1、第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1二元一次不等式AxByC0(或AxByC0，则包含此点P的半平面为不等式AxByC0所表示的平面区域，不包含此点P的半平面为不等式AxByC0表示的平面区域在直线5x3y10的()A左上方 B左下方C右上方D右下方解析：如右图，在平面直角坐标系中，作出直线5x3y10，如右图，将原点(0,0)代入直线方程得503010表示的平面区域在直线5x3y10的右下方答案：D2由不等式组xy
2、10 xy10 x0所表示的平面区域的面积是()A2 B1C.12D4解析：如右图所示阴影面积S12211.答案：B3小明夫妇经过几年努力打拼，终于在市区购得一处住房，现需要装修请木工需付工资每人60元，请瓦工需付工资每人50元，现有工人工资预算4000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是_解析：由题意可得60 x50y4000 xN*yN*.答案：6x5y400 xN*yN*4已知点P(x，y)满足条件xy4yxx1，则x2y2的最小值为_，最大值为_解析：如图可知，P(x，y)满足的点属于阴影部分ABC，而x2y2的最大值为|OC|2，最小值为|OA|2.由x1xy4，得点C(1,
3、3)，由xyx1，得点A(1,1)，|OC|2(19)210，|OA|2(2)22.答案：2 105若实数x、y满足xy20，x4，y5，则sxy的最大值为_解析：可行域如下图所示，作直线yx，当平移直线yx至点A处时，sxy取得最大值，即smax459.答案：9热点之一 二元一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：1同号上，异号下当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的上方，当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的下方2直线定界、特殊点定域注意不等式是否可取等号，不可取等号时直线画成虚线，可取等号时直线画成实线若直线不过原点，特殊点常选取原点例
4、1 若S为不等式组x0y0yx2表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过S中的那部分区域的面积为_思路探究 先在直角坐标系内作出二元一次不等式对应的直线，然后由2xy1得到要求的平面区域，最后求出面积课堂记录 如右图所示，直线xya扫过S中的区域为四边形AOBC.S四边形AOBCSAODSCBD122212 22 22 74.答案 74思维拓展(1)求平面区域的面积，要先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积(2)求面积时，要注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求出底与高，必要时分割区域为特殊图形求解即时训练下面给出的四个点中，到直线xy10的距离为
5、22，且位于xy10表示的平面区域内的点是()A(1,1)B(1,1)C(1，1)D(1，1)解析：令直线xyc0与xy10的距离为 22 应满足：|c1|2 22 c2或c0，xy0 或xy20，经验证(1,1)，(1，1)在上，(1,1)在上而只有(1，1)满足xy10.答案：C 热点之二 求目标函数的最值1利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：第一步：在平面直角坐标系内作出可行域；第二步：利用平移直线的方法在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：将最优解代入目标函数求出最大值或最小值2线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得3求线性目标函数的最优解，要注意分
6、析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系例2 已知实数x，y满足xy30，xy10，x2，(1)若z2xy，求z的最大值和最小值；(2)若zyx，求z的最大值和最小值思路探究(1)中z表示直线在y轴上的截距；(2)中yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率课堂记录 不等式组xy30 xy10 x2表示的平面区域如下图所示图中阴影部分即为可行域由xy30，xy10，得x1，y2，A(1,2)；由x2，xy30，得x2，y1，B(2,1)；由x2，xy10，得x2，y3，M(2,3)(1)z2xy，y2xz，当直线y2xz经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，
7、z也最大，此时zmax2237.当直线y2xz经过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，z也最小，此时zmin2124.所以z的最大值为7，最小值为4.(2)kOA2，kOB12，12yx2，所以z的最大值为2，z的最小值为12.即时训练 已知x、y满足条件：7x5y230，x7y110，4xy100，求：(1)4x3y的最大值和最小值；(2)x2y2的最大值和最小值解：(1)不等式组7x5y230 x7y1104xy100表示的公共区域如下图阴影所示：其中A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)，设z4x3y.直线4x3y0经过原点(0,0)作一组与4x3y0平行的直线l：4x3
8、yt.则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大z最大值4(1)3(6)14，z最小值4(3)3218.故4x3y的最大值为14，最小值为18.(2)设ux2y2，则u为点(x，y)到原点(0,0)的距离结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.u最大值(1)2(6)237，u最小值0，故x2y2的最大值为37，最小值为0.热点之三 线性规划的实际应用1用线性规划解决实际问题的步骤：2求线性规划问题的整点最优解常用以下方法：(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解(2)检验优值法：当
9、可行域中整点个数较少时，可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解(3)调整优值法：先求非整点最优解，再调整最优值，最后筛选出整点最优解例3 某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大房间每间面积18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益？思路探究 本题是一道用线性规划求解的实际应用问题，难点在于求目标函数的最优整数解这里所用到
10、的方法即是“局部微调法”，需要先判断出在B点取得最大值，再在B点附近区域做微调，找到满足题意的整数解课堂记录 设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x，y满足18x15y180，1000 x600y8000，x0，y0，x，yZ.且z200 x150y.6x5y60，5x3y40，x0，y0，x，yZ.可行域为如右图所示的阴影(含边界)作直线l：200 x150y0，即直线l：4x3y0把直线l向右上方平移至l1的位置时，过交点B，且与原点的距离最大，此时z200 x150y，解方程组6x5y60，5x3y40，得到B(207，607)由于点B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中的x，y
11、必须都是整数，所以，可行域内的点B(207，607)不是最优解，通过检验，要求经过可行域内的整点，且使z200 x150y取得最大值，经过的整点是(0,12)和(3,8)此时z取最大值1800元于是，隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大收益即时训练(2009四川理)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是()A12万元B20万元C25万元D27万元解析：
12、设甲、乙两种产品各需生产x吨、y吨，可使利润z最大，故本题即已知约束条件3xy13，2x3y18，x0，y0，求目标函数z5x3y的最大值，可求出最优解为x3，y4，如下图，故zmax151227，故选择D.答案：D从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求线性目标函数的最值，线性规划的实际应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，不排除会在解答题中出现，难度为中低档；客观题主要考查可行域的求解，目标函数最值的求法，以及线性规划的实际应用，主观题重点考查线性规划的实际应用这部分内容重点考查数形结合思想，分析问题、解决问题的能力例4(2010广东高考)某营
13、养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足x0，y0，12x8y64，6x6y42，6x10y
14、54.即x0，y0，3x2y16，xy7，3x5y27.z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是zA2.594022.5，zB2.544322，zC2.524525，zD2.504832.比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求解法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足x0，y0，12x8y64，6x6y42，6x10y54.即x0，y0，3x2y16，xy7，3x5y27.让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移由此
15、可知z2.5x4y在B(4,3)处取得最小值因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求1(2010北京高考)设不等式组xy1103xy305x3y90表示的平面区域为D.若指数函数yax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A(1,3 B2,3C(1,2 D3，)解析：先画出可行域，如下图，yax必须过A点及图中阴影部分A(2,9)，9a2，a3.a1，1a3，故选A.答案：A2(2010浙江高考)若实数x，y满足不等式组x3y30，2xy30，xmy10，且xy的最大值为9，则实数m()A2 B1C1 D2解析：画出x3y30，2xy30表示的平面区域如下图，又xmy10.恒过(1,0)点，当m0，又满足条件的可行域必须是一个三角形，联立2xy30，xmy10，解得A(3m12m1，52m1)，3m12m152m19，解得m1，故选C.答案：C
