1、一 专题综述该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用该部分在试卷中一般是23个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难
2、度或者较为容易的试题基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性.二 考纲解读 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(，的正弦、余弦、正切)，能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tanx.结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义；能借助计算器或计算机画出yAsin(x)的图象，观察参数A，对函数图象
3、变化的影响3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型4.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）5.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系三.2012年高考命题趋向1.在选择题或者填空题部分命制23个试题，考查三角函数的图象和性质、
4、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形等该专题的重点知识中的23个方面试题仍然是突出重点和重视基础，难度不会太大2.在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题，考查综合运用该部分知识分析解决问题的能力，试题的可能考查方向如我们上面的分析从难度上讲，如果是单纯的考查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题，则试题难度不会大，但如果考查解三角形的实际应用，则题目的难度可能会大一点，但也就是中等难度 由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点： (1)该专题具有基础性和工具
5、性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系 (2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题 (3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用四高频考点解读考点一
6、 三角函数的定义例1 2011课标全国卷 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2()A B C. D.【答案】B【解析】 解法1：在角终边上任取一点P(a,2a)(a0)，则r22a2(2a)25a2，cos2，cos22cos211.解法2：tan2，cos2.例2 2011江西卷 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin，则y_.【答案】8【解析】 r，sin，sin，解得y8.【解题技巧点睛】以三角函数的定义为载体，求三角函数的值.题目的鲜明特点是给出角的终边上的点的坐标，此时我们要联想到三角函数的定义求解
7、所需三角函数值.考点二 三角恒等变换例3 2011福建卷 若tan3，则的值等于()A2 B3 C4 D6【答案】D【解析】 因为2tan6，故选D. 例42011浙江卷 若0，0，cos，cos，则cos()A. B C. D【答案】C例5 2011广东卷 已知函数f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)设，f，f(32)，求cos()的值.【解答】 (1)f2sin2sin.(2)f32sin32sin，f(32)2sin2sin2cos，sin，cos，又，cos，sin，故cos()coscossinsin.【解题技巧点睛】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名
8、三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切.(3)公式变形使用：如(4)三角函数次数的降升：降幂公式有，与升幂公式有，.来源:Z*xx*k.Com(5)式子结构的转化：对角、函数名、式子结构化同.(6)常值变换主要指“1”的变换：等.（7）辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时
9、起着重要作,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可.实际上是两角和与差的三角函数公式的逆用.如等.考点三 三角函数的性质例6 2011课标全国卷 设函f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在单调递减 Bf(x)在单调递减Cf(x)在单调递增 Df(x)在单调递增【答案】A【解析】 原式可化简为f(x)sin，因为f(x)的最小正周期T，所以2.所以f(x)sin，又因为f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)sincos2x，所以k，kZ，所以k，kZ，又因为，所以.所以f(x)sincos2x，所以f(x)cos2x在区间上单调递减
10、例7 2011安徽卷 设f(x)asin2xbcos2x，其中a，bR，ab0.若f(x)对一切xR恒成立，则f0；，此时平方得b2a2b2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交故错【解题技巧点睛】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查.在众多的性质中，三角函数的图象的对称性是一个高考的热点.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象.考点四 三角函数的图像 例8 2011辽宁卷 已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象则f(
11、)A2 B. C. D2【答案】 B【解析】 由图象知2，2.又由于2k(kZ)，k(kZ)，又|0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则()Af(x)在区间2，0上是增函 Bf(x)在区间3，上是增函数Cf(x)在区间3，5上是减函数 Df(x)在区间4，6上是减函数【答案】A【解析】 6，.又2k，kZ且，当k0时，f(x)2sin，要使f(x)递增，须有2kx2k，kZ，解之得6kx6k，kZ，当k0时，x，f(x)在上递增来源:学科网ZXXK例10 2011课标全国卷 设函数f(x)sincos，则()Ayf(x)在单调递增，其图像关于直线x对称Byf(x)在
12、单调递增，其图像关于直线x对称Cyf(x)在单调递减，其图像关于直线x对称Dyf(x)在单调递减，其图像关于直线x对称【答案】D【解析】 f(x)sinsincos2x，所以yf(x)在内单调递减，又fcos，是最小值所以函数yf(x)的图像关于直线x对称【解题技巧点睛】1根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围2进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变
13、换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数ysin的图象向左平移个单位时，得到的是函数ysinsin2x的图象3解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究考点五 与三角相关的最值问题例112011课标全国卷 在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_【答案】2【解析】 因为B60，ABC180，所以AC120，由正弦定理，有2，所以AB2sinC，BC2sinA.所以AB2BC2sinC4sinA2sin(120A)4sinA2(si
14、n120cosAcos120sinA)4sinAcosA5sinA2sin(A)，(其中sin，cos)所以AB2BC的最大值为2.例12 2011湖南卷 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinAacosC.(1)求角C的大小；(2)求sinAcos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小【解答】 (1)由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.因为0A0.从而sinCcosC.又cosC0，所以tanC1，则C.(2)由(1)知，BA，于是sinAcossinAcos(A)sinAcosA2sin.因为0A，所以A.从而当A，即A时，2sin取最大值2.综上所述
15、，sinAcos的最大值为2，此时A，B.例132011福建卷 设函f()sincos，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0.(1)若点P的坐标为，求f()的值；(2)若点P(x，y)为平面区域：上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f()的最小值和最大值【解答】 (1)由点P的坐标和三角函数的定义可得于是f()sincos2.(2)作出平面区域(即三角形区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)于是0.又f()sincos2sin，且，故当，即时，f()取得最大值，且最大值等于2；当，即0时，f()取得最小值，且最小值
16、等于1.【解题技巧点睛】三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的下面三种类型：（1）可化为型函数值域：利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到的形式，然后借助题目中给定的的范围，确定的范围，最后利用的图象确定函数的值域. 如：、等.(2)可化为型求函数的值域： 首先借助三角公式，把函数化成型，然后采用换元法，即令，构造关于的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：、可转化为二次函数求值域；、可转化为对号函数求值域.(3)利用数性结合思想求函数的值域：此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以
17、把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如，常转化为直线的斜率的几何含义求解.考点六 解三角形的相关问题例14 2011安徽卷 已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_【答案】15【解析】 不妨设A120，cb，则ab4，cb4，于是cos120，解得b10，所以c6.所以Sbcsin12015.例15 2011北京卷 在ABC中，若b5，B，tanA2，则sinA_；a_.【答案】2【解析】 因为tanA2，所以sinA；再由正弦定理有：，即，可得a2.例16 2011福建卷 如图15，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，则A
18、D的长度等于_【答案】 【解析】 在ABC中，由余弦定理，有cosC，则ACB30.在ACD中，由正弦定理，有，AD，即AD的长度等于.例17 2011山东卷 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosB，ABC的周长为5，求b的长【解答】 (1)由正弦定理，设k.则.所以原等式可化为.即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得sin(AB)2sin(BC)，又因为ABC，所以原等式可化为sinC2sinA，因此2.(2)由正弦定理及2得c2a，由余弦定理及cosB得b2a2c22accosBa24a24a24a2.所以b
19、2a.又abc5.从而a1，因此b2.【解题技巧点睛】1使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角2当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角3正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间
20、的关系考点七 三角化简与三角函数相结合例18 2011天津卷 已知函数f(x)tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设，若f2cos2，求的大小【解答】 (1)由2xk，kZ，得x，kZ.所以f(x)的定义域为.f(x)的最小正周期为.(2)由f2cos2，得tan2cos2，2(cos2sin2)，整理得2(cossin)(cossin)因为，所以sincos0，因此(cossin)2，即sin2.由，得2，所以2，即.例19 2011江西卷 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosAccosBbcosC.(1)求cosA的值；(2)若a1，cosBcos
21、C，求边c的值【解答】 (1)由余弦定理b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC，有ccosBbcosCa，代入已知条件得3acosAa，即cosA.(2)由cosA得sinA，则cosBcos(AC)cosCsinC，代入cosBcosC，得cosCsinC，从而得sin(C)1，其中sin，cos，0.则C，于是sinC，由正弦定理得c.【解题技巧点睛】解答三角综合问题的策略：来源:学*科*网（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”.（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系.（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.考点八 三角化简
22、和解三角形相结合例20 2011安徽卷 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高【解答】 由12cos(BC)0和BCA，得12cosA0，cosA，sinA.再由正弦定理，得sinB.由ba知BA，所以B不是最大角，B，从而cosB.由上述结果知sinCsin(AB).设边BC上的高为h，则有hbsinC.例21 2011江西卷在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinCcosC1sin.(1)求sinC的值；(2)若a2b24(ab)8，求边c的值【解答】 (1)由已知得sinCsin1cosC，即sin2sin2，
23、由sin0得2cos12sin，即sincos，两边平方得：sinC.(2)由sincos0得，即C，则由sinC得cosC，由a2b24(ab)8得：(a2)2(b2)20，则a2，b2.由余弦定理得c2a2b22abcosC82，所以c1.【解题技巧点睛】利用正弦定理与余弦定理解题，经常利用转化思想，一个是边转化为角，另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去
24、计算较小边所对的角，可避免分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦.针对训练一选择题1.【2012届河北正定中学高三上学期第二次月考】若= （ ）ABCD答案：C解析：由得，所以=.2.【2012届河北正定中学高三上学期第二次月考】将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（ ）A B C D答案：A解析：的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位可得.3.【2012届四川自贡高三一诊】已知函数，下列结论正确的个数（ ）图像关于对称；函数在区间上的最大值为1；函数图像按向量平移后所得图像关于原点对称.A0B1C
25、2D3答案：D解析：当时，所以正确；时，所以正确；函数图像按向量平移后所得的解析式为，所以正确.4.【北京市海淀区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试】函数的部分图象如图所示，那么 （ ）（A） （B） （C） （D）答案：C 解析：由图可知，为函数图象的最高点，故选C.5.【唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试】若是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时（ ）A在单调递减B在单调递增C在单调递减D在单调递增答案：A 解析：化简函数的解析式为依题意可知:当取得最小正数是2，故函数的解析式为由,可知函数的单调递增区间为当函数的一个单调递增区间为因故正确答案为A.6.
26、【唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试】若（ ）ABCD答案：B 解析：将代入整理为：故答案为B.7.【湖北省孝感市20112012学年度高中三年级第一次统一考试】已知的部分图象如图所示，则的表达式为 （ ）ABCD答案：B解析：由函数的图像可知，排除C、D；又因函数过点代入验证B满足条件.8.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】在中，则A.或 B.C.D.答案：C解析：由正弦定理，又，则为锐角，故.9.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低点，且，则该函数图象的一条对称轴为A.B.C.D.答案：D解析：
27、由为奇函数，得，又，.结合图象知，当时，是其一条对称轴.10.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值为( ） A. B. C. D. 答案：解析：由题设，于是最小可以取2.11【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知函数的图象的一条对称轴是，则函数 的最大值是（ ）A B C D答案: A解析:由函数的图象的一条对称轴是得，解得，所以函数 的最大值是.12【2012届河北正定中学高三上学期第二次月考】若的内角所对的边满足，且，则的最小值为 （ ） A BC D答案：D解析：由余弦定理可得：所以有二填空题13.【2012大同市高三学情调研
28、】在中，内角A、B、C依次成等差数列，则外接圆的面积为_.答案：解析：由题意可得B=600，由余弦定理得：，所以,由正弦定理可得,.14【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知，且，则的值为 答案：解析： 由，且，得，所以.15.【唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试】在中，边上的高为则AC+BC= .答案： 解析：依题意，利用三角形面积相等有:利用余弦定理可知解得：又因16.【2012届无锡一中高三第一学期期初试卷】如图，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD的大小是 答案:解析:考
29、查解三角形及和差角公式;,而,三、解答题17.【北京市海淀区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试】在中，角，所对的边分别为， ，.（）求及的值；（）若，求的面积.解：（）因为，所以. 2分因为，所以. 3分由题意可知，.所以. 5分因为.6分所以 . 8分（）因为， 10分来源:学科网所以. 所以. 11分来源:学。科。网Z。X。X。K所以. 13分18.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点如果、两点的纵坐标分别为、，求和；在的条件下，求的值；已知点，求函数的值域解：（1）根据三角函数的定义，得，又是锐角，
30、所以 ( 4分)（2）由（1）知因为是钝角，所以所以 ( 8分)（3）由题意可知，所以，因为，所以，从而，因此函数的值域为 ( 12分)19【湖北省八校2012届高三第一次联考】已知幂函数上是增函数， （1）当时，求的值； （2）求的最值以及取最值时x的取值集合.解：（1）依题设得 ，（6分）20.【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】在中，角所对的边分别为已知（）若求的面积；（）求的取值范围解：（1） 由三角形正弦定理可得：， 5分 7分（2）11分， 12分 则 14分21.【惠州市2012届高三第二次调研考试】已知函数，（1）求该函数的最小正周期和最小值；（2）若，求该函数的单
31、调递增区间.解：（1） 4分 所以 6分（2） 8分令，得到或， 10分与取交集, 得到或,所以，当时，函数的. 12分22.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】在中，角的对边分别为,且（）求的值；（）若，求面积的最大值.解析：（I）因为，所以. 1分 又 =+=. 6分（II）由已知得， 7分 又因为， 所以. 8分 又因为， 所以，当且仅当时，取得最大值. 11分 此时.所以的面积的最大值为. 13分23.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】在中，求及的值.解析：由，得因为，所以，若，则，这与矛盾，所以，即5分所以，即，因为，所以8分由正弦定理，有，所以12分
