1、课下梯度提能一、基本能力达标1设函数f(x)2x1(x0),则f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数 D是减函数解析:选Af(x)2,令f(x)0,得x.当x0,当x0时,f(x)0得sin x,0x;由y,2,当x时取最大值,故选B.6函数f(x)exsin x在区间上的值域为_解析:f(x)ex(sin xcos x)因为x,所以f(x)0.所以f(x)在上为增函数,所以f(x)minf(0)0,f(x)maxfe.答案:7直线ya分别与曲线y2(x1),yxln x交于A,B两点,则AB的最小值为_解析:设A(x1,a),B(x2,a),则2(x11)x2ln x2,x1(x2ln
2、x2)1,ABx2x1(x2ln x2)1,令y(xln x)1,则y,函数在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,当x1时,函数取得最小值,即ABmin.答案:8若关于x的不等式x2m对任意x 恒成立,则m的取值范围是_解析:设yx2,则y2x,当x时,y0,yx2是减函数,当x时,y取得最小值为.x2m恒成立,m.答案:9已知k为实数,f(x)(x24)(xk)(1)求导函数f(x);(2)若x1是函数f(x)的极值点,求f(x)在区间2,2上的最大值和最小值解:(1)f(x)x3kx24x4k,f(x)3x22kx4.(2)由f(1)0,得k.f(x)x3x24x2,f(x)3x2
3、x4.由f(x)0,得x1或x.又f(2)0,f(1),f,f(2)0,f(x)在区间2,2上的最大值为,最小值为.10已知函数f(x)x3ax2bx5,曲线yf(x)在点P(1,f(1)处的切线方程为y3x1.(1)求a,b的值;(2)求yf(x)在3,1上的最大值解:(1)依题意可知点P(1,f(1)为切点,代入切线方程y3x1可得,f(1)3114,f(1)1ab54,即ab2,又由f(x)x3ax2bx5得,又f(x)3x22axb,而由切线y3x1的斜率可知f(1)3,32ab3,即2ab0,由解得a2,b4.(2)由(1)知f(x)x32x24x5,f(x)3x24x4(3x2)(
4、x2),令f(x)0,得x或x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x3(3,2)21f(x)00f(x)8极大值极小值4f(x)的极大值为f(2)13,极小值为f,又f(3)8,f(1)4,f(x)在3,1上的最大值为13.二、综合能力提升1已知函数f(x)x33x1,若对于区间3,2上的任意x1,x2都有|f(x1)f(x2)|t,则实数t的最小值是()A20 B18C3 D0解析:选A根据题意可得|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|t,因为f(x)3x23,x3,2,所以f(x)在1,1上单调递减,在1,2和3,1上单调递增f(3)19,f(1)1,f(1
5、)3,f(2)1,所以|f(x)maxf(x)min|20,所以t20,故选A.2已知当x时,函数f(x)txsin x(tR)的值恒小于零,则t的取值范围是()A. B.C. D.解析:选Af(x)txsin x0在x内恒成立,即t在内恒成立,令g(x),则g(x).令(x)xcos xsin x,则(x)xsin x,当x时,(x)0,(x)在上单调递减,(x)xcos x,g(x)0,g(x)在内单调递减,t.3已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值解:(1)f(x)3x26x93(x22x3
6、)3(x1)(x3)令f(x)0,则3(x1)(x3)0,解得x3.函数f(x)的单调递减区间为(,1),(3,)(2)结合(1),令f(x)0,得x1或x3.又x2,2,x1.当2x1时,f(x)0;当1x0.x1是函数f(x)的极小值点,该极小值也就是函数f(x)在2,2上的最小值,即f(x)minf(1)a5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)81218aa22,f(2)81218aa2.a22a2,f(x)maxa2220,a2.此时f(x)mina5257.4已知f(x)axln x,aR.(1)当a1时,求曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)是否存在实数a,使f(x
7、)在区间(0,e上的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由解:(1)当a1时,f(x)xln x,f(x)1,所求切线的斜率为f(2),切点为(2,2ln 2),所求切线的方程为y(2ln 2)(x2),即x2y22ln 20.(2)假设存在实数a,使f(x)axln x,x(0,e有最小值3,f(x)a.当a0时,f(x)在(0,e上单调递减,故f(x)minf(e)ae13,解得a(舍去),所以此时不存在符合题意的实数a;当0e时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)minf1ln a3,解得ae2,满足条件;当e时,f(x)在(0,e上单调递减,故f(x)minf(e)ae13,解得a(舍去),所以此时不存在符合题意的实数a.综上,存在实数ae2,使得当x(0,e时,f(x)有最小值3.