1、湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学参考答案（第 1 页 共 4 页）湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学参考答案及评分标准选择题题号123456789101112答案ACDACDBDCDABCBCABD填空题13 2614 1213153162,1)2解答题17【解析】（1）因为2()()23ff，所以()yf x图像的一条对称轴为2723212x4 分（2）因为函数()sin()f xx在区间(,)6 2 单调，所以最小正周期22()263T，所以223T，即3，又 为正整数，所以1 ，2，3，由（1）知，()f x 在712x处取得最值，所以
2、7122k，kZ，即7212k，kZ，6 分当1 时，12k，kZ，由|2，知12 ，所以()sin()12f xx，所以3()sin()sin6612122f，不符合题意；当2 时，23k，kZ，由|2，知3，所以()sin(2)3f xx，所以23()sin(2)sin66332f，符合题意；当3 时，54k，kZ，由|2，知4 ，所以()sin(3)4f xx，所以23()sin(3)66422f，不符合题意.综上所述，3 10 分18【解析】（1）(1)212111(1)(1)(1)2n nnaaa，当1n 时，1112a，解得11a ，当2n 时，(1)2121111(1)(1)(1
3、)2nnnaaa，两式相除得 112nna ，即121nna，当1n 时，11a 满足上式，121nna；5 分湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学参考答案（第 2 页 共 4 页）（2）由（1）得121nna，则 121nna ，2nnnnna，123(1 21)(222)(323)(2)nnSnn123(1 222322)(123)nnn 令1231 2223 22nnAn ，(1)1232nn nBn，234121 2223 2(1)22nnnAnn ，由 得123112(12)22222212nnnnnAnn，1(1)22nnAn，10 分1(1)(1)222nn
4、nnn nSABn席建颖；12 分19【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件 A，乙进球为事件 B，A，B 相互独立，由题意得：111()(1)233P A，111()(1)224P B，甲的得分 X 的可能取值为 1，0，1，111(1)()()()(1)346P XP ABP A P B，11117(0)()()()()()()(1)(1)343412P XP ABP ABP A P BP A P B，111(1)()()()(1)344P XP ABP A P B，所以 X 的分布列为：X101P16712141711()101612412E X 6 分（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于
5、乙有四种情况：甲 3 轮各得 1 分；甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得0 分；甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得-1 分；甲 3 轮中有 1 轮得 1 分，2 轮各得 0 分，甲 3 轮各得 1 分的概率为3111()464P，甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得 0 分的概率为2223177()41264PC，甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得-1 分的概率为2233111()4632PC，甲 3 轮中有 1 轮得 1 分，2 轮各得 0 分的概率为12431749()412192PC，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432
6、192192P 12 分湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学参考答案（第 3 页 共 4 页）20.【解析】（1）如图，取 AB 中点 O，连接 PO，CO.因为2PAPB，2AB，所 以POAB，1PO，1BO.又 因 为 ABCD 是 菱 形，60ABC，所 以COAB，3CO.因 为2PC，所 以222PCPOCO，所以POCO.又因为AB平面 ABCD，CO平面ABCD，ABCOO，所以PO平面 ABCD.因为/AD BC，BC平面PBC，AD平面 PBC，所以/AD平面 PBC，所以1133143343 ABD PBCA PBCP ABCCVVVPO S.因为3
7、162MPBCD PBCVV，所以点 M 到平面 PBC 的距离是点 D 到平面 PBC 的距离的 12，所以PMMD.6 分（2）由（1）知，BOCO，POBO，POCO，如图，以 O为坐标原点，OC，OB，OP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则0,1,0A，(0,1,0)B，3,0,0C，3,2,0D，0,0,1P，所 以31,1,22M，3,1,0AC，3,1,0BC，3,3,0BD，0,1,1AP，31,1,22 CM.设平面 的法向量为,nx y z，则00 n BDn CM，即33031022xyxyz.取1y，得到平面 的一个法向量3,1,5n.因
8、为QAP，设0,AQAP，则3,1,CQAQAC，因为3150 n CQ，所以23，所以1 23,3 3 CQ.8 分设平面 BCQ 的法向量为1111,nx y z，则1100 nCQnBC，即111112303330yzxxy.取11x，得到平面 BCQ的一个法向量11,3,2 3n.设平面 BCQ 与平面 ABCD 夹角是 ，又因为20,0,1n是平面 ABCD 的一个法向量，则1212123coscos,2nnn nn n ，所以6，故平面 BCQ 与平面 ABCD的夹角是 6.12 分湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学参考答案（第 4 页 共 4 页）21.【
9、解析】（1）依题意1a ，3ba，则3b，E 的方程为2213yx .4 分（2）设1122(,)(,)A x yB xy、，AB 的方程为1(4)yk x，3344(,)(,)C xyD xy、，CD 的方程为2(4)ykx，联立22133(4)xyyk x，得2222111(3)81630kxk xk，2112218+=3kxxk，从而1121122124(8)3kyyk xxk，2112211412(,)33kkM kk.12=3k k，213=kk，122111212(,)33kNkk，MN 的斜 率112211112221112211121233246441231233MNkkkkk
10、kkkkkkk，直 线 MN 的 方 程 为21112221111264()333kkkyxkkk，即1216(2)3kyxk.直线 MN 恒过定点(2,0)T.9 分又90THG，H 的轨迹为以TG 为直径的圆.取TG 中点(3,0)K，则1|12HKTKKGTG，故存在定点(3,0)K使|HK 为定值.12 分22.【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)，(41)(1)()axaxfxx若0a，则1(),()(0,)fxf xx在单调递增；若0a，令()0,fx解得12110,0()4xxaa 舍去 单调递增；()f x 在11(0,),aa 单调递增，在()单调递减.4分（2）22
11、22()36933(ln231)()3().mmmmmmf nmeeeeef nf e，若1a ，由（1）知()f x 在(0,1)1,单调递增，在()单调递减.01m，1n ，21,1men，又()f x1,在()单调递减，要证2men，即证2()()3()mmf ef nf e即证()0mf e，由()f x 的单调性可知()(1)0.mf ef8 分要 证223mne，即 证23.2men 231,1,()2menf x1,在()单调递减，即 证23()()2mef nf，即 证33()()2mmef ef，即证23393()3()()22ln02222mmmmeeeg mf efm.29()232mmeg me,293()6(34)022mmmmeeg mee,()g m0,在()单调递减.279(0)0,(1)23022ggee,1(0,1)m，()g m 在10,m()单调递增，在1m(,1)单调递减.23393(0)1ln0,(1)ln2222ggee ，ln1x x，31ln 22，22393391(1)ln02222eegee，()0g m在 0,()恒成立，证毕！12 分
