1、2014-2015学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷一、填空题（本小题共14小题，每小题4分，共56分）只需在答题卡上直接写出结果1（4分）设A=（1，3，B=2，4），则AB=2（4分）函数f（x）=的定义域为3（4分）函数y=loga（x1）+1（a0，a1）的图象必定经过的点坐标为4（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是5（4分）已知点（x，y）在映射“f”作用下的对应点是（x+y，2xy），若点P在映射f作用下的对应点是（5，1），则点P的坐标为6（4分）已知函数若，则x的值为7（4分）设a=0.32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大
2、小关系为（用“”号连结）8（4分）若由表格中的数据可以判定方程exx2=0的一个零点所在的区间为（k，k+1）（kN），则实数k的值为x10123ex0.3712.727.3920.09x+2123459（4分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，若用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是10（4分）若函数y=x24x的定义域为4，a，值域为4，32，则实数a的取值范围为11（4分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=m有两个
3、不同的实根，则实数m的取值范围是12（4分）若对任意实数x，规定x是不超过x的最大整数，如1.5=2，1.14=1等，则当x（0.5，2.5）时，函数f（x）=x+1的值域为13（4分）某市规定：出租车3公里内起步价8元（即不超过3公里，一律收费8元），若超过3公里，除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价假如一乘客与司机约定以元为单位计费（按四舍五入的原则不找零），下车后付了16元，则该乘客里程的范围是14（4分）已知函数f（x）=，若当t0，1时，f（f（t）0，1，则实数t的取值范围是二解答题（本大题共6小题，满分64分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（8分）计算下列各
4、式的值：（1）+； （2）16（10分）已知A=a2，a+1，3，B=a3，3a1，a2+1，C=x|mx=1，若AB=3（1）求a的值；（2）若C（AB），求m的值17（10分）（1）已知关于x的方程3tx2+（37t）x+4=0的两个实根，满足012，求实数t的取值范围；（2）解方程lg（x+1）lg（1x）=lgx18（12分）已知某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，p），点（t，p）落在图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示第t天4101622Q（万股）36302418（1）试根据提供
5、的图象，求出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）若t，Q满足一次函数关系，试根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的函数关系式；（3）在（2）的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？提示：日交易额=日交易量x每股的交易价格19（12分）已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数（1）求实数a的值；（2）用定义证明f（x）在R上是减函数；（3）已知不等式f（logm）+f（1）0恒成立，求实数m的取值范围20（12分）已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且
6、函数y=是偶函数（1）求f（x）的解析式；（2）已知t2，g（x）=f（x）x213|x|，求函数g（x）在t，2上的最大值和最小值；（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由2014-2015学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本小题共14小题，每小题4分，共56分）只需在答题卡上直接写出结果1（4分）设A=（1，3，B=2，4），则AB=2，3考点：交集及其运算 专题：计算题分析：结合数轴直接求解解答：解：由数轴可得AB=0，2，故答案为：2，3点评：本
7、题考查集合的运算，基础题注意数形结合2（4分）函数f（x）=的定义域为x|x2且x3考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0求解x的取值集合得答案解答：解：由，解得：x2且x3函数f（x）=的定义域为x|x2且x3故答案为：x|x2且x3点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题3（4分）函数y=loga（x1）+1（a0，a1）的图象必定经过的点坐标为（2，1）考点：对数函数的单调性与特殊点 专题：函数的性质及应用分析：令对数的真数等于1，求得x、y的值，即可求得函数的图象经过的定点坐标解答：解：令x
8、1=1，解得x=2，求得y=1，故函数的图象经过定点（2，1），故答案为 （2，1）点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于中档题4（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 专题：计算题；待定系数法分析：设出幂函数f（x）=x，为常数，把点（9，）代入，求出待定系数的值，得到幂函数的解析式，进而可求f（25）的值解答：解：幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），设幂函数f（x）=x，为常数，9=，=，故 f（x）=，f（25）=，故答案为：点评：本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法5（4分）
9、已知点（x，y）在映射“f”作用下的对应点是（x+y，2xy），若点P在映射f作用下的对应点是（5，1），则点P的坐标为（3，2）考点：映射 专题：集合分析：根据运算的概念得出方程组求解即可解答：解：点（x，y）在映射“f”作用下的对应点是（x+y，2xy），点P在映射f作用下的对应点是（5，1），x=2，y=3，故答案为；（3，2）点评：本题考查了映射的概念，方程组的求解属于中档题，关键是理解映射的概念6（4分）已知函数若，则x的值为3考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：当x0时，有，x=2，不成立；当x0时，有，成立解答：解：当x0时，有，x=2，不成立；当x0时，有，成立故答案为：3
10、点评：本题考查分段函数函数值的求法，解题时要认真审题，注意对数运算性质的应用7（4分）设a=0.32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系为cba（用“”号连结）考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出解答：解：0a=0.321，2b=20.31，c=log2=2，cba故答案为：cba点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题8（4分）若由表格中的数据可以判定方程exx2=0的一个零点所在的区间为（k，k+1）（kN），则实数k的值为1x10123ex0.3712.727.3920.09x+212345考点：二分法求
11、方程的近似解 专题：计算题；函数的性质及应用分析：令f（x）=exx2在R上连续，从而判断函数的值的正负以确定函数的零点的位置解答：解：令f（x）=exx2在R上连续，f（1）=e1+120，f（0）=102=10，f（1）=e122.7230，f（2）=e2220；故方程exx2=0的一个根在（1，2）之间，故k=1，故答案为：1点评：本题考查了方程的根与函数的零点的应用，属于基础题9（4分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，若用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程
12、，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（2）考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得，S1的始终是匀速增长，开始时，S2的增长比较快，但中间有一段时间S2停止增长在最后一段时间里，S2的增长又较快，但S2的值没有超过S1的值，由此得到结论解答：解：由题意可得，S1的始终是匀速增长，开始时，S2的增长比较快，但中间有一段时间S2停止增长在最后一段时间里，S2的增长较快，但S2的值没有超过S1的值结合所给的图象可知，应选（2），故答案为：（2）点评：本题主要考查函数的图象的应用，关键是根据题意判断关于t的函数S1、S2 的性质以及其图象特征，属于中档题10（4分）若函数y=x24x
13、的定义域为4，a，值域为4，32，则实数a的取值范围为2a8考点：二次函数在闭区间上的最值 专题：计算题分析：先配方，再计算当x=2时，y=4；当x=4时，y=（42）24=32，利用定义域为4，a，值域为4，32，即可确定实数a的取值范围解答：解：配方可得：y=（x2）24当x=2时，y=4；当x=4时，y=（42）24=32；定义域为4，a，值域为4，32，2a8实数a的取值范围为2a8故答案为：2a8点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数的定义域与值域，正确配方是关键11（4分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=m有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（1，+）考点：
14、根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用 专题：函数的性质及应用分析：由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案解答：解：由题意作出函数f（x）=的图象，关于x的方程f（x）=m有两个不同的实根等价于函数f（x）=与y=m有两个不同的公共点，由图象可知当k（1，+）时，满足题意，故答案为：（1，+）点评：本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题12（4分）若对任意实数x，规定x是不超过x的最大整数，如1.5=2，1.14=1等，则当x（0.5，2.5）时，函数f（x）=x+1的值域为0，1，2，3考点：函数的值域 专题
15、：计算题；函数的性质及应用分析：由题意知，当x（0.5，2.5）时可求得x=1，0，1，2；从而解得解答：解：当x（0.5，2.5）时，x=1，0，1，2；x+1=0，1，2，3；故函数f（x）=x+1的值域为0，1，2，3；故答案为：0，1，2，3点评：本题考查了函数的值域求法的应用，属于基础题13（4分）某市规定：出租车3公里内起步价8元（即不超过3公里，一律收费8元），若超过3公里，除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价假如一乘客与司机约定以元为单位计费（按四舍五入的原则不找零），下车后付了16元，则该乘客里程的范围是8，）考点：分段函数的应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析
16、：求出符合题意的函数关系式，其形式是一个分段函数，再利用函数根据车费，即可计算乘坐里程解答：解：由题意，乘车费用关于乘车里程的函数关系为f（x）=则由15.58+1.5（x3）16.5，可得8x，即有乘车里程的范围是8，）故答案为：8，）点评：本题考查分段函数的应用，分段模型是解决实际问题的很重要的函数模型，其特点是在不同的自变量取值范围内，函数解析式不同14（4分）已知函数f（x）=，若当t0，1时，f（f（t）0，1，则实数t的取值范围是log3，1考点：分段函数的应用 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入
17、已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可解答：解：因为t0，1，所以f（t）=3t1，3，又函数f（x）=，所以f（f（t）=3（不成立）或f（f（t）=3t，因为f（f（t）0，1，所以03t1，即3t3，解得：log3t1，又t0，1，所以实数t的取值范围log3，1故答案为：log3，1点评：本题考查函数与方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力二解答题（本大题共6小题，满分64分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（8分）计算下列各式的值：（1）+； （2）考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算；对数的运算性质 专题：计算题
18、分析：（1）由指数幂的含义以及根式定义，=4，=1，=，即可求出结果（2）利用对数的运算法则直接化简即可解答：解：（1）+=；（2）=1点评：本题考查指数和对数的运算法则，解题过程中要细心，确保正确性，属于基础题16（10分）已知A=a2，a+1，3，B=a3，3a1，a2+1，C=x|mx=1，若AB=3（1）求a的值；（2）若C（AB），求m的值考点：集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：（1）利用集合与元素之间的关系得出a的值，再通过验证是否满足题意即可；（2）先得出集合C，再分类讨论即可解答：解：（1）3B，a3=3或3a1=3，解得a=0或当a=0时，A
19、=0，1，3，B=3，1，1，而AB=3，13，a0；当时，A=，B=，AB=3综上得（2）C（AB），C=或3当C=时，m=0，满足题意；当C=3时，3m=1，解得满足题意综上可知：m=0或点评：熟练掌握集合的运算和之间的关系及分类讨论是解题的关键17（10分）（1）已知关于x的方程3tx2+（37t）x+4=0的两个实根，满足012，求实数t的取值范围；（2）解方程lg（x+1）lg（1x）=lgx考点：对数的运算性质；根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：（1）设f（x）=3tx2+（37t）x+4=0，则f（0）=40g根据方程的两个实根，满足012，可得，解出即可（2
20、）利用对数的运算性质及其单调性即可得出解答：解：（1）设f（x）=3tx2+（37t）x+4=0，则f（0）=40方程的两个实根，满足012，即，解得实数t的取值范围为（2）lg（x+1）lg（1x）=lgxx（x+1）=1x，即x2+2x1=0，解之得或x=1经过验证：只有满足，方程的解为点评：本题考查了二次函数的性质、函数的零点、对数的运算性质及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）已知某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，p），点（t，p）落在图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分
21、数据如下表所示第t天4101622Q（万股）36302418（1）试根据提供的图象，求出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）若t，Q满足一次函数关系，试根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的函数关系式；（3）在（2）的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？提示：日交易额=日交易量x每股的交易价格考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值 专题：计算题；应用题；函数的性质及应用分析：（1）当0t20时，设p=at+b，从而可得，从而解得；再解当20t30时的解析式，利用分段函数
22、写出即可；（2）由题意可设Q=kt+m，把（4，36），（10，30）代入可得；从而解得；（3）由题意可得y=PQ=；从而求分段函数的最值解答：解：（1）当0t20时，设p=at+b，则由题意可知其图象过点（0，2）；所以，解得；所以p=t+2；同理可得，当20t30时，p=t+8；综上可得，p=；（2）由题意可设Q=kt+m，把（4，36），（10，30）代入可得，解得；所以Q=t+40；（3）由题意可得，y=PQ=；当0t20时，t=15时，ymax=125万元，当20t30时，t=20时，ymax=120万元，综上可得，第15日的交易额最大为125万元点评：本题考查了分段函数在实际问题中
23、的应用，属于基础题19（12分）已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数（1）求实数a的值；（2）用定义证明f（x）在R上是减函数；（3）已知不等式f（logm）+f（1）0恒成立，求实数m的取值范围考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：（1）由奇函数的性质得f（x）+f（x）=0恒成立，代入解析式利用指数的运算化简，求出a的值；（2）根据函数单调性的定义进行证明，即取值作差变形判断符号下结论；（3）根据奇函数的性质将不等式转化为：f（logm）f（1），再由函数的单调性得logm1，利用对数的单调性对m进行分类讨论，再求出实数m的取值范围解答：解：（1）由
24、于f（x）是奇函数，则f（x）+f（x）=0对于任意的xR都成立，即，则（2分）可得1+a2x2x+a=0，即（a1）（2x+1）=0（3分）因为2x0，则a1=0，解得a=1（4分）（2）设x1、x2R，且x1x2，则f（x2）f（x1）=（6分），因为x1x2，所以，所以，从而f（x2）f（x1）0，即f（x2）f（x1）（7分）所以f（x）在R上是减函数（8分）（3）由f（logm）+f（1）0可得：f（logm）f（1）（9分）因为f（x）是奇函数，所以f（logm）f（1），又因为f（x）在R上是减函数，所以logm1（10分）当m1时，不等式成立；当0m1时，解得0m；综上可得，0
25、m，或m1（11分）故m的取值范围是（0，）（1，+）（12分）点评：本题考查函数奇偶性的应用，函数单调性定义的证明步骤：取值作差变形判断符号下结论，对数函数的性质，以及利用函数的单调性与奇偶性求解不等式问题，属于中档题20（12分）已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=是偶函数（1）求f（x）的解析式；（2）已知t2，g（x）=f（x）x213|x|，求函数g（x）在t，2上的最大值和最小值；（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数在闭区间上
26、的最值；二次函数的性质 专题：计算题分析：（1）因为函数是偶函数，所以二次函数f（x）=x2+bx+c的对称轴方程为，由此求得b的值，再由 f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），求出c的值，从而求得f（x）的解析式（2）由题意可得 g（x）=（x2）|x|，画出它的图象，讨论t的范围，结合图象求出g（x）在t，2上的 最值（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），从而4n2（2m+1）2=43，由此求得m、n的值，从而得出结论解答：解：（1）因为函数是偶函数，所以二次函数f（x）=x2+bx+c的对称轴方程为，故b=1又因为二次函数f（x）=x2+bx+
27、c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11因此，f（x）的解析式为f（x）=x2+x+11（2）由题意可得 g（x）=（x2）|x|，当x0时，g（x）=（x1）2+1，当x0时，g（x）=（x1）21，由此可知g（x）在t，2上的最大值 g（x）max=g（2）=0当1t2，g（x）min =g（t）=t22t当，g（x）min=g（1）=1当，g（x）min=g（t）=t2+2t（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），其中m为正整数，n为自然数，则m2+m+11=n2，从而4n2（2m+1）2=43，即2n+（2m+1）2n（2m+1）=43注意到43是质数，且2n+（2m+1）2n（2m+1），2n+（2m+1）0，所以有，解得因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）点评：本题主要考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值的方法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题
