1、1宿州市十三所重点中学 20212022 学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（北师大版）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号123456789101112答案DCBABAABCBCD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.1017；14.8；15.)1,36；16.25.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解：（）由已知）（1,0,11B，）（1,1,11C，）（0,1,0D，因为 E 是棱11CB的中点，所以），（1211E，F 是侧面11CCDD的中心，所以），（2112
2、1F，所以，2321-11-2121-1222）（）（）（EF5 分（）根据正方体的性质得：向量 EF 在1DC 方向上的投影向量为FC1，因为11,EFCDCEF，所以，向量 EF 在1DC 方向上的投影数量为22)cos(1FCEFGEF10 分18.解：（）边 AB 的中点坐标为)0,2(，直线 AB 的斜率为210411，因此，边 AB 的垂直平分线的斜率为 2，从而，边 AB 的垂直平分线的方程为)2(2xy，即42 xy.6 分（）边 AC 的垂直平分线的方程为1x，由（）联立方程组)2(21xyx，得21yx，即 ABC的外接圆圆心为)2,1(，从而半径为10)12()01(22
3、，因此，ABC的外接圆的方程为10)2()1(22yx.12 分219.解：（）由图得），（33 A，设抛物线的标准方程为）（022ppyx.将点 A 的坐标代入上式，得p69，即32p.所以该段抛物线OAA1所在抛物线的方程为yx32.6 分（）由（）知：将5.1x代入抛物线的标准方程，得75.0y，则5.44.250.755.这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于 BD,所以，此车不能安全通过隧道.12 分20.解：（）由221 MFMF，且322，知动点 M 的轨迹是一个以点1F，2F 为焦点的双曲线，设其方程为)0,0(12222babyax，设焦距为 c2，则
4、1a，3c，2b，所以，动点 M 的轨迹方程为1222 yx.4 分（）（法一）当直线l 斜率不存在时，直线方程为2x，显然不符合题意；当直线l 斜率存在时，设直线方程为1)2(xky，),(11 yxA，),(22 yxB由121)2(22yxxky消去 y 得02)21()21(2)(2222kxkkxk，当022 k，即2k时，显然不符合题意；当022 k，即2k时，2212)21(2kkkxx8 分因为点 1,2A为中点，所以42)21(2221kkkxx，解得4k，所以直线方程为1)2(4xy，即074 yx.12 分（法二）设双曲线与直线交于),(11 yxP，),(22 yxQ两
5、点，3则421 xx，221 yy，因为 P,Q 两点在双曲线上，所以121222222121yxyx，8 分两式相减得0)(21)(21212121yyyyxxxx，即42121xxyykPQ，因此)2(41xyPQ：，即074 yx，经检验可知成立.所以，以点 1,2A为中点的弦所在的直线方程为074 yx.12 分21.解：（）两条直线02:1mymxl，02:2 myxl均恒过定点)02(，M，因为)02(，M在圆0626:22yxyxC内，所以，直线 1l，2l 均与圆C 相交.4 分（）易知21ll，设点)02(，M到直线 1l，2l 的距离分别为1d，2d，则22221 dd，从
6、而21d42AB，22d42EF，所以2221-42-42ddEFAB，8 分222212-42-42）（）（ddEFAB222144824dd)44(4242221dd48，当且仅当222144dd，即121 dd时等号成立，所以EFAB 的最大值为34.12 分422.解：（）由题意可得：1431122bab，解得：1422ba，所以椭圆 C 的方程为1422 yx.4 分（）易知直线l 斜率存在，设其为 k，则l 的方程为)2(1xky，由题意知0k且1k.设）（11,yxP，）（22,yxQ,联立方程组)2(11422xkyyx，消去 y 整理得0)1(16)12(8)41(22kkkkxk所以22141)12(8kkkxx，22141)1(16kkkxx8 分所以22112111xyxykk2211112112xkkxxkkx212121)22(2)11)(22(2xxxxkkxxkk)1(16)12(8)22(2kkkkkk)12(2kk1.即21kk 为定值 1.12 分（说明：解答题若用其它方法，可酌情给分！）
