1、11.3集合的基本运算第1课时并集、交集目标 1.理解两个集合的并集和交集的定义，明确数学中的“或”“且”的含义；2.能借助于Venn图或数轴求两个集合的交集和并集，培养直观想象和数学运算两大核心素养；3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题，培养逻辑推理的核心素养重点 两集合并集、交集的概念及运算难点 两个集合并集、交集运算的应用及数形结合思想的渗透.知识点一 并集填一填1并集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，读作A并B.符号语言表示为：ABx|xA，或xB图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分2并集的运算性质(1)ABB
2、A；(2)AAA；(3)AA；(4)ABA，ABB；(5)ABABB.答一答1“或”的数学内涵是什么？提示：“xA，或xB”包括了三种情况：xA，但xB；xB，但xA；xA，且xB.2AB的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗？提示：不一定，用Venn图表示AB如下：当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，如上图中，AB的元素个数都小于A与B的元素个数的和知识点二 交集填一填1交集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，读作A交B.符号语言表示为：ABx|xA，且xB图形语言(韦恩图)表示为
3、如图所示的阴影部分2交集的运算性质对于任何集合A，B，有(1)ABBA；(2)AAA；(3)A；(4)ABA，ABB；(5)ABABA.答一答3如何理解交集定义中“所有”两字的含义？提示：AB中的任一元素都是A与B的公共元素；A与B的所有公共元素都属于AB；当集合A与B没有公共元素时，AB.4当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时AB.5若ABA，则A与B有什么关系？ABA呢？提示：若ABA，则AB；若ABA，则BA.类型一 集合的并集运算例1(1)已知集合M1,0,1，N0,1,2，则MN()A1,0,1B1,
4、0,1,2C1,0,2 D0,1(2)已知集合Mx|3x5，Nx|x5，则MN()Ax|x3 Bx|5x5Cx|3x5 Dx|x5答案(1)B(2)A解析(1)集合M，N都是以列举法的形式给出的，根据并集的定义，可得MN1,0,1,2(2)将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示可知MNx|x3当求两个集合的并集时，对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助于数轴写出结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，此时要注意端点处是实心点还是空心点；对于用列举法给出的集合，则依据并集的含义，可直接观察或借助于Venn图写出结果，但要注意
5、集合中元素的互异性.变式训练1(1)满足条件1,3B1,3,5的所有集合B的个数是(D)A1 B2 C3 D4解析：由条件1,3B1,3,5，根据并集的定义可知5B，而1,3是否在集合B中不确定所以B可能为5，1,5，3,5，1,3,5，故B的个数为4.(2)已知集合Ax|2x3，Bx|xa，a4，求AB.解：Ax|2x3，Bx|xa，a4，如图所示故ABx|x3，或xa，a4类型二 集合的交集运算例2(1)已知集合Ax|x|2，xR，Bx|4，xZ，则AB()A(0,2) B0,2C0,2 D0,1,2(2)若集合Ax|x|1，Bx|x0，则AB()Ax|1x1 Bx|x0Cx|0x1 D分
6、析化简A、B，然后利用交集的定义或数轴进行运算答案(1)D(2)C解析(1)|x|2，2x2，即Ax|2x24.0x16.又xZ，B0,1,2,3，16，AB0,1,2(2)Ax|1x1，又Bx|x0，所以ABx|1x1x|x0x|0x11.求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果.2.在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰.此时数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集.变式训练2(1)已知A(x，y)|xy3，B(x，y)|xy1，则AB(C)A2,1 Bx2，y1C(2,1) D(2,1)(2)若集合Ax
7、|1x3，xN，Bx|x2，xN，则AB(D)A3 Bx|1x2C2,3 D1,2解析：(1)AB(x，y)|(2,1)(2)由题意，知A1,2,3，B0,1,2，结合Venn图可得AB1,2，故选D.类型三 并集、交集的综合运算命题视角1：与参数有关的交集、并集问题例3已知集合Ax|00，求AB，AB.解(1)当0a0，ABx|ax2(2)当a2时，如图(2)所示所以ABx|x0，AB2(3)当a2时，如图(3)所示所以ABx|00的限制条件，则应根据a与0，2的大小分为五类.变式训练3设集合Ax|x2ax120，Bx|x2bxc0，且AB3,4，AB3，求实数a，b，c的值解：AB3，3A
8、，且3B，将3代入方程x2ax120得a1，A3,4，又AB3,4，AB，B3Bx|x2bxc0，(3)(3)b，(3)(3)c，解得b6，c9，则a1，b6，c9.命题视角2：并集、交集的性质运用例4设集合A2，BxR|ax2x10，aR若ABB，求a的取值范围解由ABB，得BA，因为A2.所以B或B.(1)当B时，方程ax2x10无实数解，即所以解得a.(2)当B时，当a0时，方程变为x10，即x1.所以B1，此时AB，所以a0.当a0时，依题意知方程ax2x10有相等实根，即0，所以14a0，解得a.此时方程变为x2x10，其解为x2，满足条件综上可得a.求解“ABB或ABB”类问题的思
9、路：利用“ABBBA，ABBAB”转化为集合的包含关系问题.当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视，从而引发解题失误.变式训练4已知集合Ax|0x4，集合Bx|m1x1m，且ABA，求实数m的取值范围解：ABA，BA.Ax|0x4，B或B.当B时，有m11m，解得m0.当B时，用数轴表示集合A和B，如图所示，BA，解得1m0.检验知m1，m0符合题意综上所得，实数m的取值范围是m0或1m0，即m1.1已知集合A1,6，B5,6,8，则AB(B)A1,6,5,6,8B1,5,6,8C6 D1,5,8解析：求两集合的并集时，要注意集合中元素的互异性2设Sx|2x10，Tx|3x5
10、0，则ST(D)A Bx|x Dx|x0，Tx|3x50，则ST.3若集合A1,2，B1,2,4，C1,4,6，则(AB)C(D)A1 B1,4,6C2,4,6 D1,2,4,6解析：由集合A1,2，B1,2,4，得集合AB1,2又由C1,4,6，得(AB)C1,2,4,6故选D.4已知集合A，By|yx2，xA，AB.解析：By|yx2，xA，AB.5已知A1,4，x，B1，x2，且ABB，求x的值及集合B.解：ABB，BA，x24或x2x.解得x2或x0或x1.经检验知，x1与集合元素的互异性矛盾，应舍去x2或x0，故B1,4或B1,0本课须掌握的两大问题1对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的“xA，或xB”这一条件，包括下列三种情况：xA但xB；xB但xA；xA且xB.因此，AB是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合(2)AB中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB.2集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到
