1、专题32 函数的存在与恒成立问题一、题型选讲题型一 、 函数的存在问题函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：，则只需要，则只需要，则只需要，则只需要例1、【2019年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是_.【答案】【解析】存在，使得，即有，化为，可得，即，由，可得.则实数的最大值是.例2、(2016泰州期末） 若命题“存在xR，ax24xa0”为假命题，则实数a的取值范围是_【答案】 (2，)【解析】“存在xR，ax24xa0”为假命题，则其否定“对任意xR，ax24xa0”为真命题，当a0,4x0不
2、恒成立，故不成立；当a0时，解得a2，所以实数a的取值范围是(2，)易错警示 转为真命题来处理，二次项系数为参数的不等式恒成立问题，要注意讨论二次项系数为0时能否成立例3、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f(x)x，若存在x，使得f(x)2，则实数a的取值范围是_【答案】. (1,5)【解析】解法1 当x1,2时，f(x)2，等价于|x3ax|2，即2x3ax2，即x32axx32，得到x2ax2，即minamax，得到1a5.解法2 原问题可转化为先求：对任意x1,2，使得f(x)2时，实数a的取值范围则有x|x2a|2，即|ax2|.(1) 当a4时，ax2225，得到a5.(2) 当a
3、1时，x2a，有ax211，得到a1.(3) 当1a0矛盾那么有a1或a5，故原题答案为1a5.题型二、 函数的恒成立问题函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题最值分
4、析法“中的相关题目）参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为，则只需要，则只需要，则只需要，则只需要例4、（2020届山东省泰安市高三上期末）设函数在定义域(0，+)上是单调函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】由题意可设，则，由得，对恒成立，令，则，由得，在上单调递减，在单调递增，故答案为：变式5、【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为ABCD【答案】C【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，则.当时，即恒成立，令，则，当时，函数单调递增，当时
5、，函数单调递减，则时，取得最小值，综上可知，的取值范围是.故选C.例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】当时，问题等价于不等式，当时恒成立.设，又设则而.(i)当时，即时，由于，此时在上单调递增.所以即，所以在上单调递增所以，即，故适合题意.(ii)当时，由于在上单调递增，令， 则，故在上存在唯一，使，因此当时，单调递减，所以，即在上单调递减，故，亦即，故时不适合题意，综上，所求的取值范围为.题型三、函数的存在与恒成立的综合问题多变量恒成立与存在问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量）
6、，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。例7、(2019苏州期末）设函数f(x)，若对任意x1(，0)，总存在x2使得，则实数a的范围 【答案】【解析】 考察函数f(x)在区间(，0)和上的最小值或下确界特别注意到，当a0时，当x时，ax20.当a0时，f(x)在(，0)上的值域为(0，)，在，满足要求；当a0恒成立，所以不可
7、能有f(x2)f(x1)；当0时，设g(x)ax2，则g(x)2ax.易得g(x)在上递增，在上递减，在(2,)单调递减所以所以综上：例8、（2017苏锡常镇一调） 已知函数f(x)若存在x1，x2R，当0x10”为真命题，当a0,4x0不恒成立，故不成立；当a0时，解得a2，所以实数a的取值范围是(2，)2、(2017苏北四市摸底）已知函数f(x)ex1x2(e为自然对数的底数)，g(x)x2axa3，若存在实数x1，x2，使得f(x1)g(x2)0，且|x1x2|1，则实数a的取值范围是_. 【答案】. 2,3【解析】易知函数f(x)ex1x2为单调递增函数，且f(1)e0120，从而x1
8、1.因为|x1x2|1，所以|1x2|1，所以0x22.题意也就可转化为存在实数x0,2，使得x2axa30成立，即存在实数x0,2，使得a成立令tx1(t1,3)，则g(t)t22 22，当且仅当t，即t2，x1时取等号又因为g(t)maxmaxg(1)，g(3)3，所以函数g(t)t2的值域为2,3，从而实数a的取值范围是2,33、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】，当时，函数单调递增，不成立；当时，函数在上单调递增，在上单调递增；有且只有两个整数使得,且，故且即；故选：.4、【2020年高考天津】已知函
9、数，为的导函数当时，求证：对任意的，且，有证明：由，得对任意的，且，令，则 令当时，由此可得在单调递增，所以当时，即因为，所以， 可知，当时，即，故 由可得所以，当时，对任意的，且，有5、（2020浙江温州中学3月高考模拟）已知.（1）求的单调区间；（2）当时，求证：对于，恒成立；（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.【解析】（1），当时，.解得当时，解得所以单调减区间为，单调增区间为（2）设，当时，由题意，当时，恒成立，当时，恒成立，单调递减又，当时，恒成立，即对于，恒成立（3）因为由（2）知，当时，恒成立，即对于，不存在满足条件的；当时，对于，此时，即恒成立，不存在满足条件的；当时，令，可知与符号相同，当时，单调递减当时，即恒成立综上，的取值范围为
