1、面二 ：拥抱经典与名题对话 数 学选修 系列 4 内容重点解析 口 徐进 文 数学 选修 系列 4 在江苏 高考试卷 中 出现 于附加题 选做 题部 分，主要涉及几何证明、矩阵与变换、坐标 系与 参数方程、不等式的证 明 四部分 知识考 查多 为基本 技 能 型 问题 一L何证 明 从相 似图形 的性质人手，涉及平行 线分 线段成 比例 定理、切线长定理、割线长定理、相 交弦定 理等 等，主要 证明一些 反映圆与直线关 系的问题 例 1(2011 年高考 天津卷 文科 13)如图，已知 圆中两条弦 A B 与 CD A 相交 于点 F，E 是 A B 延 长 线 上 一 点，且 DF=CF 一
2、，A F：FB：BE=4 二、矩 阵与 变换 本专题通过平 面图形 的变 换讨论二 阶方 阵 的运 算 及有关概念，并 以变换和映射 的观 点理解线 性方程组 的 意义，展示矩阵的作用 例1 已知矩阵A一 1：，向量a一 (1)求 A 的特征值 1、2和 特征 向量 口、口；(2)计 算 A 口的值 解：(1)矩 阵 A 的 特 征 多 项 式 为 f()一 E i-一2 f：A2-5A+6=0,得 一z，一s，当 一。2。1若 CE 与 圆相切，则线段 CE 的长为 解 析：A F=4x，B F=2x，BE=z，则 由相交 弦定 理 得：DF=A F F B，即 8x2 2，即 z 2一 1
3、，由切割线定 理 得：CEz=EB EA 一7-r 2一 7，所 以 CE-Vz 例 2(2010 年 江 苏)如 图，A B 是 圆 O 的直 径，D 为 圆 上 一 点，过 D 作 圆。的切 线交 AB 的延长 线 于点c 若 DA DC，求证：A B=2B C 解 析：本 题 主 要考 查 三 角 形、圆的有关知识 连接 OD、BD。A B 是 圆O 的直径，A D B 一 9O。，A B 一 2 0 B 。DC 是 圆 0 的切 线，C D 0 90。又。D A D C，A 一 C，。A DB 垒 C DO，A B C0，即 2OB OB+BC，得 OB=BC 故 A B 一2BC z
4、时，解得 一；，A2=3时，解得口z一 (2)由口一嗍+豫 得 2D+1Jl 7一：4，m一3，一1 A 口一A (3口1+a 2)一 3 A 口1)+A 口2 3(口1)+zz；+ss 新 例 2已知曲线 一，将它绕 坐标原 点顺时针 旋 解：设点P(Xo,Yo)为曲线 一 上任意一点，旋转 Lc os 4 5。sin4 5-x。o一 即X=Xo COS4 5。+n4 5。I 一 一 o sin4 5。+co s45。解得 Xo=T (x-y)，又Y。一 1，得等一等一1即 解得，又。一一，得 一 一即 j b一(+)变式 1 已知 曲线 一，将它 绕坐标 原点逆 时针 旋转 45。，求旋转
5、后 的曲线方程(提示：一co si(-一4 5)。)s。in(-一4 5。)-Li-x0-。Ey 变式 2试 求曲线 一 的焦点坐标和准线方程(提示：双曲线 一鲁 一1 的焦点坐标分别为 F(一2，O)和 F(2，O)，准线方程为直线-z一1，对 以上元 素绕坐标原点再逆时针方 向旋转 45。得 即 一 的焦点 坐标和准线方程)三、坐标 系与 参数 方程 本专题是解析几何、平 面向量、三角 函数等 内容 的 综合运用和进一步深化一方 面注意体会极坐标 系和参 数方程对于有 些 问题 的解决 过程 会更 加简 洁另 一方 面，我们 学习本专题 时要感 受普通方 程是基 础，一 般涉 及关于极坐标
6、或参数方程的问题时，通常应转化为普通 方程解决 式、会运用平均值不等式、柯 西不等式求 一些 特定 函数 的最值 例 1设 z、Y、满足 z+2y+3z。一3，求 5一z+2+3 的最大值 解：由 z+2 t-3z=1 十 +瓜 根据柯西不等式，得 1 z+,1+(+()。x2 q-2y2+3z23 变式 训练 设 z+Y+1，求 F 一2x+3y+的最 小 值 例 2已知 a，b，cE R，证 明不等式：a+46+9f。2a b+3a c+6bc 证 明：因为 a+4b24ab ，46。+9f 12bc ，a+9c 6ac 式两边相 加，得 2n。+86+18c 4口6+6ac+1 2bc
7、即 a+4b+9c 2ab+3ac+6bc，故不等式成立 变式训练设 z，Y，为正数，证 明：2(x。+。+)例 1 坐 标 系 xOy 中，直 线 z 的 参 数 方 程 为 。(+)+(z+)+z(z+)(提示：-zs+。fz一34 g 1。Y j(为参数)在极坐标系(与直角坐标系 例3 设函数，(z)一Ix一1I+I 一口I I v一+(1)若口一一1，解不等式-厂(z)3；xOy 取相 同的长度单位，且以原点 0 为极点，以 轴正 解析：(1)当 一1 时，厂(-z)一 I 一1 l+I z+1 I 半轴为极轴)中，圆 C 的方程为lD一2,sinO 3：cC譬喜 A B著点P 标为
8、若 贝lJ+州3，B口 三2，(2)设圆 与直线z交于点、，若点 的坐标为 。(3，)，求lPAI+lPB1 _兰_；解：(1)由ID一2f f sin0，得 z+一2 一0，即 z 若一1 1，则 1-x+13，无 解 十-4 5)，一 ，若 z 0，故可设，是上 综上所述，不等式的解集为z I z号，或z一 述方程的两实根 要)所 以 tq-tz=34g,y直 线 z 过点 P(3，)，而点(2)由题 意知，要使对任意的 z R，不等式恒成立，P 在圆 C 外，故 由上式及 的几何意义得：只需 厂(z)一l X-1 I+IX-口I的最小值恒大于等于 2 即 PA l+I PB I I I+
9、I屯I I+I一3 厄 可 因 Ix一1 I+l z n I的几何 意义为数 轴上 的任意一 四、不等式选讲 誊 篙：本专题介绍 了一些重要的不等式及它们的证明、数 一1 U 3，+o。)学归纳法及简单运用，特别 强调不等式及 其证 明的几何(作者：徐进文，江 苏省赣榆 县城 头高级 中学)意义与背景，明确要求会用数学归纳法证 明贝努利不等 拥抱经典 与名题对话数学选修系列4内容重点解析作者：徐进文作者单位：江苏省赣榆县城头高级中学刊名：中学课程辅导：高考版英文刊名：年，卷(期)：2012(1)引用本文格式：徐进文 拥抱经典 与名题对话数学选修系列4内容重点解析期刊论文-中学课程辅导：高考版 2012(1)
