1、典型例题一例1 若，则，的位置关系是（ ）A异面直线 B相交直线C平行直线 D相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论解：如图所示，在正方体中，设，则若设，则与相交若设，则与异面故选D说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解一般以正方体、四面体等为具体模型例如，相交，相交，则，的位置关系是相交、平行或异面类似地；，异面，异面，则，的位置关系是平行、相交或异面这些都可以用正方体模型来判断典型例题二例2 已知直线和点，求证：过点有且只有一条直线和平行分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和
2、惟一性存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象因此，这是否定性命题，常用反证法证明：（1）存在性 ， 和可确定一个平面，由平面几何知识知，在内存在着过点和平行的直线（2）惟一性假设在空间过点有两条直线和满足和根据公理4，必有与矛盾， 过点有一条且只有一条直线和平行说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性典型例题三例3 如图所示，设，分别是空间四边形的边，上的点，且，求证：（1）当时，四边形是平行四边形；（2）当时，四边形是梯形分析：只需利用空间等角
3、定理证明即可证明：连结，在中， ，且在中， ，且 ， 顶点，在由和确定的平面内（1）当时，故四边形为平行四边形；（2）当时，故四边形是梯形说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况特别地，当时，是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形如果再加上条件，这时，平行四边形是菱形典型例题四例4 已知是两条异面直线，直线上的两点的距离为6，直线上的两点的距离为8，的中点分别为且，求异面直线所成的角分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解解：如图，连结，并取的中点，连结，分别是和的中位线，即 ， 所成的锐角或
4、直角是异面直线所成的角又 ，在中，又，故异面直线所成的角是说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线但是，异面直线所成角的定义中的点一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的典型例题五例5 已知四面体的所有棱长均为求：（1）异面直线的公垂线段及的长；（2）异面直线和所成的角分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解解：（1
5、）如图，分别取的中点，连结由已知，得，是的中点，同理可证是的公垂线段在中， （2）取的中点，连结，则和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角连结，在中，由余弦定理，得故异面直线和所成的角为说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值典型例题六例6如图所示，两个三角形和的对应顶点的连线、交于同一点，且(1)证明：，；(2)求的值分析：证两线平等当然可用平面几何的方法而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明证明：(1)当和在点两侧时，如图甲与相交于点，且，（因为、共面）同理，(2)，且，和，和的方向相反，同理因
6、此，又，当和在点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2)说明：此题与是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作说明典型例题七例7是矩形所在平面外一点，与成角，与成角，求：(1)直线与的距离；(2)求直线与的距离分析：要求出与、与的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离解：如图所示，在矩形中，又，是异面直线、的公垂线段，其长度为异面直线、的距离在中，是与所成的角，又，(2)在矩形中，又，是直线、的公垂线段，其长度为异面直线、的距离在中，是异面直线与所成的角，又，直线与的距离为说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：找（作）线段；证线段是公垂线段；求公垂线段的长度(2
7、)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段典型例题八例8、是三条直线，若与异面，与异面，判断与的位置关系，并画图说明分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的问题，同时也考查了图形语言的表达能力解：直线与的位置关系有以下三种情形如图：直线与的位置关系可能平行（图中的(1)）；可能相交（如图中的(2)）；可能异面（图中的(3)）说明：本题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力典型例题九例9如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线（）A12对B24对C36对D48对分析：一般地，立体几何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定一规律，然后按此
8、规律进行计数正方体的各棱具有相同的位置关系所以以一条棱为基量，考察与其异面的几对，问题可解解：如图，正方体中与异面有，各棱具有相同的位置关系，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算成本，异面直线共有对说明：分析清楚几何体特点是避免重复计数的关键计数问题必须避免盲目乱数，做到“不重不漏”典型例题十例10如图，已知不共面的直线，相交于点，、是直线上两点，、分别是，上一点求证：和是异面直线证法1：假设和不是异面直线，则与在同一平面内，设为，又，且，同理：，共面于，与已知，不共面相矛盾，、是异面直线证法2：，直线，确定一平面设为，且，又，不共面，与为异面直线说明：证明两条直线异面的方法有两种(1)用定
9、义证明（即定义法）：此时需借反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可(2)用定理证明（即定理法）：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件：，然后可以推导出直线与是异面直线典型例题十一例11已知平面与平面相交于直线，为直线上的两点在内作直线，在内作直线求证和是异面直线已知：平面平面=，如图求证：、是异面直线证明：假设，不是异面直线，则它们必共面、在同一平面内即、所确定的平面与、确定的平面重合这与平面平面=矛盾、是异面直线说明：证明两条直线为异面直线，用反证法往往比较简单典型例题十二例12已知空间四边形，求证它
10、的对角线和是异面直线证法一：（反证法）如图假设和不是异面直线，则和在同一平面内、在同一平面内，即四边形是平面四边形，这与已知条件矛盾，所以假设不成立因此和是异面直线证法二：（定理法）过和作一平面，则对角线在平面内对角线与平面交于外的一点，即点不在直线上，且点在平面外根据异面直线判定定理知：和是异面直线说明：判定两条直线是异面直线的证明问题常用这两种方法，即(1)反证法，(2)用判定定理典型例题十三例13已知空间四边形，是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线证法一：（定理法）如图由题设条件可知点、不重合，设所在平面和是异面直线证法二：（反证法）若和不是异面直线，则和共面，设过、的平面为
11、(1)若、重合，则是的中点，这与题设相矛盾(2)若、不重合，、四点共面，这与题设是空间四边形相矛盾综上，假设不成立故和是异面直线说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾只须两句话就解决了这个问题典型例题十四例14已知、分别是正方
12、体的棱、的中点求证：分析：欲证两个角相等，可通过等角定理或其推论来实现证明：如图，连结，分别为，中点，为平行四边形又，四边形是平行四边形同理又与方向相同说明：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：(1)利用等角定理及其推论；(2)利用证三角形相似；(3)利用证三角形全等本例是通过第一种途径来实现请同学们再利用第三种途径给予证明典型例题十五例15由四个全等的等边三角形的封面几何体称为正四面体，如图，正四面体中，、分别是棱、的中点，与是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线、的平行线，找出异面直线与成的角分析1：选取平面，该平面有以下两个特点，(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交
13、于点，伸展平面，在该平面中，过点作交的延长线于，连结可以看出：与所成的角，即为异面直线与所成的角如图分析2：选取平面，该平面有以下两个特点：(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点在平面中，过点作的平行线交于点，连结，可以看出：与所成的角，即为异面直线与所成的角如图分析3：选取平面，该平面有如下两个特点：(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点在平面中，过点作，与相交于点，连结，可以看出：与所成的角，即为异面直线与所成的角分析4：选取平面，该平面有如下特点：(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点，伸展平面，在该平面内过点作与的延长线交于点，且，连结，则与所成的角，即为异面直线与所
14、成的角如图说明：(1)两条异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求牢固掌握两条异面直线所成的角的定义和两条异面直线互相垂直的概念，两条异面直线所成的角是刻划两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线成角来解决的，这里我们要注意：两条异面直线所成的角的范围是，当时，这两条异面直线互相垂直求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置一
15、般提倡像思考2，那样作角，因为此角在几何体内部，易求(2)本例题多方位、多角度思考问题，思路开阔、运用知识灵活，对我们解决异面直线所成角问题大有裨益，要认真理解典型例题十六例16如图，等腰直角三角形中，若，且为的中点求异面直线与所成角的余弦值分析：根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引与的平行线，换句话说，平移（或）设想平移，沿着的方向，使移向，则移向的中点，这样与所成的角即为或其补角，解即可获解解：取的中点，连结，在中，、分别是、的中点，即为所求的异面直线与所成的角或其补角在中，在中，在中，在等腰三角形中，异面直线与所成角的余弦值为说明：求角或求角的三角函数值的一般步骤是：找
16、（或作出）角，适合题意，求角或求角的三角函数值，往往是化归成一个三角形的内角，通过解三角形求得典型例题十七例17在正四面体中，已知是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值分析：可在平面内过作平行线，可在中求得所成角的余弦值解：如图，取的中点，连结，为的中点，为的中位线，与所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角设正四面体的棱长为，由正三角形的性质知，在中，即异面直线和所成角的余弦值为说明：本题是利用三角形中位线达到平移的目的这种作异面直线所成角的方法称为中位线平移法典型例题十八例18在正方体中，求正方体对角线和面对角线所成角的大小解：如图取上中点，则有：，连结令，则，连结，分别为，的中点，(或)是
17、异面直线和所成的角在及中，为等腰三角形又为中点，异面直线和所成角为说明：(1)由于异面直线所成角最大为直角，所以，在把异面直线平移得到的两个夹角中，必须选取其中较小的角为异面直线的所成角(2)实际上，正方体的体对角线与任意一条面对角线所成角均为直角典型例题十九例19在正方体中，、分别为、的中点，求、所成角的余弦值分析1：可平移至，可得到角，再解三角形即可但要注意到为钝角解法1：如图，连结，则，由与所成的锐角或直角，就是与所成的角，连，令正方体的棱长为，有，在中，的补角为异面直线与所成角、所成角的余弦值是分析2：连结、，可得即为异面直线和所成的角进而求其余弦值解法2：连结、，可证得()(或其补角
18、)即为异面直线、所成的角，由余弦定理，有，、所成角的余弦值是说明：异面直线所成角的范围是，当求得某角的余弦值为负值时，则此角的补角是异面直线所成角典型例题二十例20在空间四边形中：，分别是，的中点求证：线段是异面直线，的公垂线证明：如图连结、在和中，公用又是中点，在中，是的中点，同理，是异面直线、的公垂线说明：证明某一条直线是两条异面直线的公垂线，须证明以下两点：(1)与两条异面直线都垂直；(2)与两条异面直线都相交典型例题二十一例21如图，空间四边形中，四边、和对角线、都等于，、分别为、的中点(1)求证：是异面直线、的公垂线(2)求异面直线和的距离分析：要证明是异面直线与的公垂线，必须说明两
19、个方面的问题，一个方面与、都相交，另一个方面、与都垂直(1)证明：连结、，由已知和均为正三角形，、分别为、的中点，同理，又与、都相交，为异面直线、的公垂线(2)解：空间四边形各边及对角线、的长均为，而，在中，异面直线和之间的距离为说明：(1)求线段的长度一般地要把该线段放到一个三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等(2)满足条件的该空间四边形其实质是空间正四面体，该问题实质上是求正四面体对棱之间的距离典型例题二十二例22已知、是异面直线，直线直线，那么与（）A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解：由已知、是异面直线，直线直线，所
20、以直线直线，否则若，则有与已知矛盾所以应选C说明：本题考察两直线位置关系和公理4的应用及异面直线定义典型例题二十三例23两条异面直线指的是（）A在空间内不相交的两条直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D不在同一平面内的两条直线解：对于A,在空间内不相交的两条直线也可能是平行，应排除A对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线可能是异面直线，也可能是相交直线或平行直线，应排除B对于C，某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能是异面直线，也可能是平行直线，应排除C应选D说明：本题主要考查对异面直线定义的掌握，特别是对“不同在任何一个平面内的两条直线”含
21、义的理解典型例题二十四例24如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点，那么直线与所成的角的余弦值是（）ABCD解：在平面中，过点作，交于，连结，如图，(或其补角)就是与所成的角设的中点为，则是中点可求得，在中，由余弦定理得应选D说明：作出平行线，进而在中利用余弦定理求出直线与所成角的余弦值典型例题二十五例25如图，是正方体，则与所成的角的余弦值是（）ABCD解：过点在平面内作，再过在平面内作，则(或其补角)即是与所成的角由已知，是正方体，所以可求得(为正方体的棱长)，又，而，显然在中，由余弦定理，得应选A说明：(1)解答本题的关键是作平行线、进而在中解出的余弦值；(2)考查历届高考试题，求
22、异面直线所成角的题常以正方体和正四面体为载体，在正方体和正四面体中命题典型例题二十六例26在棱长都相等的四面体中，、分别是棱、的中点，连结、，如图所示，求异面直线、所成角的余弦值解：连结，取的中点，连结，又是的中点，故，所以是异面直线、所成角是正三角形的高，在中，则在中，用余弦定理可得异面直线、所成角的余弦值是说明：求两条异面直线所成角或求所成角的函数值，关键是作出异面直线所成的角作两条异面直线所成角的方法一般是：将其中一条平移到某个位置使其也另一条相交也或者将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，使得这个角在某一个平面的三角形内，进而求出但要注意：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时应选择恰当的位置
