1、2.3.2 双曲线的几何性质1.理解并掌握双曲线的几何性质.2.能根据这些几何性质解决一些简单问题.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2 y2b2=1(a0,b0)y2a2 x2b2=1(a0,b0)图形 性质 范围 xa 或 x-a,yR y-a 或 ya,xR 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点 对称轴:坐标轴对称中心:原点 顶点 顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标A1(0,-a),A2(0,a)标准方程 x2a2 y2b2=1(a0,b0)y2a2 x2b2=1(a0,b0)性质 渐近线y=y=离心率e=,(1,+),其中 c=2+2实虚轴 线段 A1A2 叫做双
2、曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长a,b,c 的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)名师点拨与椭圆的标准方程相比较,在双曲线的标准方程中,a,b只限制 a0,b0,二者没有大小要求.若 ab0,a=b0,0ab0 时,1e0 时,e=2(亦称等轴双曲线),当 0a 2.【做一做 1】已知双曲线的方程为 2x2-3y2=6,则此双曲线的离心率为()A.32 B.52 C.153 D.2 53解析:双曲线的方程可化为 23 22=1,a=3,=5.e=153.答案:C【做一做2】已知
3、双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则其标准方程为 .解析:=2,=4,a=2,b=2 3.又双曲线的焦点在 x 轴,故双曲线的标准方程为 24 212=1.答案:24 212=11.对有共同渐近线的双曲线系方程的理解剖析:若双曲线 22 22=1 与双曲线 22 22=1 有相同的渐近线,即两对直线 =0 与 =0 分别重合,则必有 =1(0).故a=ka,b=kb(k0).反之,易求得双曲线 22 22=1 与2()2 2()2=1 有相同的渐近线y=,故与双曲线 22 22=1 有相同渐近线的双曲线系方程为2()2 2()2=1,上述方程可简化为 22 22=(0).因此
4、在已知渐近线方程的情况下,利用双曲线系 22 22=(0)求双曲线方程较为方便.2.已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的离心率的方法剖析:设双曲线的渐近线方程为 y=,其中y=的倾斜角为.若双曲线的焦点在 x 轴上,则 e=1cos;若双曲线的焦点在y 轴上,则 e=1sin.显然a,b,c 可以看成一个直角三角形的三条边.题型一 题型二 题型三 题型四 已知双曲线方程求其几何性质【例1】求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.分析:将双曲线方程变为标准方程,确定a,b,c后求解.解:将 9y2-4x2=-36 变形为 29 24=1,
5、即 232 222=1,所以a=3,b=2,所以 c=13.因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(13,0),(13,0),实轴长是2a=6,虚轴长是 2b=4,离心率 e=133,渐近线方程为y=23.作出草图如下:题型一 题型二 题型三 题型四 反思求双曲线的几何性质必须先把方程化为标准形式,作几何图形时,应先画出两条渐近线和两个顶点.题型一 题型二 题型三 题型四 已知双曲线的几何性质求双曲线方程 【例 2】已知双曲线的渐近线方程为 y=3,且过点(1,15),求双曲线的方程.分析:应先根据渐近线方程设出双曲线方程,再代入点 M 的坐标求解.解:渐近线方程为 y=3的双曲线
6、方程可设为(y+3)(3)=(0),即 y2-3x2=m(m0).将 M(1,15)代入上式,得 m=12,所以双曲线的方程为 y2-3x2=12,即 212 24=1.反思要注意在已知渐近线的情况下双曲线方程的设法,即已知渐近线方程为 =0 或y=时,设双曲线方程为 +-=(0).题型一 题型二 题型三 题型四 与双曲线的渐近线有关的问题【例 3】双曲线 24 28=1 的渐近线方程为_.解析:利用渐近线的定义求解.方法一:方程 24 28=1,即为 222 2(2 2)2=1,所以 a=2,b=2 2.所以双曲线 24 28=1 的渐近线方程为y=2.方法二:令 24 28=0,即 2+2
7、 2=0 或 2 2 2=0,即 y=2或y=2.故双曲线 24 28=1 的渐近线方程为y=2.答案:y=2题型一 题型二 题型三 题型四 反思求双曲线 22 22=1(0,0)的渐近线方程,一般有两种方法,即(1)代入 y=,得渐近线方程.(2)令 22 22=0,得 =0,即y=.题型一 题型二 题型三 题型四 求双曲线的离心率【例 4】双曲线 22 22=1(0)的两个焦点分别为1,2,如图,以12 为边作等边三角形12.若双曲线恰好平分三角形的另两边,交1 于点,交2 于点,则双曲线的离心率为()A.3+1B.4+2 3C.2 3 2D.2 3+2题型一 题型二 题型三 题型四 解析
8、:由题意,得|F1N|=3,|2|=,因为|NF1|-|NF2|=2a,即 3 =2,所以 e=2 3-1=3+1.答案:A反思双曲线的离心率 e=1+22,因此要求离心率,只要找到 a,b,c 三者之间任意两者的关系式即可.123451.双曲线的方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0 B.52,0 C.62,0 D.3,0 解析:由双曲线的方程,可知 a2=1,b2=12,则c2=32,从而 c=62,所以双曲线的右焦点为 62,0.答案:C123452.已知双曲线 C:22 22=1 的焦距为 10,点(2,1)在的渐近线上,则的方程为()A.220 25=1B.25
9、 220=1C.280 220=1D.220 280=1解析:由 2c=10,得 c=5,因为点 P(2,1)在直线 y=上,所以 1=2.又因为 a2+b2=25,所以 a2=20,b2=5.故 C 的方程为 220 25=1.答案:A123453.双曲线 225 216=1 的离心率是()A.35 B.53C.415 D.5 41解析:利用双曲线的标准方程求得a,b,c,即可求得离心率.答案:C 123454.若双曲线 22 22=1 的一条渐近线方程为 3+=0,则此双曲线的离心率为_.解析:因为渐近线方程为 3+=0,所以 =13.又 a2+b2=c2,从而 =103,即 e=103.答案:103123455.已知以原点 O 为中心,F(5,0)为右焦点的双曲线的离心率=52.求双曲线的标准方程及其渐近线方程.分析:由题意可知焦点在 x 轴上,所以可设方程为 22 22=1(0,0),再由离心率知 =52,又因为c=5,从而可求得a,b,即可求得双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程.解:设双曲线 C 的标准方程为 22 22=1(0,0),则由题意,知 c=5,=52,得a=2,b=2-2=1.所以双曲线 C 的标准方程为 24 2=1,双曲线 C 的渐近线方程为 y=12.
