1、利用导数证明不等式1已知函数f (x)eln xax(aR) (1)讨论f (x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf (x)ex2ex0解(1)f (x)a(x0)若a0，则f (x)0，f (x)在(0，)上单调递增；若a0，则当0x时，f (x)0，当x时，f (x)0，故f (x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：法一：因为x0，所以只需证f (x)2e，当ae时，由(1)知，f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f (x)maxf (1)e记g(x)2e(x0)，则g(x)，所以当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，当x1时，g(x)0，g(x)单调递增
2、，所以g(x)ming(1)e综上，当x0时，f (x)g(x)，即f (x)2e，即xf (x)ex2ex0法二：由题意知，即证exln xex2ex2ex0，从而等价于ln xx2设函数g(x)ln xx2，则g(x)1所以当x(0，1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而g(x)在(0，)上的最大值为g(1)1设函数h(x)，则h(x)所以当x(0，1)时，h(x)0，当x(1，)时，h(x)0，故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而h(x)在(0，)上的最小值为h(1)1综上，当x0时，g(x)h
3、(x)，即xf (x)ex2ex02已知函数f (x)1，g(x)bx，曲线yf (x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直(1)求a，b的值；(2)证明：当x1时，f (x)g(x)解(1)因为f (x)1，所以f (x)，f (1)1因为g(x)bx，所以g(x)b因为曲线yf (x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f (1)g(1)1，所以g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1(2)证明：要证f (x)g(x)，只需证1x0令h(x)1x(x1)，则h(1)0，h(x)11因为x1，所以h
4、(x)10，所以h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)h(1)0，即1x0，所以当x1时，f (x)g(x)3(2021潍坊模拟)已知函数f (x)aln x，g(x)(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)证明：a1时，f (x)g(x)ln xe解(1)函数f (x)的定义域为(0，)，f (x)，当a0时，f (x)0，所以f (x)在(0，)上单调递减；当a0时，由f (x)0得x，由f (x)0得0x，所以f (x)在上单调递减，在上单调递增综上可知：当a0时，f (x)在(0，)上单调递减；当a0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增(2)证明：因为x0，当a1时，不等式等价于exex1，设F(x)exex1，则F(x)exe，所以x(1，)时，F(x)0，F(x)单调递增，x(0，1)时，F(x)0，F(x)单调递减，所以F(x)minF(1)1设G(x)，则G(x)，所以x(0，e)时G(x)0，G(x)单调递增，x(e，)时G(x)0，G(x)单调递减，所以G(x)maxG(e)1虽然F(x)的最小值等于G(x)的最大值，但1e，所以F(x)G(x)，即exex1，故原不等式成立
