1、专题31 运用构造法研究函数的性质一、题型选讲题型一 、构造函数研究函数的单调性例1、【2020年高考全国I卷理数】若，则ABCD【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，此时，有当时，此时，有，所以C、D错误.故选：B变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意设，则，又当时，则有，所以在上单调递减，又在上是偶函数，所以，所以是偶函数，所以，又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.变式2、（2020届山东实验中学高三
2、上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，设，则，则有，即有，故函数的图象关于对称，则有，当时，又由当时，即当时，即函数在区间为增函数，由可得，即，函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，由可得，即，此时不存在，故选：题型二、构造函数研究函数的零点等问题例2、【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是ABCD【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，
3、如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D变式1、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ）A2BC0D1【答案】ABC【解析】只有一个零点，函数与函数有一个交点，作函数函数与函数的图象如下，结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；当时，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.综合得：或.故选：ABC.变式2、【2018年高考全国卷理数】已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A1，0） B0，+） C1，+） D1，+）【答案】C【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，
4、之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即.故选C题型三、构造函数证明不等式例3、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)lnx(aR) 设f(x)的导函数为f(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.证明：x1f(x1)x2f(x2)2lna2.【解析】设px1f(x1)x2f(x2)112. 又则p2ln(x1x2)下面证明x1x2a2.不妨设x1x2，由知0x1aa2，即证x1.因为x1，(0，a)，f(x)在(0，a)上为减函数，所以
5、只要证ff(x1)又f(x1)f(x2)0，即证ff(x2)(14分)设函数F(x)ff(x)2lnx2lna(xa)所以F(x)0，所以F(x)在(a，)为增函数所以F(x2)F(a)0，所以ff(x2)成立从而x1x2a2成立所以p2ln(x1x2)2lna2，即x1f(x1)x2f(x2)2lna2成立(16分)例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)(lnxk1)x(kR) 若x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x2e2k.【解析】 因为f(x)lnxk，所以f(x)在(0，ek上单调递减，在ek，)上单调递增不妨设0x1ekx2.要证x1x2e2k，只要证x2.因为f(x)
6、在ek，)上单调递增，所以只要证f(x1)f(x2)f，即要证(lnx1k1)x1(klnx11)令t2(klnx1)0，只要证(t2)ett20.设H(t)(t2)ett2，则只要证H(t)0对t0恒成立H(t)(t1)et1，H(t)tet0对t0恒成立所以H(t)在(0，)上单调递增，H(t)H(0)0.所以H(t)在(0，)上单调递增，H(t)H(0)0.综上所述，x1x2e2k.二、达标训练1、【2020年高考全国卷理数】若2x2y0Bln(yx+1)0Dln|xy|0【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法
7、确定.故选：A2、【2020年高考浙江】已知a，bR且ab0，对于任意x0均有(xa)(xb)(x2ab)0，则Aa0Cb0【答案】C【解析】因为，所以且，设，则零点为当时，则，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，要使，必有.综上一定有.故选：C3、（2020全国高三专题练习（文）函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）ABCD【答案】A【解析】令,画出与的图象,平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故故选：A4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数
8、的取值可能是（ ）ABCD【答案】BCD【解析】令函数，因为，为奇函数，当时，在上单调递减，在上单调递减存在，得，即，；，为函数的一个零点；当时，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个零点，只需使，解得，的取值范围为， 故选：5、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，则下列判断中正确的是( )ABCD【答案】CD【解析】令，则，因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，因此，即，即，故A错；又，所以，所以在上恒成立，因为，所以，故B错；又，所以，即，故C正确；又，所以，即，故D正确；故选：CD.6、（2020浙江学军中学高三3月月考）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，函数有9个零点，可转化为与有9个不同交点.因当有，所以在上是周期函数，又当时，有，所以在上的图象如图所示要使与有9个不同交点，则只需夹在与之间即可，所以，解得或.故选：A.
