1、第2课时函数的最大(小)值目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.会求一些简单函数的最大值或最小值重点 理解函数的最大(小)值的概念并会求一些简单函数的最大值或最小值难点 求函数的最大值或最小值.知识点函数的最大值和最小值填一填1最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值，记作f(x)maxM.2最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：对于任意的xI，都有f(x)N；存在x0I，使得f(x0)N，就称N是函数yf(x)的最
2、小值，记作f(x)minN.答一答1函数f(x)x21总成立吗？ f(x)的最大值是1吗？提示：f(x)x21总成立，但是不存在x0使f(x0)1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.2函数的最值与函数的值域有什么关系？提示：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值3.函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(C)Af(2)，0B0,2Cf(2)，2 Df(2)，2类型一利用函数的图象求最值例1已知f(x)2|x1|3|x|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)根据函数图象求其最值解(
3、1)当x1时，y2(x1)3xx2；当0x1时，y2(x1)3x5x2；当x0时，y2(x1)3xx2.所以y结合上述解析式作出图象，如图所示(2)由图象可以看出，当x0时，y取得最大值ymax2.函数没有最小值利用图象求函数最值的方法：画出函数yf(x)的图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.变式训练1已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值解：如图所示，当x1时，由f(x)x2得f(x)最大值为f(1)1，最小值为f(0)0；当1x2时，由f(x)得f(2)f(x)f(1)，即f(x)1.综上f(x)max1，f(
4、x)min0.类型二利用函数的单调性求最值例2已知函数f(x)x.(1)判断f(x)在区间1,2上的单调性；(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间1,2上的最值解(1)设x1，x2是区间1,2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).x1x2，x1x20.当1x10,1x1x24，即x1x24f(x2)，即f(x)在区间1,2上是减函数(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)24；f(x)的最大值为f(1)，f(1)145，f(x)的最小值为4，最大值为5.(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎
5、成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析，注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.变式训练2求f(x)在区间2,5上的最值解：任取2x1x25，则f(x1)， f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1x25，x1x20，x110，f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)f(x)在区间2,5上是减函数f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).类型三二次函数的最值例3求函数f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值解f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.(1)当a0时，由图(1)可知，f(x)m
6、inf(0)1，f(x)maxf(2)34a.(2)当0a2时，由图(4)可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解变式训练3已知f(x)3x212x5，当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值(1)0,3；(2)1,1；(3)3，)解：作出f(x)3x212x5的图象如图所示，(1)由图可知，函数f(x)在0,2上单调递减，在2,3上单调递增且f(0)5，f(2
7、)7，f(3)4.故在区间0,3上，当x2时，f(x)min7；当x0时，f(x)max5.(2)由图可知，f(x)在1,1上单调递减，所以f(x)minf(1)4，f(x)maxf(1)20.(3)由图可知，f(x)在3，)上单调递增，所以f(x)minf(3)4.无最大值1函数f(x)x24x1，x3,3的值域是(C)A(，5B5，)C20,5 D4,5解析：f(x)(x2)25，当x2时，函数有最大值5；当x3时，函数有最小值20，故选C.2函数f(x)在1,2上的值域为(C)A. B.C. D.解析：f(x)在1,2上是减函数，f(2)f(x)f(1)，又f(2)，f(1)3，f(x)
8、3，故选C.3若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(C)A2 B2C2或2 D0解析：当a0时，yf(x)的最大值为f(2)2a1，最小值为f(1)a1，(2a1)(a1)2，解得a2.当a0)在4,4上的最大值解：f(x)(xa)2aa21，当0af(4)所以f(x)的最大值为f(4)9a17.当a4时，f(x)在4，4上是减函数，所以，f(x)的最大值为f(4)9a17.综上，在4,4上函数的最大值为9a17.本课须掌握的三大问题1函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是最大(小)值，如f(x)x2(xR)，对任意xR，都有f(x)1成立，但1不是最
9、大值，否则大于0的任意实数都是最大值了最大(小)值的核心就是不等式f(x)M(或f(x)M)，故也不能只有(2)2函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)3二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得
