0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，点M是线段AB的中点，以AB为直径的圆与y轴相交于P，Q两点，若2，则sinMPQ（）ABCD解：法1：由抛物线的焦点坐标可得，所以p1，所以抛物线的方程为：y22x，设直线AB的方程为：xmy+，设A（x1，y1），B（x2，y2），设A在x轴上方，联立，整理可得：y22my10，可得：y1y21，由2，即（x1，y1）2（x2，y2），可得y12y2，
14、代入可得：y22，所以y2，y1代入抛物线的方程可得：x2，x11，即A（1，），B（，），所以AB的中点M（，），|AB|，即圆的直径为，所以圆的方程为（x）2+（y）2，令x0，可得y+，所以P（0，），Q（0，），所以tanMPQ，所以sinMPQ，法2由法1可得AB的中点M的横坐标为，半径r，所以以tanMPQ故选：A12已知函数f（x）sin（x+）（0，|）的图象关于x对称，且f（）0，f（x）在，上单调递增，则的所有取值的个数是（）A3B4C1D2解：由于函数f（x）sin（x+）（0，|）的图象关于x对称，则：+，（k1Z），由于f（）0，所以+k2（kZ），得：，所以2（k2
15、k1）1（k1k2Z），故为奇数，且f（x）在，上单调递增，所以，解得08当k2k11，2，3，4，故的取值为：1，3，5，7，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分试题中包含两空的，答对第一空的给3分，全部答对的给5分13函数f（x）（x+2）ex的图象在点（0，f（0）处的切线方程为x+y20解：由题意可得f（x）ex（x+2）ex，则f（0）1因为f（0）2，所以所求切线方程为y2x，即x+y20故答案为：x+y2014在（1x）+（1x）2+（1x）3+（1x）4+（1x）5+（1x）6的展开式中，x3的系数为35解：在（1x）+（1x）2+（1x）3+（1x）4+（
16、1x）5+（1x）6的展开式中，x3的系数为35，故答案为：3515已知数列an满足a1a2，an+2an+23n（nN*），且bnan+an+1（nN*）则数列bn的通项公式为bn3n，nN*若bncn（nN*），则数列cn的前n项和为解：a1a2，an+2an+23n（nN*），可得b1a1+a23，an+2an23n，又bn+1bnan+1+an+2（an+an+1）an+2an23n，则bnb1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1）3+23+232+23n11+3n，上式对n1也成立，所以bn3n，nN*；由bncn（nN*），可得cn，则数列cn的前n项和为+故答案为：bn3n
17、，nN*；16已知椭圆C：1（ab0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若MFN，则椭圆C的离心率是解：设右焦点为F，由题意可得直线l的方程为：y，设M（x0，y0），N（x0，y0），连接MF，NF，因为MFN，所以四边形FMFN为平行四边形，则FMF，而SMFFb2tanb2cy0，（焦三角形面积公式Sb2tan，为焦顶角），所以可得y0，代入直线l的方程可得：x0，将M的坐标代入椭圆的方程可得：+1，整理可得：4a414a2c2+c40，即e414e2+40，解得：e273，由椭圆的离心率e（0，1），所以e，故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说
18、明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，毎个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA4bsinC，再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（）证明：ABC为等腰三角形；（）若ABC的面积为2，点D在线段AB上，且BD2DA，求CD的长条件：cosC；条件：cosA解：若选择条件：cosC，（）证明：因为3csinA4bsinC，所以3ac4bc，所以a，由余弦定理c2a2+b22abcosC+b2b2b2，所以bc，可得ABC为等腰三角形，得证（）因为cosC，C，所以s
19、inC，所以SABCabsinC2，解得b3，则a4，所以bc3，又BD2AD，所以AD1，BD2，因为3csinA4bsinC，所以sinA，所以cosA，在ACD中，由余弦定理可得CD2AD2+AC22ADACcosA1+9213，所以CD若选择条件：cosA，（）证明：因为3csinA4bsinC，所以3ac4bc，所以a，由余弦定理a2b2+c22bccosAb2+c22bc，整理可得9c22bc7b20，解得cb，或（舍去），所以bc，所以ABC为等腰三角形，得证（）因为cosA，A，所以sinA，所以SABCbcsinAb22，解得b3，则a4，所以bc3，又BD2AD，所以AD1
20、，BD2，在ACD中，由余弦定理可得CD2AD2+AC22ADACcosA1+9213，所以CD18某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意121184156一般2164412不满意116232（）已知甲是此次调查时满意度为“满意”的报团游游客，由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人
21、这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记X表示这3人中老年人的人数，求X的分布列和期望，（）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？解：（）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为，因为P1P2P3，所以老年人更倾向于选择报团游；（）由题意可得，X的可能取值为0，1，2，所以P（X0），P（X1），P（X2），所以X的分布列为：X 01 2 P 所以E（X）；（）由上表可知，报团游的满意率为，自助游的满意率为，因为P4P5，故建议他选择报团游1
22、9如图，在三棱锥PABC中，PAB是正三角形，G是PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF3FC（）求证：平面DFH平面PGE；（）若PBAC，ABAC2，BC2，求二面角APCB的余弦值【解答】（）证明：连结BG，因为PAB是正三角形，G是PAB的重心，D为PA的中点，所以BG与GD共线，且BG2GD，因为E为BC的中点，BF3FC，所以F是CE的中点，所以，所以GEDF，又GE平面PGE，DF平面PGE，所以DF平面PGE，因为H是PC的中点，所以FHPE，因为FH平面PGE，PE平面PGE，所以FH平面PGE，因为FHDFF，FH，DF平面DFH，所以平
23、面DFH平面PGE；（）解：因为ABAC2，BC，所以AB2+AC28BC2，所以ABAC，因为PBAC，ABPBB，AB，PB平面PAB，所以AC平面PAB，以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），设平面PAC的法向量为，则有，即，令z1，则，所以，设平面PBC的法向量为，则有，即，令c1，则，所以，所以，故二面角APCB的余弦值20已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e，点P是椭圆C上一动点，PF1F2内切圆面积的最大值为（）求椭圆C的标准方程；（）直线PF1，PF2与椭圆
24、C分别相交于点A，B，求证：+为定值解：（）设PF1F2内切圆的半径为r，则，r，当PF1F2的面积最大时，PF1F2内切圆的半径r最大，显然当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，PF1F2的面积最大，最大值为bc，r的最大值为，即，由，解得：，椭圆C的标准方程为：（）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），当y00时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为xm1y1，xm2y+1，由得：，x0m1y01，同理，由可得，当y00时，直线PF1，PF2与x轴重合，易得：3+，综上所述，+为定值21已知函数f（x）ex+cosxax2（aR）（）设g（x）f（x）+ax，求g（x）在0，+
25、）上的最小值；（）若不等式xf（x）0在，+）上恒成立，求实数a的取值范围解：（I）g（x）f（x）+axex+cosx2，x0时，ex1，sinx1，则g（x）exsinx，g（x）ex+sinx0，故g（x）在0，+）上单调递增，所以当x0时，g（x）在0，+）上的最小值g（0）1；（II）f（x）exsinxa，因为xf（x）0在，+）上恒成立，当a1时，由（I）知f（x）exsinxa在0，+）上单调递增，且f（0）1a0，f（1+a）e1+a1a0，故存在唯一的x2（0，+）使得f（x2）0，当x（0，x2）时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）f（0）0，此时xf（x）0与已知
26、矛盾，当a1时，（i）若x0，由（1）知，f（x）f（0）1a0，所以f（x）在0，+）上单调递增，f（x）f（0）0恒成立，此时原不等式恒成立，符合题意；（ii）若，则f（x）excosx，f（x）ex+sinx，因为f（x）在，0）上为增函数且f（0）1，故存在唯一的x0使得f（x）0，当x时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（x0，0）时，f（x）0，f（x）单调递增，又0，f（0）0，故存在唯一的x1，0），使得f（x1）0，故当x（x1，0）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（，x1）时，f（x）0，f（x）单调递增，又a0，f（0）1a0，故当x，0）时，f（x）0，f（x）
27、单调递增，f（x）f（0）0，即xf（x）0在，+）上恒成立，综上a的范围（，1（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）0（）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求|PA|PB|的值解：（）曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得，转换为普通方程为；曲线C2的极
28、坐标方程为cos（）0，根据，转换为直角坐标方程为；（）把直线转换为（t为参数），代入，得到：，所以，所以选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+|+|xm|（m0）（）当m1时，求函数f（x）的最小值；（）若存在x（0，1），使得不等式f（x）3成立，求实数m的取值范围解：（）当m1时，f（x）|x+2|+|x1|，|x+2|+|x1|（x+2）（x1）|3，故当且仅当（x+2）（x1）0，即当2x1时，f（x）取最小值3；（）由题意得存在x（0，1）使得x+|xm|3，（1）当m1时，x+|xm|3等价于+m3，解得：1m2；（2）当0m1时，令g（x）x+|xm|，0xm时，g（x）+m，mx1时，g（x）2x+m，故g（x）min+m，故+m3，故1m2，与0m1矛盾，此时m无解，综上：实数m的取值范围是1，2
