1、学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年高三上学期开学质量检测数学试题考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。2答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项
2、是符合题目要求的1若复数 z 满足(1i)3iz+=，则|z=（）A 5B5C2 5D202已知全集U=R，集合2|230Ax xx=，|lg(2)Bx yx=，则()U AB=（）A(,1(2,)+B(,1)2,)+C(3,)+D3,)+3一组数据按从小到大的顺序排列为 1，3，5，6，m，10，12，13，若该组数据的中位数是极差的 58，则该组数据的第 60 百分位数是（）A7.5B8C9D9.54设向量 a，b 的夹角的余弦值为14，|4a=，|1b=，则(23)abb+=（）A 1B1C 5D55已知9sin(5)5sin()2+=+，则2sin2sin+=（）A926B 1126C
3、 1526D 20136在平面直角坐标系 xOy 中，扡物线2:16C yx=的焦点为 F，P 是 C 上的一点，点 M 是 y 轴上的一点，且2MFPF=则OMF的面积为（）A24 3B16 3C24 2D16 27暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评其中甲的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上，学科网（北京）股份有限公司若圆锥的侧面展开图的圆心角为 23，面积为12，则球 O 的表面积为（）A 818B 812C12116D12148已知函数()2cos()(0,0)f xx=+的最
4、小正周期为 T，若()3f T=，且()f x 在区间0,1上恰有 3 个零点，则的取值范围是（）A 1723(,66B 1723,)66C 710(,33D 710,)33二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9下列说法正确的的是（）A若ab则22acbcB若22abcc，则abC若ab，cd则 acbdD若0ba，0c，则 acabcb+10甲箱中有 4 个红球、4 个黄球，乙箱中有 6 个红球、2 个黄球（这 16 个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱
5、中随机取出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 1 个球，记“在甲箱中取出的球是红球”为事件1A，“在甲箱中取出的球是黄球”为事件2A，“从乙箱中取出的球是黄球”为事件 B则下列说法正确的是（）A1A 与2A 是互斥事件B2(,)9P A B=C5()18P B=D2A 与 B 相互独立11已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 4，点 E，F，G，M 分别是 BC，1AA，11C D，1BB 的中点则下列说法证确的是（）A直线GF，1EC 是异面直线B直线 EG 与平面 ABCD 所成角的正切值为2 2C平面1DMC 截正方体所得截面的面积为 18D三棱锥11DAMC的体积为16
6、312已加点 P 是圆22:9O xy+=上的一点直线 1:cossin3lxy+=与直线 2:sincos2lxy=交于点 M则下列说法正确的是（）A 12llB直线 1l 与圆 O 相切C直线 2l 被圆 O 截得的弦长为 5D|PM 的最小值为 133学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13361(3)xx的展开式中，2x 项的系数为_14已知函数31log,0()1(),03xxxf xx=，若()1f f x=，则 x 的值为_15已知椭圆221221(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，点 P，Q 为 C 上关于坐标原
7、点对称的两点，且12|PQF F=，且四边形12PFQF 的面积为249 a，则 C 的离心率为_16已知函数()ee2sinxxf xx=，不等式2(e)(2ln)0 xf axfxx+对任意的 x(0,)+恒成立，则 a 的最大值为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）设nS 为公差不为 0 的等差数列na的前 n 项和，若2a，5a，14a成等比数列，12144S=（1）求na的通项公式；（2）设214nnnnba a+=，求数列 nb的前 n 项和nT 18（本小题满分 12 分）电影评论，简称影评，是对一部电影的
8、导演、演员、镜头、摄影、剧情、线索、环境、色彩、光线、视听语言、道具作用、转场、剪辑等进行分析和评论电影评论的目的在于分析、鉴定和评价蕴含在银幕中的审美价值、认识价值、社会意义、镜头语言等方面，达到拍摄影片的目的，解释影片中所表达的主题，既能通过分析影片的成败得失，帮助导演开阔视野，提高创作水平，以促进电影艺术的繁荣和发展；同时能通过分析和评价，影响观众对影片的理解和鉴赏，提高观众的欣赏水平，从而间接促进电影艺术的发展某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取 220 人进行调查，得到数据如下表所示（单位：人）：好评差
9、评合计男性70110女性60合计220（1）请将22列联表补充完整，并依据小概率值0.010=的独立性检验，能否认为对该部影片的评价与性别有关联？（2）从给出“好评”的观众中按性别用分层抽样的方法抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽出 3 人送电影优惠券，记随机变量 X 表示这 3 人中女性观众的人数，求 X 的分布列和数学期望学科网（北京）股份有限公司参考公式：22()()()()()n adbcab cdac bd=+，其中nabcd=+参考数据：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828x19（本小题满分 12 分）在ABC中，
10、内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinsinsinsinsincbaaABCAB=+（1）求角 B 的大小；（2）若2 7AC=，D 是边 AC 的中点，且19BD=，求ABC的内切圆的半径（1）当6a=时，求图中阴影部分表示的集合 C；（2）在()AB=R；ABB=；ABA=这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 a 的取值范围20（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，PB 平面 ABCD，ADBC，ABBC，1ABAD=，2BC=，点E 是棱 PD 上的一点（1）若 BEPD，求证：平面 EBC 平面 PCD；（2）若1PB=，2DEPE=，求平面 EBC
11、 与平面 PAD 的夹角的余弦值21（本小题满分 12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的离心率为62，且过点(2,1)P（1）求 C 的方程；（2）设 A，B 为 C 上异于点 P 的两点，记直线 PA，PB 的斜率分别为1k，2k，若12(21)(21)1kk=，试判断直线 AB 是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由22（本小题满分 12 分）已知函数2()ln()af xaxxax=R（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 的两个极值点分别为1x，2x，证明：2122 16|()()|2af xf xa学科网（北京）股份有限公司20232
12、024 学年高三上学期开学质量检测数学试题参考答案、提示及评分细则1A 因为(1i)3iz+=，所以3i(3i)(1 i)1 2i1 i(1 i)(1 i)z=+，所以22|1(2)5z=+=故选 A2C 由题意知2|230 1,3Ax xx=，|lg(2)(,2)Bx yx=，所以 AB=(,3，所以()(3,)U AB=+故选 C3C 由题意知，中位数是 62m+，极差为13 112=，所以 651228m+=，解得9m=，又8 60%4.8=，则第 60 百分位数是 9故选 C4B 设 a 与b 的夹角为，因为 a 与b 的夹角的余弦值为14，即1cos4=，又|4a=，|1b=，所以a
13、 b1|cos1 4()14ab=，所以2(23)23231abba bb+=+=+=故选 B5C 由9sin(5)5sin()2+=+，可得sin5cos=，即 tan5=，所以2sin2sin+=222sin2sinsincos+=+22222222sincossin2tantan2(5)(5)15sincos1tan1(5)26+=+故选 C6D 由题意知(4,0)F，设(0,)Mm，00(,)P xy，所以(4,)MFm=，00(4,)PFxy=，又2MFPF=，所以00(4,)2(4,)mxy=，所以02x=，02my=，所以2()16 22m=，解得8 2m=，所以OMF的面积1|
14、16 22SOFm=故选 D7B 圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 23，面积为12，设圆锥的母线长为 l，所以2121223l=，解得6l=设圆锥的底面圆半径为 r，所以2243rl=，解得2r=，所以圆锥的高22624 2h=，设球 O 的半径为 R，所以222(4 2)rRR+=，解得92 2R=，所以球 O 的表面积等于281814482R=故选 B8D 由题意()2cos()(0,0)f xx=+的最小正周期为 T，则2T=，又()3f T=，可得学科网（北京）股份有限公司23cos()2+=，即3cos2=，又0，所以6=，由()2cos()6f
15、 xx=+在区间0,1上恰有 3 个零点，当0,1x 时，,666x+，结合函数cosyx=的图象如图所示：则cosyx=在原点右侧的零点依次为2，32，52，72，所以 57262+，解得 71033，即的取值范围为 710,)33故选 D9BD 当0c=时，22acbc=，故 A 错误；因为22abcc，所以20c，所以ab，故 B 正确；当2a=，1b=，2c=，3d=时，acbd，故 C 错误；()()()()()acaac ba bcba cbcbbc bbc b+=+，又0ba，0c，所以0acabcb+，所以 acabcb+，故 D 正确故选 BD10AC 从甲箱中摸一个球，红球
16、与黄球不可能同时出现，所以1A 与2A 是互斥事件，故 A 正确；由题意知11()2P A=，21()2P A=，所以111121()()(|)299P A BP AP B A=，故 B 错误；22()()P A BP A=2131(|)296P B A=，所以12115()()()9618P BP A BP A B=+=+=，故 C 正确；因为215()()218P A P B=25()36P A B，故 D 错误故选 AC11ACD 如图 1，取 FM 的中点 P，连接1PC，所以1/FPGC，1FPGC=，所以四边形1FPC G 是平行四边形，所以1/GFPC，又111PCECC=，所以
17、直线GF，1EC 是异面直线，故 A 正确；如图 2，取 DC 的中点 Q，连接QE，QG，易得QG 平面 ABCD，所以QEG是直线 EG 与平面 ABCD学科网（北京）股份有限公司所成角，易得2 2QE=，4QG=，所以 tan2QGQEGQE=，即直线 EG 与平面 ABCD 所成角的正切值为2，故 B 错误；如图 3，延长1C M，CB 交于点 H，连接 HD 交 AB 于点 N，连接 MN，1AB，因为11/BBCC，M 为1BB的中点，则112BMCC=，所以 B 为 HC 的中点，因为/ABCD，所以 N 为 AB 的中点，则1/MNAB，因为11/ADB C，11ADB C=，
18、所以四边形11AB C D 为平行四边形，所以11/ABDC，所以1/MNDC，则平面1DMC 截正方体所得截面为等腰梯形1MNDC，在等腰梯形1MNDC 中，14 2DC=，2 2MN=，DN=12 5MC=，则梯形的高为2023 2=，所以等腰梯形1MNDC 的面积为(4 22 2)3 2182+=，故C 正确；如图 4，连接1BC，1B C，则11BCB C，因为 AB 平面11BCC B，1B C 平面11BCC B，所以1ABB C，又1ABBCB=，AB，1BC 平面11ABC D，所以1B C 平面11ABC D，又 M 为1BB 的中点，所以三棱锥11MAC D的高为1124
19、B C=，1114 248 22AC DS=，所以111118 223DAMCMAC DVV=163，故 D 正确故选 ACD12ABD 因为 cossinsin(cos)0+=，所以 12ll，故 A 正确；圆心 O 到 1l 的距离为 d=2233cossin=+，所以 1l 与圆O相切，故B正确；圆心O到直线 2l 的距离为d=2222sin(cos)=+，所 以 弦 长 为222 322 5=，故 C 错 误；由cossin3sincos2xyxy+=，得3cos2sin3sin2cosxy=+=，即(3cos2sin,3sin2cos)M+，所以22|(3cos2sin)(3sin2
20、cos)OM=+13=，所以|PM 的最小值为 133，故 D 正确故选 ABD13135 展开式的通项公式3 6618 41661C(3)()(1)3CrrrrrrrrTxxx+=，令1842r=，解得4r=，所以2x 项的系数为46 446(1)3C9 15135=140 或 27 令()f xt=，即()1f t=当0t 时，3()log1f tt=，解得3t=，即()3f x=，当0 x 时，3()log3f xx=，解得27x=，符合题意；当0 x 时，11()()33xf x=，解得0 x=，符合题意；当0t 学科网（北京）股份有限公司时，11()()13tf t=，解得1t=，不
21、符合题意综上，x 的值为 0 或 2715 73 由已知及对称性得：四边形12PFQF 为矩形，即12PFPF，所以121 2122|PF QFPF FSSPFPF=，由椭圆定义与勾股定理知：1222212|2|4PFPFaPFPFc+=+=，所以212|2PFPFb=，所以22429 ab=222()ac，所以73ca=，即 C 的离心率为73161 因为()()ee2sin()ee2sin()xxxxfxxxf x=+=，所以()f x 为 R 上的奇函数又()ee2cos2 ee2cos22cos0 xxxxfxxxx=+=，所以()f x 在(,)+上单调递增不等式2(e)(2ln)0
22、 xf axfxx+对 任 意 的(0,)x+恒 成 立，即2(2ln)(e)xfxxf xa+对 任 意 的(0,)x+恒 成 立，所 以22lnexxxxa+对 任 意 的(0,)x+恒 成 立，即2exax2ln2ln(2ln)ee(2ln)e(2ln)xxx xxxxxxx+=+=+对任意的(0,)x+恒成立令()exh x=x，所以()e1xh x=，所以当0 x 时，()0h x，()h x 在(0,)+上单层0时，()0h x，()h x 在(,0)上单调递减所以0min()(0)e01h xh=，所以2lnmine(2ln)1x xxx+=，此时2ln0 xx+=，所以1a，即
23、 a 的最大值为 117解：（1）设等差数列na的公差为 d，0d，因为2a，5a，14a 成等比数列，所以25214aa a=，所以2111(4)()(13)adadad+=+，所以2120a dd=，又0d，所以120ad=，所以12da=，所以12112 111212667214422ddSadd=+=+=，解得2d=，所以11a=，所以na的通项公式12(1)21nann=+=（2）由（1）知22144111111()(21)(21)(21)(21)2 2121nnnnnba annnnnn+=+=+，学科网（北京）股份有限公司所以12111 111111(1)1()1()232 35
24、2 212111(1).22121nnTbbbnnnnnnn=+=+=+=+18解：（1）22列联表如下：好评差评合计男性4070110女性6050110合计100120220零假设为0H：对该部影片的评价与性别无关联根据列联表中的数据，经计算得到2220.010()220(40 5070 60)227.3336.635()()()()100 120 110 1103n adbcxab cdac bd=+，根据小概率值0.010=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为对该部影片的评价与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.010（2）从给出“好评”的观众中按性别用分层抽样的方法抽取 1
25、0 人，男性有：401044060=+（人），女性有：601064060=+（人）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，所以34310C1(0)C30P X=，2146310C C3(1)C10P X=，1246310C C1(2)C2P X=，36310C1(3)C6P X=，所以 X 的分布列为01231311301026XP所以13119()01233010265E X=+=19解：（1）因为 sinsinsinsinsincbaaABCAB=+，由正弦定理得cbaaabcab=+，所以222acbac+=，由余弦定理得2221cos222acbacBacac+=，又(0,)B，所以3B
26、=学科网（北京）股份有限公司（2）由余弦定理得2222cosACBABCBA BCABC=+，即2228acac=+又 D 是边 AC 的中点，且19BD=，所以1()2BDBABC=+，所以222211()(2)44BDBABCBABA BCBC=+=+，即22119()4 caca=+，所以2252ac+=，24ac=，所以22210acacac+=+=设ABC的内切圆的半径为 r，所以 11()sin22ABACBC rBA BCABC+=，所以324sin5 32123102 7BA BCABCrABACBC=+20（1）证明：连接 BD，取 BC 中点 F，连接 DF，如图所示因为1
27、AD=，2BC=，所以/ADBF，ADBF=，所以四边形 ABFD 为平行四边形所以1ABDF=，则1DFCFBF=，所以90CDB=，即CDBD因为 PB 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PBCD，BDBPB=，BD，BP 平面 PBD，所以CD 平面 PBD，又 BE 平面 PBD，所以CDBE又 BEPD，PDCDD=，PD，CD 平面 PCD，所以 BE 平面 PCD，又 BE 平面 EBC，所以平面 EBC 平面 PCD（2）解：以 B 为坐标原点，BC，BA，BP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示所以(0,0,0)B，(2,0,0)
28、C，(1,1,0)D，(0,1,0)A，(0,0,1)P，所以(1,0,0)AD=，(1,1,1)DF=，设平面 PAD 的一个法向量1111(,)nx y z=，所以11111100AD nxDP nxyz=+=令11y=，解得10 x=，11z=，所以平面 PAD 的一个法向量1(0,1,1)n=因为2DEPE=，所以222 2(,)333 3DEDP=，所以22 21 1 2(1,1,0)(,)(,)33 33 3 3BEBDDE=+=+=，(2,0,0)BC=，设平面 EBC 的一个法向量2222(,)nxy z=，所以222222112033320BE nxyzBC nx=+=令21
29、z=，解得20 x=，22y=，所以平面 EBC 的一个法向量2(0,2,1)n=学科网（北京）股份有限公司设平面 EBC 与平面 PAD 的夹角为，所以121212|110cos|cos,|101 14 1n nn nnn=+即平面 EBC 与平面 PAD 的夹角的余弦值为 101021（1）解：由题意知2222262411caabcab=+，解得2a=，1b=，3c=，所以 C 的方程为2212xy=（2）证明：设11(,)A x y，22(,)B xy又(2,1)P，则11112ykx=，22212ykx=因为12(21)(21)1kk=，所以121 22kkk k+=，所以121212
30、12111122222yyyyxxxx+=，即122112121212(1)(2)(1)(2)112(2)(2)(2)(2)22yxyxyyxxxxxx+=，所以122112(1)(2)(1)(2)2(1)(1)yxyxyy+=，所以1221211222y xy xxxy y+=，当直线 AB 的斜率为 0 时，21xx=，21yy=，所以211y=，解得11y=或11y=，不符合题意，所以直线AB 的斜率不为 0设直线 AB 的方程为 xmyn=+，由2212xmynxy=+=得222(2)220mymnyn+=，22222244(2)(2)8(2)0m nmnmn=+，即222mn+，学科
31、网（北京）股份有限公司所以12222mnyym+=，212222ny ym=所以12212112()()()()22y myny mynmynmyny y+=，整理得1212(22)()()220my ynmyyn+=，所以22222(22)(2)2()(22)(2)0222mnmn nmnmmmm+=，所以22(22)(2)2()(22)(2)0mnmn nmnm+=，整理得22220mnmn+=，即()(2)0mn mn+=，则mn=或2mn=当 mn=时，直线 AB 的方程为(1)xnynn y=+=+，此时直线 AB 过定点(0,1)；当2mn=时，直线 AB 的方程为(2)(1)2x
32、n ynnyy=+=+，此时直线 AB 过定点(2,1)即为(2,1)P，因为 A，B 为 C 上异于点(2,1)P的两个动点，所以不符合题意故直线 AB 过的定点为(0,1)22（1）解：依题意，222122()(0)aaxxafxaxxxx+=+=，当0a 时，()0fx，所以()f x 在(0,)+上单调递减；当204a时，令()0fx，解得211 802axa或211 82axa+，令()0fx，解得2211 811 822aaxaa+，所以()f x 在211 8(0,)2aa上单调递增，在2211 811 8(,)22aaaa+上单调递减，在211 8(,)2aa+上单调递增；当2
33、4a 时，()0fx，所以()f x 在(0,)+上单调递增（2）证明：不妨设120 xx，由（1）知，当204a时，()f x 在1(0,)x上单调递增，在12(,)x x上单调递减，在2(,)x+上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点，所以12()()f xf x，学科网（北京）股份有限公司所以1212|()()|()()f xf xf xf x=由（1）知，122x x=，121xxa+=，则222112121 8()4axxxxx xa=+=要证2122 16|()()|2af xf xa，只需证12212()()()2f xf xxx因为2212112212111222()()()()()ln222xxxxxf xf xxxa xxaxx x+=+221212212111211222()2()()lnln2xxxxxxa xxxxxxxxx x=+=+22121212112(1)ln1xxxxxxxxxx=+，设211xtx=，2(1)1()ln1tg ttttt=+所以22241114(1)()0(1)(1)222tg tttttt tt t=+=+，所以()g t 在(1,)+上单调递增，所以()(1)0g tg=所以21122()()()02xxf xf x+，即得12212()()()2f xf xxx成立所以原不等式成立
