1、第2课时独立事件学 习 任 务核 心 素 养1了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件(难点)2掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率(重点)3了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题(易错点)1借助两个事件相互独立的概念，提升数学抽象的核心素养2通过具体的实际问题的研究，培养数学建模的核心素养五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天(1)直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B
2、事件发生的概率吗？(2)求出P(A)，P(B)，P(AB)的值，观察这三个值之间的关系知识点1相互独立事件的概念一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件1一个口袋中装有2个白球和3个黑球，下列各选项中的两个事件，属于相互独立事件的是()A第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球C摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球D一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球B选项A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，属于对立事件；选项B，摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次
3、摸出的是黑球，两者不受彼此影响，属于相互独立事件；选项C，摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不属于相互独立事件；选项D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，属于对立事件故选B知识点2相互独立事件的概率计算(1)两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)P(A)P(B)(2)若事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)2已知A，B是相互独立事件，且P(A)，P(B)，则P(AB)_由题意可知P(AB)P(A)P(B)知识点3相互独立事件的性质如果事件A与
4、B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立(1)不可能事件与任何一个事件相互独立吗？(2)必然事件与任何一个事件相互独立吗？提示(1)相互独立不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响(2)相互独立必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响3思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)对事件A和B，若P(AB)P(A)P(B)，则事件A与B相互独立()(2)若事件A，B相互独立，则P( )P()P()()(3)如果事件A与B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)()(4)若事件A与B相互独立，则B与相互独立()提示若P(AB)P(A)P(B)，则P(AB)P(A)P(B)，故A，B相互独立，所
5、以(1)正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故(2)正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故(3)正确；(4)B与相互对立，不是相互独立，故(4)错误答案(1)(2)(3)(4) 类型1相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件(1)甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现
6、3点或6点”解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则1，2，3，4，5，6，A2，4，6，B3，6，AB6，P(A)，P(B)，P(AB)P(AB)P(A)P(B)，事件A与B相互独立判断事件是否相互独立的方法(1
7、)定义法：事件A，B相互独立P(AB)P(A)P(B)(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响跟进训练1同时掷两颗质地均匀的骰子，令A第一颗骰子出现奇数点，令B第二颗骰子出现偶数点，判断事件A与B是否相互独立解 样本空间(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，
8、1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，A第一颗骰子出现1，3，5点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，B第二颗骰子出现2，4，6点(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)AB(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2
9、)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)P(A)P(B)，事件A，B相互独立 类型2相互独立事件发生的概率【例2】面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率解令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)，P(B)，P(C)(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故P(ABC)P(A
10、)P(B)P(C)(2)他们都失败即事件同时发生故P()P()P()P()(1P(A)(1P(B)(1P(C)(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P1P()11求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积2使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生跟进训练2一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是
11、红球的概率；(2)第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率解记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件记3个白球分别为白1，白2，白3，2个红球为红1，红2，从5个球中一次取2个球的取法有(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，红1)，(白1，红2)，(白2，白3)，(白2，红1)，(白2，红2)，(白3，红1)，(白3，红2)，(红1，红2)共10种其中2个球都是白球有3种，2个球都是红球有1种，1个
12、白球，1个红球有6种(1)P(AB)P(A)P(B)故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是(2)P(CA)P(C)P(A)故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是 类型3事件的相互独立性与互斥性【例3】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5假设各盘比赛结果相互独立求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，
13、及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值.解设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ， E ， F，以上三个事件彼此互斥且独立所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P1P(D E F)P(D )P( E )P( F)0.60.50.50.40.50.50.40.50.50.35(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE ，DF，EF，DEF由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结
14、果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE )P(D F)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P()0.40.50.50.1红队至少两人获胜的概率为P21P1P()10.350.10.55求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算跟进训练3某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练
15、情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大解记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)，P(B)，P(C)设恰有k人合格的概率为Pk(k0，1，2，3)(1)三人都合格的概率：P3(ABC)P(A)P(B)P(C)(2)三人都不合格的概率：P0( )P()P()P()(3)恰有两人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC)恰有一人合格的概率：P11P0P2P3
16、1综合(1)(2)可知P1最大所以出现恰有一人合格的概率最大1抛掷3枚质地均匀的硬币，A既有正面向上又有反面向上，B至多有一个反面向上，则A与B的关系是()A互斥事件 B对立事件C相互独立事件 D不相互独立事件C由于事件A的发生与否对于事件B的发生不产生影响，则事件A与事件B相互独立，故选C2若P(AB)，P()，P(B)，则事件A与B的关系是()A事件A与B互斥 B事件A与B互为对立C事件A与B相互独立D事件A与B互斥又独立C因为P(A)1P()1，所以P(AB)P(A)P(B)0，所以事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件故选C3甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，译出的概率分别是，则此密码
17、能被译出的概率是()A B C DC用事件A，B，C分别表示甲、乙、丙能译出密码，则P(A)，P(B)，P(C)，所以P()P()P()P()，所以此密码能被译出的概率为1故选C4甲、乙两人投球命中率分别为，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为_事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则CAB且A与B互斥，P(C)P(AB)P(A)P()P()P(B)5甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是_，三人中至少有一人达标的概率是_0.240.96三人都达标的概率为0.80.6
18、0.50.24三人都不达标的概率为(10.8)(10.6)(10.5)0.20.40.50.04三人中至少有一人达标的概率为10.040.96回顾本节知识，自我完成以下问题：1你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？提示相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：AB(或AB)计算公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)2你能归纳一下求复杂事件概率的步骤吗？提示(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率
