1、考点规范练66坐标系与参数方程基础巩固1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的普通方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.2.已知曲线C1的参数方程为x=1+t21-t2,y=2t1-t2(t为参数),曲线C2的参数方程为x=2+2cos,y=2sin(为参数),以直角坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)射线=6与曲线C1和曲线C2分别交于M,N,已知点Q(4,0),求QMN的面积
2、.3.已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2,y=4sin2(为参数),C2:x=t+1t,y=t-1t(t为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.5.(2021全国)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,
3、x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=22cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为曲线C上的动点,点P满足AP=2AM,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断曲线C与轨迹C1是否有公共点.能力提升6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1+tcos,y=-3+tsin(或t为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(cos+3sin )=1.(1)当t为参数,=56时,判断曲线C与直线l的位置关系;(2)当为参数,t=2时,直线l与曲线C交于A,B两点,设P(1,0),求1|PA|+1|
4、PB|的值.7.已知直线C1:x=1+tcos,y=tsin(t为参数),圆C2:x=cos,y=sin(为参数).(1)当=3时,求C1被C2截得的线段的长;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,当变化时,求A点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.高考预测8.(2021广西柳州一模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2-t,y=t(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为(1-cos 2)=4cos .(1)求直线l的普通方程,曲线C的直角坐标方程.(2)设直线l与曲线C相交于P,Q两点,点M(2,0),求|PM|2+|QM|2的值.
5、答案：1.解(1)曲线C的普通方程为x24+y216=1.当cos0时,l的普通方程为y=tanx+2-tan,当cos=0时,l的普通方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0,因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos+sin=0,于是直线l的斜率k=tan=-2.2.解(1)由曲线C1的参数方程得x2-y2=1+t21-t22-2t1-t22=1+t4-2t2(1-t2)2=(1-t
6、2)2(1-t2)2=1,即曲线C1的直角坐标方程为x2-y2=1(x-1),化为极坐标方程为2cos2=1().由曲线C2的参数方程可得(x-2)2+y2=(2cos)2+(2sin)2=4,化为极坐标方程为(cos-2)2+2sin2=4,即=4cos.(2)设M1,6,N2,6,可得|MN|=|1-2|=4cos6-1cos26=23-2,点Q到直线MN的距离d=sin64=2,SQMN=122(23-2)=23-2.3.解(1)C1的普通方程为x+y=4(0x4).由C2的参数方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1t2-2,所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4.(
7、2)由x+y=4,x2-y2=4,得x=52,y=32,所以P的直角坐标为52,32.设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),由题意得x02=x0-522+94,解得x0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为=175cos.4.解(1)由x=cos,y=sin得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共
8、点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.5.解(1)由已知得2=22cos,则曲线C的直角坐标方程为x2+y2=22x,即(x-2)2+y2=2.(2)设点P(x,y
9、),M(x0,y0),由AP=2AM,得(x-1,y)=2(x0-1,y0),即x0=22x+1-22,y0=22y.又点M在曲线C上,所以22x+1-3222+22y2=2,即(x+2-3)2+y2=4.所以轨迹C1是以(3-2,0)为圆心,2为半径的圆,所以轨迹C1的参数方程为x=3-2+2cos,y=2sin(为参数).两圆的圆心分别为(2,0),(3-2,0),半径分别为2和2,两圆心的距离是3-22,半径之差为2-2,显然3-220.设t1,t2是方程的两个实数根,P,Q两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-22,t1t2=-42,所以|PM|2+|QM|2=t12+t22=(t1+t2)2-2t1t2=8+82.
