1、第一节 变化率与导数、导数的计算考纲要求：1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0 处的导数称函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率li mx0yxli mx0fx0 xfx0 x为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)li mx0yxli mx0fx0 xfx0 x.(2)导数的几何意义函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(
2、x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0)(3)函数 f(x)的导函数称函数 f(x)li mx0fxxfxx为 f(x)的导函数2导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)xn(nQ)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)1xln af(x)ln xf(x)1x(2)导数的运算法
3、则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；fxgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(2)f(x0)是导函数 f(x)在 xx0 处的函数值()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)sin 3 cos 3.()(5)若(ln x)1x，则 1x ln x()(6)函数 f(x)sin(x)的导数为 f(x)cos x()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2曲线 ysin xex 在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30
4、 Bx2y20C2xy10D3xy10解析：选 C ysin xex，ycos xex，yx0cos 0e02，曲线 ysin xex 在点(0,1)处的切线方程为 y12(x0)，即 2xy10.故选 C.3求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)yx31sin x.答案：(1)yex(nxn1xn)(2)y3x2sin xx31cos xsin2x.典题 1 求下列函数的导数：(1)y(1 x)1 1x；(2)yln xx；(3)ytan x；(4)y3xex2xe；听前试做(1)y(1 x)1 1x 1x xx12x12，y(x12)(x12)12x3212x12.(2)yln xxl
5、n xxxln xx21xxln xx21ln xx2.(3)ysin xcos x sin xcos xsin xcos xcos2xcos xcos xsin xsin xcos2x 1cos2x.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数
6、公式转化为和或差的形式，再求导典题 2(1)(2015天津高考)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，f(x)为 f(x)的导函数若 f(1)3，则 a 的值为_(2)已知 f(x)12x22xf(2 016)2 016ln x，则 f(2 016)_.听前试做(1)f(x)aln xx1x a(1ln x)由于 f(1)a(1ln 1)a，又 f(1)3，所以 a3.(2)由题意得 f(x)x2f(2 016)2 016x，所以 f(2 016)2 0162f(2 016)2 0162 016，即 f(2 016)(2 0161)2 017.答案：(1)3(2)2 0
7、17在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误1若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于()A1B2C2D0解析：选 B f(x)ax4bx2c，f(x)4ax32bx.又 f(1)2，4a2b2，f(1)4a2b2.2在等比数列an中，a12，a84，函数 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则 f(0)的值为_解析：因为 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以 f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an
8、为等比数列，所以 a2a7a3a6a4a5a1a88，所以 f(0)84212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程典题 3(1)(2016唐山模拟)曲线 yexln x 在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10D(e1)xy10(2)(2016雅安模拟)设曲线 yex12ax 在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则实数 a()A3B1C2D0(3)已知函数 f(x)x34x25x4.求曲线 f(x
9、)在点(2，f(2)处的切线方程；求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程听前试做(1)由于 ye1x，所以故曲线 yexln x 在点(1，e)处的切线方程为 ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.(2)与直线 x2y10 垂直的直线斜率为 2，f(0)e012a2，解得 a2.(3)f(x)3x28x5，f(2)1，又 f(2)2，曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(2)x2，即 xy40.设切点坐标为(x0，x304x205x04)，f(x0)3x208x05，切线方程为 y(2)(3x208x05)(x2)，又切线过点(x0，x304x205x04)，x30
10、4x205x02(3x208x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得 x02 或 x01，经过 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 xy40 或 y20.答案：(1)C(2)C 角度二：求切点坐标典题 4(2015陕西高考)设曲线 yex在点(0,1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_听前试做 yex，曲线 yex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1e01，设 P(m，n)，y1x(x0)的导数为 y1x2(x0)，曲线 y1x(x0)在点 P 处的切线斜率 k2 1m2(m0)，因为两切线垂直，所以 k1k21，所以 m1，n1，则
11、点 P 的坐标为(1,1)答案：(1,1)角度三：求参数的值典题 5(1)若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点(0，m)处有公切线，则 ab()A1B0C1D2(2)(2015新课标全国卷)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.(3)(2015新课标全国卷)已知曲线 yxln x 在点(1,1)处的切线与曲线 yax2(a2)x1 相切，则 a_.听前试做(1)两曲线的交点为(0，m)，ma，m1，即 a1，f(x)cos x，f(x)sin x，则 f(0)0，f(0)1.又 g(x)2xb，g(0)b，b0，ab
12、1.(2)f(x)3ax21，f(1)3a1.又 f(1)a2，切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得 a1.(3)法一：yxln x，y11x，yx12.曲线 yxln x 在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即 y2x1.y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切，a0(当 a0 时曲线变为 y2x1 与已知直线平行)由y2x1，yax2a2x1，消去 y，得 ax2ax20.由 a28a0，解得 a8.法二：同法一得切线方程为 y2x1.设 y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切于点(x0，ax20(a2)x01)y2ax(a2
13、)，yxx02ax0(a2)由2ax0a22，ax20a2x012x01，解得x012，a8.答案：(1)C(2)1(3)8(1)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解(如角度一)(2)已知斜率 k，求切点 A(x0，f(x0)，即解方程 f(x0)k.(如角度二)(3)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解当切线方程中 x(或 y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点(如角度
14、三)课堂归纳感悟提升方法技巧1f(x0)代表函数 f(x)在 xx0 处的导数值；(f(x0)是函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常数，其导数一定为 0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数易错防范1曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不
15、一定为切点2利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点4曲线未必在其切线的同侧，如曲线 yx3 在其过(0,0)点的切线 y0 的两侧.全盘巩固一、选择题1曲线 yex 在点 A(0,1)处的切线斜率为()A1B2CeD.1e解析：选 A 由题意知 yex，故所求切线斜率 k2(2016惠州模拟)已知函数 f(x)1xcos x，则 f()f 2()A 32B 12C3D1解析：选 C f(x)1x2cos x1x(si
16、n x)，f()f 2 12(1)3.3设曲线y1cos xsin x在点2，1 处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1B.12C2D2解析：选 A y1cos xsin2x，由条件知1a1，a1.4(2016西安模拟)设直线 y12xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b 的值为()Aln 21Bln 22C2ln 21D2ln 22解析：选 A 设切点坐标为(x0，ln x0)，则1x012，即 x02，切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线 y12xb 上，ln 21b，即 bln 21.5(2016上饶模拟)若点 P 是曲线 yx2ln x 上任意一点，则点
17、 P 到直线 yx2 的最小值为()A1B.2C.22D.3解析：选 B 因为定义域为(0，)，所以 y2x1x1，解得 x1，则在 P(1,1)处的切线方程为 xy0，所以两平行线间的距离为 d 22 2.二、填空题6已知函数 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0_.解析：f(x)ln x1，由 f(x0)2，即 ln x012，解得 x0e.答案：e7若直线 l 与幂函数 yxn 的图象相切于点 A(2,8)，则直线 l 的方程为_解析：由题意知，A(2,8)在 yxn 上，2n8，n3，y3x2，直线 l 的斜率 k32212，又直线 l 过点(2,8)y812(x2)，即直线
18、 l 的方程为 12xy160.答案：12xy1608(2016沈阳模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在曲线 C：yx3x 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 M 处的切线的斜率为 2，则点 M 的坐标为_解析：y3x21，曲线 C 在点 M 处的切线的斜率为 2，3x212，x1，又点 M 在第二象限，x1，y(1)3(1)0，M 点的坐标为(1,0)答案：(1,0)三、解答题9已知函数 f(x)x3x16.(1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标解：(1)可判定点(2，6)在曲线
19、yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)13.切线的方程为 y613(x2)，即 y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f(x0)3x201，y0 x30 x016，直线 l 的方程为 y(3x201)(xx0)x30 x016.又直线 l 过原点(0,0)，0(3x201)(x0)x30 x016，整理得，x308，x02，y0(2)3(2)1626，得切点坐标(2，26)，k3(2)2113.直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)10设函数 yx22x2 的图象为 C1，函数 yx2axb
20、的图象为 C2，已知过 C1与 C2 的一个交点的两切线互相垂直，求 ab 的值解：对于 C1：yx22x2，有 y2x2，对于 C2：yx2axb，有 y2xa，设 C1 与 C2 的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即 4x202(a2)x02a10，又点(x0，y0)在 C1 与 C2 上，故有y0 x202x02，y0 x20ax0b，2x20(a2)x02b0.由消去 x0，可得 ab52.冲击名校1下面四个图象中，有一个是函数 f(x)13x3ax2(a21)x1(aR)的导函数 yf(x)的图象，则 f(1)()A
21、.13B23C.73D13或53解析：选 D f(x)x22axa21，f(x)的图象开口向上，则排除若 f(x)的图象为，此时 a0，f(1)53；若 f(x)的图象为，此时 a210，又对称轴 xa0，a1，f(1)13.2已知曲线 C：f(x)x3axa，若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为()A.278B2C2D278解析：选 A 设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率 k3t2a，所以切线方程为 y(t3ata)(3t2a)(xt).将点 A(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解得
22、t0 或 t32.分别将 t0 和 t32代入式，得 ka 和 k274 a，由题意得它们互为相反数，故 a278.3函数 f(x)exx2x1 与 g(x)的图象关于直线 2xy30 对称，P，Q 分别是函数 f(x)，g(x)图象上的动点，则|PQ|的最小值为()A.55 B.5C.2 55D2 5解析：选 D 因为 f(x)与 g(x)的图象关于直线 2xy30 对称，所以当 f(x)与 g(x)在 P，Q 处的切线与 2xy30 平行时，|PQ|的长度最小f(x)ex2x1，令 ex2x12，得 x0，此时 P(0,2)，且 P 到 2xy30 的距离为 5，所以|PQ|min2 5.
23、4若曲线 f(x)ax3ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意，可知 f(x)3ax21x，又存在垂直于 y 轴的切线，所以 3ax21x0，即a 13x3(x0)，故 a(，0)答案：(，0)5已知函数 f(x)13x32x23x(xR)的图象为曲线 C.(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得 f(x)x24x3，则 f(x)(x2)211，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为
24、k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，k1，1k1，解得1k0 或 k1，故由1x24x30 或 x24x31，得 x(，2 2(1,3)2 2，)第二节 导数与函数的单调性、极值、最值考纲要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1函数的单调性与导数在(a，b)内的可导函数 f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.f(x)
25、0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值与导数(1)函数的极小值函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近的其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极
26、小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值3函数的最值与导数(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”
27、，错误的打“”)(1)f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件()(5)函数的极大值一定是函数的最大值()(6)开区间上的单调连续函数无最值()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2如图所示是函数 f(x)的导函数 f(x)的图象，则下列判断中正确的是()A函数 f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数 f(x)在区间(3,2)上是减函数C函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数 f(x)在区间(3,2)
28、上是单调函数解析：选 A 当 x(3,0)时，f(x)0 时，由 f(x)0 得，xa 或 x0；由 f(x)0 得 0 xa.即函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)当 a0 得，x0 或 xa；由 f(x)0 得，ax0.即函数 f(x)的单调递增区间为(，a)，(0，)，单调递减区间为(a,0)(3)g(x)f(x)2x2ax2，且 g(x)在(2，1)内为减函数，g(x)0，即 x2ax20 在(2，1)内恒成立，g20，g10，即42a20，1a20，解得 a3，即实数 a 的取值范围为(，3探究 1 在本例(3)中，若 g(x)的单调减区间为(2
29、，1)，如何求解？解：g(x)的单调减区间为(2，1)，x12，x21 是 g(x)0 的两个根，(2)(1)a，即 a3.探究 2 在本例(3)中，若 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，如何求解？解：g(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x2ax20 成立，即 x(2，1)时，ax2x max2 2，当且仅当 x2x即 x 2时等号成立所以满足要求的 a 的取值范围是(，2 2)探究 3 在本例(3)中，若 g(x)在区间(2，1)内不单调，如何求解？解：g(x)在(2，1)内不单调，g(x)x2ax2，g(2)g(1)0 或2a20，g20，g10.由
30、 g(2)g(1)0，得(62a)(3a)0，无解由2a20，g20，g10，得4a0，62a0，3a0，即4a2 2或a3，解得3a0 时，若 0 x0；若 x1，则 f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当 x1 时，函数 f(x)取得极大值1k.当 k0 时，若 0 x1，则 f(x)1，则 f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，即当 x1 时，函数 f(x)取得极小值1k.解题模板 利用导数求函数极值的步骤角度二：已知极值求参数典题 3(1)(2016金华十校联考)已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数 a 的
31、取值范围是_(2)(2016沈阳模拟)设函数 f(x)ln x12ax2bx，若 x1 是 f(x)的极大值点，则 a 的取值范围为_听前试做(1)f(x)(ln xax)x1xa ln x12ax，令 f(x)0，得 2aln x1x.设(x)ln x1x，则(x)ln xx2，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以(x)max(1)1，则(x)的大致图象如图所示，若函数 f(x)有两个极值点，则直线 y2a 和 y(x)的图象有两个交点，所以 02a1，得 0a12.(2)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xaxb，由 f(1)0，得 b1a.f(x)1xaxa1
32、ax21axxx.若 a0，当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减，所以 x1 是 f(x)的极大值点若 a1，解得1a1.答案：(1)0，12 (2)(1，)(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若函数 yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么 yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值典题 4(2015新课标全国卷)已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围听前试
33、做(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa.若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为f 1a ln 1a a11a ln aa1.因此 f 1a 2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1)解题模板 利用导数求函数最值的步骤已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,
34、1上的最小值解：(1)由题意知 f(x)(xk1)ex.令 f(x)0，得 xk1.f(x)与 f(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k11，即 k2 时，f(x)在0,1上单调递减，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.综上，当 k1 时，f(x)在0,1上的最小值为 f
35、(0)k；当 1k2 时，f(x)在0,1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k2 时，f(x)在0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.课堂归纳感悟提升方法技巧1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在a，b内一定有最值4若函数 f(x)在a，b内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值5若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点易错防范1求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点
36、，要通过认真比较才能下结论2解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f(x)0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点全盘巩固一、选择题1已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()解析：选 D 当 x0 时，由导函数 f(x)ax2bxc0 时，由导函数 f(x)ax2bxc 的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于 0 的，则在此区间内函数 f(x)单调递增2函数 y12x2ln x 的单调递减区间为()A(0,1)B(0，)C(1，)D(0,2)解析：选 A 对于函数 y12x2ln x，易得其定义域为x|x0，yx1xx21
37、x，令x21x0，所以 x210，解得 0 x1，即函数 y12x2ln x 的单调递减区间为(0,1)3(2016南昌模拟)已知函数 f(x)(2xx2)ex，则()Af(2)是 f(x)的极大值也是最大值Bf(2)是 f(x)的极大值但不是最大值Cf(2)是 f(x)的极小值也是最小值Df(x)没有最大值也没有最小值解析：选 A 由题意得 f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，当 2x0，函数 f(x)单调递增；当 x 2时，f(x)0，在 x 2处取得极小值 f(2)2(21)e20，又当 x0 时，f(x)(2xx2)ex0；当 x(1，e时，f(x)0，所以 f(x)
38、的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e，所以当 x1 时，f(x)取得最大值 ln111.5已知函数 f(x)x 1ax在(，1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是()A1，)B(，0)(0,1C(0,1 D(，0)1，)解析：选 D 函数 f(x)x 1ax的导数为 f(x)1 1ax2，由于 f(x)在(，1)上单调递增，则 f(x)0 在(，1)上恒成立，即1ax2 在(，1)上恒成立由于当 x1，则有1a1，解得 a1 或 a0，解得单调递增区间为(，1)，(1，)，f(x)0 得单调递减区间为(1,1)要有 3 个不同零点需满足f10，解得 a(2,2)答案：(2,2)
39、7若函数 f(x)x312x 在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是_解析：因为 y3x212，由 y0，得函数的增区间是(，2)及(2，)，由 y0，得函数的减区间是(2，2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以 k12k1或 k12k1，解得3k1 或 1k3.答案：(3，1)(1,3)8设 aR，若函数 f(x)exax 有大于零的极值点，则 a 的取值范围为_解析：f(x)exax，f(x)exa.令 f(x)0，则 aex.由题意知 aexe01，即 a0.讨论 f(x)的单调性解：由题意知，f(x)的定义域是(0，)，导函数 f(x)12x2axx2
40、ax2x2.设 g(x)x2ax2，二次方程 g(x)0 的判别式 a28.当 0，即 0a0 都有 f(x)0.此时 f(x)是(0，)上的单调递增函数当 0，即 a2 2 时，仅对 x 2有 f(x)0，对其余的 x0 都有 f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当 0，即 a2 2时，方程 g(x)0 有两个不同的实根 x1a a282，x2a a282，0 x112时，求函数 f(x)在b，)上的最小值解：f(x)ax22ax1ex1ax22.(1)因为 x12是 f(x)的一个极值点，所以 f 12 0，因此14aa10，解得 a43.经检验，当 a43时，x12是 f(
41、x)的一个极值点，故所求 a 的值为43.(2)由(1)可知，f(x)43x283x1 ex143x2 2，令 f(x)0，得 x12或 x32，当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：所以 f(x)的单调递增区间是，12，32，单调递减区间是12，32.当12b32时，f(x)在b，32 上单调递减，在32，上单调递增，所以 f(x)在b，)上的最小值为 f 32 e e4；当 b32时，f(x)在b，)上单调递增，所以 f(x)在b，)上的最小值为 f(b)eb1ab2 3eb34b2.冲击名校1(2016渭南模拟)设 f(x)在定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数 f(
42、x)的图象可能是()解析：选 B 由 f(x)的图象可知，当 x0 时，是减函数，f(x)0 时，函数的单调性是先减后增再减当 x时，f(x)0，若 a12f 12，b2f(2)，cln12 fln12，则 a，b，c 的大小关系正确的是()Aacb BbcaCabcDca0 时，h(x)f(x)xf(x)0，此时函数 h(x)单调递增a12f 12 h 12，b2f(2)2f(2)h(2)，cln12 fln12 hln12 h(ln 2)h(ln2)，又 2ln 212，bca.3若不等式 2y2x2c(x2xy)对任意满足 xy0 的实数 x，y 恒成立，则实数 c 的最大值为_解析：由
43、 xy0,2y2x2c(x2xy)得 c2y2x2x2xy，即 c2x2y2x2y2xy.设 txy，则 t1，令 g(t)2t2t2tt2t2tt2t12tt2t，g(t)t2t2t12tt2t2t24t2t2t2，当 1t2 2时，g(t)2 2时，g(t)0，所以 g(t)ming(2 2)2 24.则 c2 24，即实数 c 的最大值为 2 24.答案：2 244设函数 f(x)3x2axex(aR)(1)若 f(x)在 x0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若 f(x)在3，)上为减函数，求 a 的取值范围解：(1)对 f(x
44、)求导得 f(x)6xaex3x2axexex23x26axaex，因为 f(x)在 x0 处取得极值，所以 f(0)0，即 a0.当 a0 时，f(x)3x2ex，f(x)3x26xex，故 f(1)3e，f(1)3e，从而 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y3e3e(x1)，化简得 3xey0.(2)由(1)知 f(x)3x26axaex，令 g(x)3x2(6a)xa，由 g(x)0 解得 x16a a2366，x26a a2366.当 xx1 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数；当 x1x0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2 时，g(x)0，
45、即 f(x)0.(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1，e 上仅有一个零点听前试做(1)由 f(x)x22kln x(k0)，得 x0 且 f(x)xkxx2kx.由 f(x)0，解得 x k(负值舍去)f(x)与 f(x)在区间(0，)上的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，)f(x)在 x k处取得极小值 f(k)k1ln k2.(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为 f(k)k1ln k2.因为 f(x)存在零点，所以k1ln k20，从而 ke.当 ke 时，f(x)在区间(1
46、，e)上单调递减，且 f(e)0，所以 x e是 f(x)在区间(1，e 上的唯一零点当 ke 时，f(x)在区间(1，e 上单调递减，且 f(1)120，f(e)ek2 0)(1)求函数 F(x)f(x)g(x)的极值；(2)若函数 G(x)f(x)g(x)(a1)x 在区间1e，e 内有两个零点，求实数 a 的取值范围解：(1)由题意知，F(x)f(x)g(x)12ax2ln x，F(x)axln x12ax12ax(2ln x1)，由 F(x)0 得 xe12，由 F(x)0 得 0 xe12，故 F(x)在0，e12 上单调递减，在e12，上单调递增，所以 xe12为 F(x)的极小值
47、点，F(x)极小值F(e12)a4e，无极大值(2)G(x)12x2aln x(a1)x，G(x)xaxa1xax1x，由 G(x)0，得 x1 或 xa(舍去)，当 x(0,1)时，G(x)0，G(x)单调递增，要使 G(x)在区间1e，e 内有两个零点，需满足G 1e 0，G10，即 12e2a1e a0，12a10，即a 2e12e22e，a2ee22e2.下面比较 2e12e22e与2ee22e2的大小由于 2e12e22e2ee22e22e42e36e22e22e2e22ee2e1322e22e2e2 0，故 2e12e22e2ee22e2，故实数 a 的取值范围为2e12e22e，
48、12.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，多以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：证明不等式典题 2 已知函数 f(x)aexaxln x，aR.(1)若 a1，求函数 f(x)在1，e上的最大值；(2)当 a 1e1时，求证：x(0，)，f(x)1xln x2a2.听前试做(1)依题意，知 f(x)ex1xln x.则 f(x)ex1x21xx2exx1x2，易知在1，e上，f(x)0，f(x)单调递增，故 f(x)maxf(e)ee1e1.(2)证明：要证 f(x)1xln x2a2，x(0，)，即证 aexax1x(2a2)0，x(0，)，
49、令 g(x)aexax1x(2a2)，x(0，)，下面证明当 a 1e1，且 x0 时，g(x)0 恒成立，g(x)aexa1x2，令 h(x)aexx2(a1)，易知 h(x)在(0，)上单调递增注意到 h(1)aea1 ee1 1e110，故当 x(0,1)时，h(x)0，即 g(x)0，即 g(x)0，g(x)单调递增故 g(x)ming(1)ee1 1e11 2e120，故当 a 1e1时，x(0，)，g(x)0 恒成立，即 f(x)1xln x2a2 恒成立角度二：由不等式恒成立求参数的范围典题 3(1)(2016西宁模拟)已知函数 f(x)x22x，g(x)xex.求 f(x)g(
50、x)的极值；当 x(2,0)时，f(x)1ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围(2)(2016南昌模拟)已知定义在正实数集上的函数 f(x)12x22ex，g(x)3e2ln xb(其中e 为自然对数的底数)，若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同求实数 b 的值；当 x1，e时，2(f(x)2ex)a6e2(2g(x)e2)(a2)x 恒成立，求实数 a 的取值范围听前试做(1)令 h(x)f(x)g(x)x22xxex，则 h(x)(x1)(2ex)，令 h(x)0，解得 x1 或 xln 2.当 x 变化时，h(x)与 h(x)的变化情况如下表：h(x)极小值h(1)1e1
51、，h(x)极大值h(ln 2)ln22，即 f(x)g(x)的极小值为1e1，极大值为 ln2 2.由题意知，当 x(2,0)时，x22x1axex 恒成立，即 ax22x1xex恒成立令 t(x)x22x1xex，则 t(x)x21x1x2ex，当 x(2，1)时，t(x)0，t(x)单调递增；当 x(1,0)时，t(x)0，解得 be22.由知，g(x)3e2ln xe22，所以 2(f(x)2ex)a6e2(2g(x)e2)x2aln x，所以原不等式可化为 a(xln x)x22x，当 x1，e时，xln x0，所以 ax22xxln x在1，e上恒成立，令 F(x)x22xxln x
52、，x1，e，则 F(x)x1x22ln xxln x2，显然有 x10，又 ln x1，所以 x22ln x0，所以 F(x)0，所以 F(x)在1，e上为增函数，故 F(x)maxF(e)e22ee1，所以实数 a 的取值范围是e22ee1，.(1)若证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有 F(x)0，即证明了 f(x)g(x)(如角度一)(2)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参
53、不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题(如角度二)典题 4(2015江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l.如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2 的距离分别为 20 千米和 2.5千米以 l2，l1 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy.假设曲线 C 符合函数yax2b(其中 a，
54、b 为常数)模型(1)求 a，b 的值(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度听前试做(1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)将其分别代入 yax2b，得a25b40，a400b2.5，解得a1 000，b0.(2)由(1)知，y1 000 x2(5x20)，则点 P 的坐标为t，1 000t2.设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 两点，y2 000 x3，则 l 的方程为 y1 000t22 000t3(xt
55、)，由此得 A3t2，0，B0，3 000t2.故 f(t)3t223 000t2232t24106t4，t5,20设 g(t)t24106t4，则 g(t)2t16106t5.令 g(t)0，解得 t10 2.当 t(5,10 2)时，g(t)0，g(t)是减函数；当 t(10 2，20)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当 t10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以 g(t)min300，此时 f(t)min15 3.故当 t10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然
56、后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
57、y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310 x62210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大课堂归纳感悟提升方法技巧1在讨论方程的根的个数、研究函数图象与 x 轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值
58、范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用2由不等式的恒成立(存在性)求参数问题首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而列出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数最值问题3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较易错防范1函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f(x)0 而不是 f(x)0，(f(x)0 在有限个点处取到)2利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义全盘巩固1已知 f(x)(1x)ex1.(1)求函数 f(
59、x)的最大值；(2)设 g(x)fxx，x1，且 x0，证明：g(x)1.解：(1)f(x)xex.当 x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以 f(x)的最大值为 f(0)0.(2)证明：由(1)知，当 x0 时，f(x)0，g(x)01.当1x0 时，g(x)x.设 h(x)f(x)x，则 h(x)xex1.当 x(1,0)时，0 x1,0ex1，则 0 xex1，从而当 x(1,0)时，h(x)0，h(x)在(1,0上单调递减当1xh(0)0，即 g(x)1 且 x0 时，总有 g(x)1.2已知函数 f(x)x33x2ax2，曲线
60、yf(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为2.(1)求 a；(2)证明：当 k0.当 x0 时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10 时，令 h(x)x33x24，则 g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以 g(x)0 在(0，)上没有实根综上，g(x)0 在 R 上有唯一实根，即曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点3(2015新课标全国卷)设函数 f(x)e2xaln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数；(2)证
61、明：当 a0 时，f(x)2aaln2a.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2xax.当 a0 时，f(x)0，f(x)没有零点；当 a0 时，设 u(x)e2x，v(x)ax，因为 u(x)e2x 在(0，)上单调递增，v(x)ax在(0，)上单调递增，所以 f(x)在(0，)上单调递增又 f(a)0，当 b 满足 0ba4且 b14时，f(b)0 时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设 f(x)在(0，)上的唯一零点为 x0，当 x(0，x0)时，f(x)0.故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当 xx0 时，f(x)取得最小值，最
62、小值为 f(x0)由于 2e2x0ax00，所以 f(x0)a2x02ax0aln2a2aaln2a.故当 a0 时，f(x)2aaln2a.4(2016烟台模拟)已知函数 f(x)x2ax，g(x)ln x，h(x)f(x)g(x)(1)若函数 yh(x)的单调减区间是12，1，求实数 a 的值；(2)若 f(x)g(x)对于定义区域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)设函数 yh(x)有两个极值点 x1，x2，且 x10，12，若 h(x1)h(x2)m 恒成立，求实数 m 的最大值解：(1)由题意可知，h(x)x2axln x(x0)，则 h(x)2x2ax1x(x0)，
63、若 h(x)的单调减区间是12，1，则 h(1)h 12 0，解得 a3，而当 a3 时，h(x)2x23x1x2x1x1x(x0)由 h(x)0)，axln xx(x0)令(x)xln xx(x0)，则(x)x2ln x1x2，yx2ln x1 在(0，)上是增函数，且 x1 时，y0.当 x(0,1)时，(x)0，即(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，min(x)(1)1，故 a1.即实数 a 的取值范围为(，1(3)由题意可知，h(x)x2axln x(x0)，则 h(x)2x2ax1x(x0)可得方程 2x2ax10(x0)有两个不相等的实数根 x1，x2，且 x10，
64、12，x1x212，x2 12x1(1，)，且 ax12x211，ax22x221，h(x1)h(x2)(x21ax1ln x1)(x22ax2ln x2)x21(2x211)ln x1x22(2x221)ln x2x22x21lnx1x2x22 14x22ln(2x22)(x21)设 L(x)x2 14x2ln(2x2)(x1)，则 L(x)2x2122x30(x1)，所以 L(x)在(1，)上是增函数，L(x)L(1)34ln 2，即 h(x1)h(x2)34ln 2，所以 m34ln 2.即 m 的最大值为34ln 2.冲击名校1(2016沈阳模拟)已知函数 f(x)aln x(a0)，
65、e 为自然对数的底数(1)若过点 A(2，f(2)的切线斜率为 2，求实数 a 的值；(2)当 x0 时，求证：f(x)a11x；(3)在区间(1，e)上 fxx11 恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)ax，f(2)a22，a4.(2)证明：令 g(x)aln x11x，g(x)a1x1x2.令 g(x)0，即 a1x1x2 0，解得 x1，所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以 g(x)的最小值为 g(1)0，所以 f(x)a11x.(3)令 h(x)aln x1x，则 h(x)ax1，令 h(x)0，解得 xe 时，h(x)在(1，e)上单调递增，所以
66、 h(x)h(1)0.当 1ae 时，h(x)在(1，a)上单调递增，在(a，e)上单调递减，所以只需 h(e)0，即 ae1.当 a1 时，h(x)在(1，e)上单调递减，则需 h(e)0，而 h(e)a1e0)，所以(x)2x2x52x25x2x2x12 x2x(x0)，当 x0，12 时，(x)0，(x)是增函数；当 x12，2 时，(x)0，(x)是增函数；当 x12或 x2 时，(x)0.所以(x)极大值 12 2ln122ln 261452m4ln 2154 m，(x)极小值(2)2ln 22ln 26410mm.又当 x 趋向 0 时，(x)趋向；当 x 趋向时，(x)趋向.所以
67、要使(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点，必须且只需 12 0，20，m0，解得 0m0)，f(1)1，又 f(1)0，f(x)在点 P(1,0)处的切线方程为 yx1.(2)f(x)2ax22ax1x(x0)，令 g(x)2ax22ax1(x0)，a0 时，f(x)0 无解，f(x)无极小值；a0，所以 g(x)0 有两解 x1，x2，且 x10 x2；0 x0，f(x)0，xx2 时，g(x)0，f(x)0 时，g(0)10，g(x)的对称轴为 x12，要使函数 f(x)有极小值，则 0 即 4a28a0.a2，a2.此时 g(x)0 有两解 x3，x40，不妨设 x3x4
68、，则 x3xx4 时，g(x)0，f(x)x4 时，g(x)0，f(x)0，此时 f(x)有极小值 f(x4)综上所述，a 的取值范围为(2，)(3)由题意，f(x)x1，x1，即 ln xa(x1)2x1，x1.下证：ln xx1，x0，记 h(x)ln x(x1)ln xx1，x0，则 h(x)1x11xx，x0，0 x0，x1 时，h(x)0.a0 时，f(x)ln xx1；a0 时，取 x11a，则 f(x)ln xa(x1)(x1)ln11a a11a1(x1)ln 1x1x1，与题意矛盾故 a 的最大值为 0.函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论(1)单调性讨论
69、策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置进行讨论(2)极值讨论策略：极值的讨论以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值已知函数 f(x)12x2ax(a1)ln x，(1)若 a2，求函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调区间解：(1)当 a2 时，f(
70、x)12x22xln x，f(x)x21x，f(1)12232，f(1)0，函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 y32.(2)由题知，函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)xaa1x x2axa1xx1x1ax，令 f(x)0，解得 x11，x2a1，当 a2 时，f(x)0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区间是(0，)当 a11，即 a2 时，在区间(0,1)和(a1，)上，f(x)0；在区间(1，a1)上，f(x)0，故函数 f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a1，)，单调增减区间是(1，a1)当 0a11，即 1a0；在区间(a1,1)上，f(x)0，故函数
71、 f(x)的单调递增区间是(0，a1)和(1，)，单调递减区间是(a1,1)当 a10，即 a1 时，在区间(0,1)上，f(x)0，故函数 f(x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(0,1)此类试题一般以含参数的三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点，一般有两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题典题 2 已知函数 f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当 a2 时，求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 g(
72、x)f(x)axm 在1e，e 上有两个零点，求实数 m 的取值范围听前试做(1)当 a2 时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率 kf(1)2，则切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则 g(x)2x2x2x1x1x.x1e，e，当 g(x)0 时，x1.当1ex0；当 1xe 时，g(x)0.故 g(x)在 x1 处取得极大值 g(1)m1.又 g 1e m21e2，g(e)m2e2，g(e)g 1e 4e21e20，则 g(e)0，g 1e m21e20，解得 1m21e2，实数 m 的取值范围是1，21e
73、2.对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围(2016济南模拟)已知函数 f(x)exaxa(aR 且 a0)(1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值，求实数 a 的值，并求此时 f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为 R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1，f(x)ex1.在区间(，0)上，f(x)0，f(x)单调递增在 x0 处，f(x)取得极小值，a1.易知 f(x)在区间2,0上单调递减，在区间(0,1上单调递增，且 f(2)1e23，f(
74、1)e，f(2)f(1)故 f(x)在区间2,1上的最大值为1e23.(2)f(x)exa，由于 ex0.当 a0 时，f(x)0，f(x)是增函数，且当 x1 时，f(x)exa(x1)0.当 x0 时，取 x1a，则 f1a 1a1a1a0 时，函数 f(x)存在零点，不满足题意当 a0 时，令 f(x)exa0，解得 xln(a)在区间(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，当 xln(a)时，f(x)取得最小值函数 f(x)不存在零点等价于 f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0 或 x0；当1x0 时，f(x)1，即 a12时，令 u(x)0
75、，则 xln 2a.当 x0，ln 2a)时，u(x)0，则 g(x)ex2ax2a 在0，ln 2a)上单调递减，所以g(x)g(0)12a0，f(x)ax1ax2，其中 a0.1.当 a0，f(x)在(0，)上单调递增2.当 a0 时，由 f(x)ax1ax2 0，得 x1a，当 x0，1a 时，f(x)0，f(x)在1a，上单调递增由已知 1x1x2e，1x11x20，则x1fx1x2fx21x11x22，可转化为 x1f(x1)x2f(x2)21x11x2，即 x1f(x1)2x1x2f(x2)2x2恒成立设 g(x)xf(x)2x，由于 1x1x2e，函数 g(x)在1，e上单调递减
76、，又 g(x)1xa xln x2x，则 g(x)1a2x2ln x10 在1，e上恒成立，进而转化为1a2x2ln x1 在1，e上恒成立，即1a2x2ln x1 max，x1，e设(x)2x2ln x1，则(x)4x31x，令(x)0，得 x2，当 x1,2)时，(x)0，函数(x)在(2，e上单调递增又(1)3，(e)22e23，从而1a3，即 00，a1)求函数 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；求函数 f(x)的单调递增区间；若存在 x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e 是自然对数的底数)，求实数 a 的取值范围听前试做(1)存在 x1，x20,2，使得 g(
77、x1)g(x2)M 成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由 g(x)x3x23，得 g(x)3x22x3xx23.由 g(x)0，解得 0 x0，解得 x23.又 x0,2，所以 g(x)在区间0，23 上单调递减，在区间23，2 上单调递增，g(x)maxg(2)1，g(x)ming 23 8527.所以g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min1852711227 M，则满足条件的最大整数 M4.对于任意的 s，t12，2，都有 f(s)g(t)成立，等价于在区间12，2 上，函数f(x)ming(x)max.由可知在区间12，2 上，g(x)的最大值为 g(2)1.在区
78、间12，2 上，f(x)axxln x1 恒成立等价于 axx2ln x 恒成立设 h(x)xx2ln x，x12，2，则 h(x)12xln xx，易知 h(x)在区间12，2 上是减函数，又 h(1)0，所以当 1x2 时，h(x)0；当12x0.所以函数 h(x)xx2ln x 在区间12，1 上单调递增，在区间1,2上单调递减，所以 h(x)maxh(1)1，所以实数 a 的取值范围是1，)(2)对 f(x)求导，得 f(x)axln a2xln a，可得 f(0)0.因为 f(0)1，所以函数 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1.由知，f(x)axln a2xln a2x
79、(ax1)ln a.因为当 a0，a1 时，总有 f(x)在 R 上是增函数，又 f(0)0，所以不等式 f(x)0 的解集为(0，)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，)因为存在 x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1 成立，而当 x1,1时，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以只需 f(x)maxf(x)mine1 即可对于 x1,1，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：所以 f(x)minf(0)1，f(x)maxmaxf(1)，f(1)因为 f(1)f(1)(a1ln a)1a1ln a a1a2ln a，令 g(a)a1a2ln a(a0)，因
80、为 g(a)11a22a11a20，所以 g(a)a1a2ln a 在 a(0，)上是增函数，而 g(1)0，故当 a1 时，g(a)0，即 f(1)f(1)；当 0a1 时，g(a)0，即 f(1)1 时，f(1)f(0)e1，即 aln ae1，函数 yaln a 在 a(1，)上是增函数，解得 ae；当 0a1 时，f(1)f(0)e1，即1aln ae1，函数 y1aln a 在 a(0,1)上是减函数，解得 00，f(x)在 R 上为增函数；当 a0 时，由 f(x)0 得 xln a，则当 x(，ln a)时，f(x)0，函数 f(x)在(ln a，)上为增函数(2)当 a1 时，
81、g(x)(xm)(exx)exx2x，g(x)在(2，)上为增函数，g(x)xexmexm10 在(2，)上恒成立，即 mxex1ex1 在(2，)上恒成立，令 h(x)xex1ex1，x(2，)，h(x)ex2xex2exex12exexx2ex12.令 L(x)exx2，L(x)ex10 在(2，)上恒成立，即 L(x)exx2 在(2，)上为增函数，即 L(x)L(2)e240，h(x)0，即 h(x)xex1ex1 在(2，)上为增函数，h(x)h(2)2e21e21，m2e21e21.所以实数 m 的取值范围是，2e21e21.2已知 aR，函数 f(x)axln x，x(0，e(其
82、中 e 是自然对数的底数)(1)当 a2 时，求 f(x)的单调区间和极值；(2)求函数 f(x)在区间(0，e上的最小值解：(1)当 a2 时，f(x)2xln x，对 f(x)求导，得 f(x)21x2x1x.所以 f(x)的单调递减区间是0，12，单调递增区间是12，e，由此可知 f(x)的极小值为 f 12 1ln 2，没有极大值(2)记 g(a)为函数 f(x)在区间(0，e上的最小值f(x)a1xax1x.当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在区间(0，e上单调递减，则 g(a)f(e)ae1；当 01e时，f(x)在区间0，1a 上单调递减，在1a，e 上单调递增，则 g(a
83、)f 1a 1ln a.综上所述，g(a)ae1，a1e，1ln a，a1e.3已知函数 f(x)(xa)ex，其中 e 是自然对数的底数，aR.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a1 时，试确定函数 g(x)f(xa)x2 的零点个数，并说明理由解：(1)因为 f(x)(xa)ex，xR，所以 f(x)(xa1)ex.令 f(x)0，得 xa1.当 x 变化时，f(x)和 f(x)的变化情况如下：故 f(x)的单调递减区间为(，a1)，单调递增区间为(a1，)(2)结论：函数 g(x)有且仅有一个零点理由如下：由 g(x)f(xa)x20，得方程 xexax2，显然 x0 为此方程
84、的一个实数解，所以 x0 是函数 g(x)的一个零点当 x0 时，方程可化简为 exax.设函数 F(x)exax，则 F(x)exa1，令 F(x)0，得 xa.当 x 变化时，F(x)和 F(x)的变化情况如下：即 F(x)的单调递增区间为(a，)，单调递减区间为(，a)所以 F(x)的最小值 F(x)minF(a)1a.因为 a0，所以对于任意 xR，F(x)0，因此方程 exax 无实数解所以当 x0 时，函数 g(x)不存在零点综上，函数 g(x)有且仅有一个零点4(2016郑州模拟)已知函数 f(x)ax1ln x，其中 a 为常数(1)当 a，1e 时，若 f(x)在区间(0，e
85、)上的最大值为4，求 a 的值；(2)当 a1e时，若函数 g(x)|f(x)|ln xx b2存在零点，求实数 b 的取值范围解：(1)f(x)a1x，令 f(x)0 得 x1a，因为 a，1e，所以 01a0 得 0 x1a，由 f(x)0 得1ax0，当 a1e时，f(x)xe1ln x，所以 f(x)1e1xxeex，当 0 x0；当 xe 时，f(x)0，所以，f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，)，所以 f(x)maxf(e)1，所以|f(x)|1.令 h(x)ln xx b2，则 h(x)1ln xx2.当 0 x0；当 xe 时，h(x)0，从而 h(x)在(0，e)上
86、单调递增，在(e，)上单调递减，所以 h(x)maxh(e)1eb2，要使方程|f(x)|ln xx b2有实数根，只需 h(x)max1 即可，故 b22e.即所求实数 b 的取值范围是22e，.5已知函数 f(x)(x1)ex(e 为自然对数的底数)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数(x)xf(x)tf(x)ex，存在实数 x1，x20,1，使得 2(x1)(x2)成立求实数 t 的取值范围解：(1)函数的定义域为 R，f(x)xex，当 x0；当 x0 时，f(x)0，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减(2)假设存在 x1，x20,1，使得 2(x1)(x2)
87、成立，则 2(x)min(x)max.(x)xf(x)tf(x)exx21tx1ex，(x)x21txtexxtx1ex.对于 x0,1，当 t1 时，(x)0，(x)在0,1上单调递减，2(1)3e21.当 t0 时，(x)0，(x)在0,1上单调递增，2(0)(1)，即 t32e0.当 0t1 时，若 x0，t)，则(x)0，(x)在(t,1上单调递增，所以 2(t)max(0)，(1)，即 2t1et 0)，可知 g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，所以 g(x)g(1)0，所以 f(x)x335x22 4x116 成立(3)由 xe，)知，xln x0，所以 f(x)
88、0 恒成立等价于 ax2xln x在 xe，)时恒成立，令 h(x)x2xln x，xe，)，有 h(x)xx12ln xxln x20，所以 h(x)在e，)上是增函数，有 h(x)h(e)e2e1，所以 a e2e1.故所求 a 的取值范围是，e2e1.考点一：导数的运算及几何意义1(2014陕西高考)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ay12x312x2xBy12x312x23xCy14x3xDy14x312x22x解析：选 A 法一：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0
89、)，在(0,0)处的切线方程为 yx，在(2,0)处的切线方程为 y3x6，以此对选项进行检验A 选项，y12x312x2x，显然过两个定点，又 y32x2x1，则 y|x01，y|x23，故条件都满足，又 B，C，D 选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线 yx，y3x6 相切法二：设该三次函数为 f(x)ax3bx2cxd，则 f(x)3ax22bxc，由题设有f00d0，f208a4b2cd0，f01c1，f2312a4bc3，解得 a12，b12，c1，d0.故该函数的解析式为 y12x312x2x.2(2014江西高考)若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2
90、xy10，则点 P的坐标是_解析：由题意得 yln xx1x1ln x，直线 2xy10 的斜率为 2.设 P(m，n)，则1ln m2，解得 me，所以 neln ee，即点 P 的坐标为(e，e)答案：(e，e)考点二：导数与函数的单调性1(2015新课标全国卷)设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)解析：选 A 设 yg(x)fxx(x0)，则 g(x)xfxfxx2，当 x0 时，xf(x)f(x)0，g(x)0 时，由
91、 f(x)0，得 g(x)0，由图知 0 x1，当 x0，得 g(x)0，由图知 x0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)2(2014新课标全国卷)若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是()A(，2 B(，1 C2，)D1，)解析：选 D 因为 f(x)kxln x，所以 f(x)k1x.因为 f(x)在区间(1，)上单调递增，所以当 x1 时，f(x)k1x0 恒成立，即 k1x在区间(1，)上恒成立因为 x1，所以 01x0，b0，d0Ba0，b0，c0Ca0，b0，d0Da0，b0，c0，d0.因为 x0 且 f(x)3ax22bxc0 有两个
92、不相等的正实根，所以 a0，2b6a b3a0，所以 b0，所以 a0，b0，d0.法二：由图象知 f(0)d0，首先排除选项 D；f(x)3ax22bxc3a(xx1)(xx2)3ax23a(x1x2)x3ax1x2，x10，所以 a0，排除 C；又 c3ax1x20,2b3a(x1x2)0，b0，故选 A.考点三：导数与函数的极值和最值(2013新课标全国卷)已知函数 f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数 yf(x)的图象是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0)单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x
93、0)0解析：选 C 由于三次函数的三次项系数为正值，当 x时，函数值，当 x时，函数值也，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过 x 轴，即一定x0R，f(x0)0，选项 A 中的结论正确；函数 f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h 的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为 yx3nx 的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数 f(x)的图象是中心对称图形，选项 B 中的结论正确；由于三次函数的三次项为正值，故函数如果存在极值点 x1，x2，则极小值点 x2x1，即函数在到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项 C 中的结论错误；根据导数与
94、极值的关系，显然选项 D 中的结论正确考点四：导数的综合应用1(2015重庆高考)已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x43处取得极值(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex，讨论 g(x)的单调性解：(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f43 0，即 3a169 243 16a3 830，解得 a12.(2)由(1)得 g(x)12x3x2 ex，故 g(x)32x22x ex12x3x2 ex12x352x22x ex12x(x1)(x4)ex.令 g(x)0，解得 x0 或 x1 或 x4.当 x4 时，g(x)0，故
95、 g(x)为减函数；当4x0，故 g(x)为增函数；当1x0 时，g(x)0 时，g(x)0，故 g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)，(1,0)上为减函数，在(4，1)，(0，)上为增函数2(2015山东高考)设函数 f(x)(xa)ln x，g(x)x2ex.已知曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 2xy0 平行(1)求 a 的值；(2)是否存在自然数 k，使得方程 f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数 m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示 p，q 中的较小值)，求 m(x)的最大值解：(1
96、)由题意知，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1)2.又 f(x)ln xax1，所以 a1.(2)当 k1 时，方程 f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根设 h(x)f(x)g(x)(x1)ln xx2ex，当 x(0,1时，h(x)0.又 h(2)3ln 24e2ln 84e2110，所以存在 x0(1,2)，使得 h(x0)0.因为 h(x)ln x1x1xx2ex，所以当 x(1,2)时，h(x)11e0，当 x(2，)时，h(x)0，所以当 x(1，)时，h(x)单调递增所以当 k1 时，方程 f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根(3)由(
97、2)知，方程 f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x0，且 x(0，x0)时，f(x)g(x)，x(x0，)时，f(x)g(x)，所以 m(x)x1ln x，x0，x0，x2ex，xx0，.当 x(0，x0)时，若 x(0,1，m(x)0；若 x(1，x0)，由 m(x)ln x1x10，可知 0m(x)m(x0)；故 m(x)m(x0)当 x(x0，)时，由 m(x)x2xex，可得 x(x0,2)时，m(x)0，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减可知 m(x)m(2)4e2，且 m(x0)m(2)综上可得，函数 m(x)的最大值为4e2.3(2015福建高
98、考)已知函数 f(x)ln xx122.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)证明：当 x1 时，f(x)x1；(3)确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x01，当 x(1，x0)时，恒有 f(x)k(x1)解：(1)f(x)1xx1x2x1x，x(0，)由 f(x)0，得x0，x2x10，解得 0 x1 52.故 f(x)的单调递增区间是0，1 52.(2)证明：令 F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有 F(x)1x2x.当 x(1，)时，F(x)0，所以 F(x)在1，)上单调递减，故当 x1 时，F(x)F(1)0，即当 x1 时，f(x)x1.(3)由(2)知，当 k1 时，不存在 x01 满足题意当 k1 时，对于 x1，有 f(x)x1k(x1)，则 f(x)k(x1)，从而不存在 x01 满足题意当 k1 时，令 G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则有 G(x)1xx1kx21kx1x.由 G(x)0，得x2(1k)x10，解得 x11k 1k2420，x21k 1k2421.当 x(1，x2)时，G(x)0，故 G(x)在1，x2)内单调递增从而当 x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即 f(x)k(x1)，综上，实数 k 的取值范围是(，1)
