1、第四节数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.常用数列求和的方法1公式法直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解2倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子Sna1a2an的两边同乘以公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相减整理即可求出Sn.4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正
2、负项相互抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和5分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减1数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200 B200C400D400解析：S100(15)(913)4(1001)3(41003)50(4)200.答案：B2若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21B2n1n21C2n1n22D2nn22解析：Sn212n12 n12n122n12n2.答案：C3数列 an1nn1，其前 n 项之和为 910，则在平面
3、直角坐标系中，直线(n1)xyn0 在 y 轴上的截距为()A10 B9C10 D9解析：数列an的前 n 项和为 112 1231nn111212131n 1n11 1n1 nn1 910，所以 n9，于是直线(n1)xyn0 即为 10 xy90，所以在 y 轴上的截距为9.答案：B4若数列an的通项公式为 an n2n，则前 n 项和为()ASn1 12nBSn2 12n1 n2nCSnn(112n)DSn2 12n1 n2n解析：an n2n，Sn1122122n 12n，12Sn11222123(n1)12nn 12n1，得12Sn12 122 12n n2n1，Sn112 12n1
4、 n2n1 12n112 n2n2 12n1 n2n.答案：B5数列 1,412，714，1018，前 10 项的和为_解析：1412714101828 1512(14728)(121418 1512)145511512.答案：145511512热点之一 分组求和法求和若数列anbncn，且数列bn、cn为等差数列或等比数列，常采用分组转化法求数列an的前n项和，即先利用等差或等比数列的前n项和公式分别求bn和cn的前n项和，然后再求an的前n项和例1 已知函数f(x)2x3x1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项和为Sn.(1)求使an0的n的最大值(2)求Sn.思路探究(1)将
5、n，an代入fx的解析式 解不等式an0 结论(2)Sna1a2an 分组求解 结论课堂记录(1)依题意an2n3n1，an0即2n3n10.当n3时，239120，2n3n10中n的最大值为3.(2)Sna1a2an(2222n)3(123n)n212n12 3nn12n2n1n3n522.即时训练已知等差数列an的前 n 项和为 Sn 且 a23，a59 且数列 bnSnn，求bn的前 n 项和 Tn.解：由已知得，数列an的公差 da5a252 632，数列an中首项 a11，公差 d2，Snnnn122n2.bnn2n，Tnb1b2bn(12232n2)(123n)nn12n16nn1
6、2nn1n13.热点之二 裂项相消法求和1利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等2一般如下，若an是等差数列，即1anan11d(1an 1an1)，1anan2 12d(1an 1an2)此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和3常见的拆项公式有：(1)1nn11n 1n1；(2)1nnk1k(1n 1nk)；(3)12n12n112(12n112n1)；(4)1n n1 n1 n.例 2 数列 1,112，11323，1142434
7、，1 120082200820072008，.(1)写出它的通项 an，并说明数列an是等差数列；(2)设 bn1anan2，求数列bn的前 n 项之和思路探究 准确写出 an 的表达式，然后用裂项相消法课堂记录(1)an11n2nn1n112n1nn12.因为 an1ann22 n12 12，所以数列an是首项为 1，公差为12的等差数列(2)因为 bn1anan24n1n32(1n1 1n3)，所以数列bn的前 n 项和为2(1214131514161n 1n2 1n1 1n3)2(1213 1n2 1n3)53 2n2 2n3.思维拓展 如果数列的通项公式可转化为 f(n1)f(n)形式
8、，常采用裂项求和的方法特别地，当数列形如1anan1，其中an是等差数列，可尝试采用此法即时训练已知数列an中，a11，当 n2 时，其前 n项和 Sn 满足 Sn2an(Sn12)(Sn1Sn0)(1)求 Sn 的表达式；(2)设 bnSn2n1，求bn的前 n 项和 Tn.解：(1)Sn2an(Sn12)，anSnSn1(n2)，Sn2(SnSn1)(Sn12)，即 2Sn1SnSn1Sn由题意 Sn1Sn0，故式两边同除以 Sn1Sn，得 1Sn 1Sn12.数列1Sn 是首项为 1S1 1a11，公差为 2 的等差数列，1Sn12(n1)2n1，Sn12n1.(nN*)(2)bnSn2
9、n112n12n112(12n112n1)，Tnb1b2bn12(113)(1315)(12n112n1)12(112n1)n2n1.热 点之三 错位相减法求和1一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法2用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式特别警示：利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般分为等于1和不等于1两种情况来分别求和例 3
10、 设数列an满足 a13a232a33n1ann3，aN*.(1)求数列an的通项；(2)设 bn nan，求数列bn的前 n 项和 Sn.课堂记录(1)a13a232a33n1ann3，a13a232a33n2an1n13(n2)两式相减，得 3n1ann3n13 13(n2)an 13n(n2)验证 n1 时也满足上式，an 13n(nN*)(2)bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334n3n1，2Sn332333nn3n1，2Sn33n113 n3n1，Snn23n1143n134.思维拓展 错位相减法这种方法主要用于anbn的前 n 项和，其中an、bn分别是等
11、差数列和等比数列，是高考试题中常见题型即时训练设an为等比数列，a11，a23.(1)求最小的自然数 n，使 an2007；(2)求和：T2n 1a1 2a2 3a32na2n.解：(1)由已知条件得 an1a2a1n13n1.因为 36200737，所以，使 an2007 成立的最小自然数 n8.(2)因为 T2n1123 332 433 2n32n1，13T2n13 232 333 4342n132n1 2n32n，得43T2n113 132 133 132n12n32n1 132n1132n32n332n38n432n，所以 T2n32n2924n1632n.热点之四 数列求和的综合应用
12、1数列求和与函数、三角、不等式等知识相结合命题是近几年高考考查的热点，也是考查的重点，与三角相结合要明确三角函数自身的性质，如周期性，单调性等，尤其周期性是题目中的隐含条件，要善于挖掘，这也是解决三角与数列综合问题的关键2数学思想的应用也是数列综合题的一大特色，分类讨论，数形结合，函数与方程，以及化归思想在数列中常有考查，应引起足够的重视例 4(2009江西高考)数列an的通项 ann2(cos2n3 sin2n3)，其前 n 项和为 Sn.(1)求 Sn；(2)bn S3nn4n，求数列bn的前 n 项和 Tn.思路探究(1)由已知得：cos2n3 sin2n3 cos2n3 是以 3 为周
13、期的周期函数从而分情况求解(2)利用(1)结论求 bn，再错位相减求和课堂记录(1)由 cos2n3 sin2n3 cos2n3，故 S3k(a1a2a3)(a4a5a6)(a3k2a3k1a3k)(1222232)(4252262)3k223k122(3k)2132 312 18k52k9k42，S3k1S3ka3kk49k2，S3k2S3k1a3k1k49k23k12212k3k2316，故 Sn n316 n3k2n113n6 n3k1kN*.n3n46 n3k(2)bn S3nn4n9n424n，Tn12134 22429n44n，4Tn1213224 9n44n1，两式相减得3Tn1
14、21394 94n19n44n121394 94n1149n44n8 122n3 9n22n1，故 Tn831322n3 3n22n1.思维拓展 在解答本题的过程中，易出现讨论不全的错误，其原因是考虑问题不全面即时训练已知Sn为数列an的前n项和，且Sn2ann23n2，n1,2,3，.(1)求证：数列an2n为等比数列；(2)设bnancosn，求数列bn的前n项和Pn.(1)证明：令n1，则S12a1132，a14.又Sn2ann23n2则Sn12an1(n1)23(n1)2由得an12an12an2n2，即an12an2n2，an12(n1)2(an2n)，即an12n1an2n2，又
15、a122，an2n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列(2)解：由(1)知 an2n2n，an2n2n，bn(2n2n)cosn.当 n 为偶数时，Pnb1b2b3bn(b1b3bn1)(b2b4bn)(221)(2323)2n 12(n1)(2222)(2424)(2n2n)412n122 212n122 n23(2n1)n.当 n 为奇数时，Pn2n123(n1)综上，Pn2n13 n53n为奇数232n1nn为偶数从近两年高考考题来看，裂项相消法与错位相减法求和是考查的重点，题型以解答题为主，考查较为全面，往往和其他知识相结合命题，在考查基本运算、基本概念的基础上同时考查学生分析问题和
16、解决问题的能力例5(2010课标全国)设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由 bnnann22n1知Sn12223325n22n1.从而22Sn123225327n22n1，得(122)Sn2232522n1n22n1，即 Sn19(3n1)22n121(2010四川高考)已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设an的公差为 d.由已知得3a13d6，8a128d4.解得 a13，d1.故 an3(n1)4n.(2)由(1)的解答可得 bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若 q1，将上式两边同乘以 q 有 qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减得到(q1)Snnqn1q1q2qn1nqnqn1q1 nqn1n1qn1q1.于是，Snnqn1n1qn1q12.若 q1，则 Sn123nnn12.所以，Snnn12q1，nqn1n1qn1q12q1.
