1、最后冲刺【高考预测】1.数列的概念 2.等差数列3.等比数列 4.差与等比数列的综合5.数列与解析几何、函数、不等式的综合 6.数列的应用7.数列的概念 8.等差数列与等比数列9.数列的通项与前n项和 10.递推数列与不等式的证明11.有关数列的综合性问题 12.数列的实际应用13.数列与图形 易错点 1 数列的概念1(2012模拟题精选)已知数列an满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,(n2)，则an的通项an=_.【错误答案】 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，两式相减得an-an-1=(n-1)a
2、n-1，an=nan-1.由此类推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由叠乘法可得an=【错解分析】 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围当n=1时，a1=与已知a1=1，矛盾【正确解答】 n2时，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 当n3时，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2 -得 an-an-1=(n-1)an-1当n3时，=n，an=n43a2=a2，a2=a1=1当n2时，an= . 当n=1时，a1=1故an= 2(2012模拟题精选)设数列an的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n1)，且a4=54，则a1的数值是_.【错误答案】S
3、n=,此数列是等比数列，首项是a1，公比是3，由a4=a134-1，a1=2【错解分析】 此题不知数列an的类型，并不能套用等比数列的公式而答案一致是巧合【正确解答】a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2 3.(2012模拟题精选)已知数列an满足a1=1，an=3n-1+an-1(n2)(1)求a2，a3；(2)求通项an的表达式【错误答案】 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差数列，公差d=3n-1故an=1+(n-1)3n-1【错解分析】 (2)问中an-an-1=
4、3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义【正确解答】 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=.4(典型例题)等差数列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于 ( )A.160 B180 C. 200 D220则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是 ( )A.4005 B4006 C.4007 D.4008【错误答案】 a2004+a20030，即2a1+2002d+2003d0，
5、(a1+2002d)(a1+2003d)0即使na1+d0这样很难求出a1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a20030，a20040【错解分析】 此题运用等差数列前n项的性质及图象中应注意a20030，a20040 且忽视了这两项的大小3(2012模拟题精选)设无穷等差数列an的前n项和为Sn. ()若首项a1=，公差d=1，求满足Sk2=(Sk)2的正整数k; ()求所有的无穷等差数列an；使得对于一切正整数中k都有Sk2=(Sk)2成立【错误答案】 (1)当a1=,d=1时，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4 k0故k=4()由对一切正整数k都有S
6、k2=(Sk)2成立 即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0对切正整数k恒成立 故 求得a1=0或1，d=0 等差数列an=0,0,0,，或an=1，1，1，【错解分析】 ()中解法定对一切正整数k都成立而不是一切实数故而考虑取k的特值也均成立【正确解答】 ()当a1=,d=1时，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k0，所以k=4 ()设数列an的公差为d，则在Sk2=(Sk)2中分别取k=1,2,得由（1）得a1=0或a1=1. 当a1=0时，代入（2）得d=0或d=6.若a1=
7、0,d=0,则an=0,sn=0,从而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0,d=6,则an=6(n-1),由S3=18，（S3）2=324,S9=216知S9(S3)2，故所得数列不符合题意.当a1=1时,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,则an=1,Sn=n,从而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,则an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,从而Sk2=(Sk)2成立.综上,共有3个满足条件的无穷等差数列:an：an=0,即0，0，0，；an:an=1,即1，1，1，；an:an=2n-1,即1，3，5，.4.(2012模拟题精选)已知
8、数列an的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an(4-an),nN.(1)证明anan+12,nN.(2)求数列an的通项公式an.【错误答案】 用数学归纳法证明：（1）1当n=1时，a0=1,a1=a0（4-a0）=,a0a12,命题正确.2假设n=k时有ak-1ak2.则n=k+1时，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak-1=ak(4-ak)=4-(ak-2)22.n=k+1时命题正确.由1
9、、2知，对一切nN时有anan+12.(2)an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4.2(an+1-2)=-(an-2)2an+1-2=(an-2)2令bn=an-2,bn=-()1+2+2n-1又b1=a1-2=-.bn=-()2n+2n-1.即an=2-()2n+2n-1.【错解分析】 在（）问中求bn的通项时，运用叠代法.最后到b0而不是b1.【特别提醒】1.要善于运用等差数列的性质：“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”；等差数列前n项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进行数形结合法解等差数列问题.2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会
10、分析问题和解决问题.【变式探究】1 在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为 ( )A.14 B.15 C.16 D.17答案： C分析：略。2 等差数列an中,若其前n项的和Sn=,前m项的和Sm=(mn,m,nN*),则 ( )A.Sm+n4 B.Sm+nC.Sm+n=4 D.-4Sm+n-2答案： B分析：略。 ()将Sn表示成关于an的函数.答案：由a4在数列an中a1=,a2=,且log2(3a2-a1)log(3an+1-an),是公差为-1的等差数列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an+1-an,是等比数列，公比为q，|q|1,这个等
11、比数列的所有项之和等于.(1)求数列an的通项公式;答案：设bn=log2(3an+1-an),因为 bn是等差数列，d=-1.b1=log2(3a2-a1)=log2即log2(3an+1-a)=-n,所以3an+1-an=2-n设cn=2an+1-an,cn是等比数列，公比为q,|q|1,c1=2a2-a1=2由 由,解得(2)计算(a1+a2+an). (2)过点Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直线l1、l2,设l1与l2的夹角为，求证：tan答案：直线l2的方程为y-a1=d(x-),直线l2的斜率为d.tan=当且仅当易错点3 等比数列1数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,
12、aa+1=(n=1,2,3).证明:()数列是等比数列；()Sn+1=4an.【错误答案】 ()已知a1=1,an+1=,a2=3S1=3,S2=4 a3=S2=24=8.S3=1+3+8=12.即.故是公比为2的等比数列.()由()知=4于是Sn+1=4(n+1)=4an.又a2=3.S2=a1+a2=4,因此对于任意正整数n1,都有Sn+1=4an.【错解分析】 ()中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法,应给予证明. ()中运用前推一项必须使 n2.【错误答案】 ()S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.()an=Sn-Sn-1=(
13、an-1)-(an-1-1),得,所以an是首项为-，公比为-的等比数列.【错解分析】 在利用an=Sn-Sn-1公式时,应考虑n2时才能成立.【正确解答】()由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. ()当n1时,an=SnSn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以an是首项为-,公比为-的等比数列.3.(2012模拟题精选)等比数列的四个数之和为16,中间两个数之和为5,则该数列的公比q的取值为 ( )A. 或4 B. 或 C. 4或- D. 4或或或【错误答案】 设这四个数为,aq,aq3.由题意得由得
14、a=,代入得q=或q2=2.q2=或q2=4,故所求的公比为或4.故应选A.【错解分析】 上述解答设等比数列的公比为q2是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件,而题设中的四个数不一定同号.因此,产生了漏解现象. ()bn+1=a2n+1-.()求(b1+b2+b3+bn)= =.【错解分析】在求证bn是等比数列是时，式子中，an中n为偶数时， 是连续两项，并不能得出.【正确解答】()a2=a1+=a+,a3=a2=a+;()a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:bn是公比为的等比数列.证明如下:因为bn+1
15、=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(nN*)所以bn是首项为a-,公比为的等比数列.()求(b1+b2+b3+bn)= 【特别提醒】1.证明等比数列时应运用定义证为非0常数,而不能(此时n2).2.等比数列中q可以取负值.不能设公比为q2.3.会运用等比数列性质,“若m+n=p+k,则aman=apak”.【变式探究】1 试在无穷等比数列, ,中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原来次序排列的数列),使它所有项的和为,则此子数列的通项公式为_.答案： an=分析：略。2 已知等比数列an的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S2=20,S3=36,S4=65,
16、后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）AS1 B. S2 C.S3 D.S4答案： C分析：略。3 已知数列an的首项为a1,公比为q(q-1),用表示这个数列的第n项到第m项共m-n+1项的和.()计算,并证明它们仍成等比数列;答案： S13=a1(1+q+q2),S46=a1q3(1+q+q2)，S79=a1q6(1+q+q2),因为()受上面()的启发,你能发现更一般的规律吗?写出你发现的一般规律,并证明.答案：一般地4 已知数列an中,a1=,an+1=an+()n+1(nN*),数列bn对任何 nN*都有bn=an+1- an.(1)求证bn为等比数列;答案： bn+1=a
17、n+2若bn=0,则an+1=b1=a2-(2)求bn的通项公式;(3)设数列an的前n项和为Sn,求.答案： an+1又an+1=SN=3=Sn=2x5 已知数列an的首项为a1=2,前n项和为Sn,且对任意的正整数n,an都是3Sn-4与2-Sn-1的等差中项(n2).(1)求证:数列an是等比数列,并求通项an;使得TnRn,若存在，请求出所有n的值，若不存在请说明理由.答案：当n=1、2、3时，TnRn.即易错点 4 等差与等比数列的综合1.(2012模拟题精选)已知数列an的前n项和Sn=a2-()n-1-b2-(n+1)()n-1(n=1,2,),其中a,b是非零常数,则存在数列x
18、n、yn使得（ ）A.an=xn+yn,其中xn为等差数列，yn为等比数列Ban=xn+yn,其中xn和yn都为等差数列Can=xnyn,其中xn为等差数列，yn为等比数列Dan=xnyn,其中xn和yn都为等比数列【错误答案】a2-()n-1=xn，b2-(n-1)()n-1=yn,又xn,yn成等比数列，故选D.【错解分析】应从数列an的前n项和Sn的表达式入手，而不能从形式上主观判断.【正确解答】C. a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a2+()n-1-b2-(n+1)()n+1-a2+()n-2+b2-n()n-2=(bn-b-a)()n-1 ()n-1为等比数列,bn-a-b为
19、等差数列.2.(2012模拟题精选)已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项和，a1,2a7,3a4成等差数列.() 证明12S3,S6,S12-S6成等比数列; ()求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.【错误答案】 ()由a1,2a7,3a4 成等差数列.得4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.从而可求q3=-,或q3=1.当q3=-时，=，=q6=.故12S3，S6，S12-S6成等比数列.当q3=1时,=，=q6=1.故12S3,S6,S12-S6不成等比数列.【错解分析】本题条件中已规定q1.故应将q=1时舍去.【正确解答】()证明:由a1,2
20、a7,3a4成等差数列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.变形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由=1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比数列. ()解法:Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2=a+2aq3+3aq6+naq3(n-2),即Tn=a+2(-)a+3(-)2a+n(-)n-1a. (-)3a得:-Tn=-a+2(-)2a+3(-)3a+n(-)na -有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+(-)n-1a-n(-)na=-n(-)na=a-(+n)(-)na.所以Tn=(-)na.3.(2012
21、模拟题精选)如图，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点，令Pn的坐标为（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2.()求a1,a2,a3及an;()证明yn+4=1-,nN*,()若记bn=y4n+4-y4n,nN*,证明bn是等比数列.【错误答案】（1）y1=y2=y4=1,y3=,y5=,可求得a1=a2=a3=2,由此类推可求得an=2()将yn+yn+1+yn+2=2同除以2，得yn+4=yn+4=1-. ()bn+1=y4n+8-y4
22、n+4=-(y4n+4-y4n)=- bn.=-.故bn是等比数列.【错解分析】第()问题运用不完全归纳法求出an的通项.理由不充分,第()问中=-.要考虑b1是否为0.即有意义才更完整.【正确解答】()因为y1=y2=y4=1,y3= ,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由题意可知yn+3=.an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,an为常数列.an=a1=2,nN*.()将等式yn+yn+1+yn+2=2两边除以2,得yn+=1,又yn+4=,yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-=-(y4n+4-y4n)=- bn
23、,又b1=y8-y4=-0,bn是公比为- 的等比数列.4.(2012模拟题精选)在等差数列an中,公差d0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,akn,成等比数列,求数列kn的通项kn.【错误答案】an=a1+(n-1)d,=a1a4(a1+d)2=a1(a1+3d).d=a1,an=nd.a1=d.a3=3d.=3=q.=q=3.kn是公比为3的等比数列.kn=13n-1=3n-1.【错解分析】错因在把k1当作数列an的首项.k1=1.而实际上k1=9.【正确解答】依题设得an=a1+(n-1)d,=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d, d0,d=
24、a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,kndn是等比数列.由d0,所A5 B.6 C.7 D.8答案： C设2 已知等差数列an的首项为a,公差为b;等比数列bn的首项为b,公比为a,其中a,bN+,且a1b1a2b2a3.()求a的值;答案：()若对于任意nN+,总存在mN+，使am+3=bn,求b的值；答案：即b(2n-1-m+1)=5,b=5.()在()中，记cn是所有an中满足am+3=b,mN+的项从小到大依次组成的数列，又记Sn为cn的前n项和，SnTn(nN+).答案：由(2)知an=5n-3,bn=5.2n-1,3 设函数f(x)=ax2+bx+c的图像是
25、以（2，0）为顶点且过点（1，1）的抛物线；数列an 数.(1)令bn=aa+1-an(nN+),证明：数列bn是等比数列；答案：证明:由(2)求数列an的通项公式；答案：解;由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nN)当k1时,b1+b2+bn-1=(a2-a1)当k=1时,b1+b2+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n2).而b1+b2+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=an-a1 (n2)所以,当k1时an-a1=(a2-a1).上式对n=1也成立.所以,数列an的通项公式为上式对n=1也成立,所以,数列an的通项公式
26、为an=a+(n+1)(f(a)-a) (nN)(3)当|k|1时，求答案：解:当|k|1时 liman=lim nn5设实数a0，数列an是首项为a，公比为-a的等比数列，记(1+a)S=易错点5 数列与解析几何、函数、不等式的综合1（典型例题）已知定义在R上的函数f(x)和数列an满足下列条件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a为常数，k为非零常数.()令bn=aa+1-an(nN*),证明数列bn是等比数列；()求数列an的通项公式；()当|k|1时，求【错误答案】 ()证明:由b1=
27、a2-a10,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由数学归纳法可证bn=an+1-an0(nN*).由题设条件，当n2时=k故数列bn是公比为k的等比数列.()由()知bn=kn-1(a2-a1)(nN*)b1+b2+bn-1=(a2-a1). (n2) 而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1(n2)an-a1=(a2-a1)(n2)故an=af(a)-a (nN*)an=a+(n-1)f(a)-a(nN*)()当|k|1时=a+2.如图，直线l1:y=kx+1-k(k0，k)与l2相交于点P.直线l1与x轴交于点P1,过点P
28、1作x轴的垂线交于直线l2于点Q1,过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，点Pn(n=1,2,)的横坐标构成数列xn. ()证明xn+1-1=(xn-1)，(nN*);（）求数列xn的通项公式；（）比较2|PPn|2与4k2|PP1|2+5的大小.【错误答案】证明：设点Pn的坐标是（xn,yn）,由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：.由Pn+1在直线l1上，得=kxn+1+1-k.所以（xn-1）=k(xn+1-1).即xn+1-1=（xn-1）,nN*.()由（）知，故xn-1是等比数列，且
29、首项x1-1=-，公比为.从而求得xn=1-2()n,nN*.【错解分析】 （）问中对于xn+1-1=(xn-1)先应考虑xn-1能否为0，继而可求.【正确解答】（）同错解中（）.（）解法：由题设知x1=1-,x1-1=-0,又由（）知xn+1-1=(xn-1),所以数列xn-1是首项为x1-1,公比为的等比数列.从而xn-1=-()n-1,即xn=1-2()n,nN*.（）解法：由得点P的坐标为（1，1）.所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8()2n+2(2)2n-2,4k2|PP1|254k2(1-1)2(0-1)2+5=4k2+9.（i）当|k|，即k-或
30、k时，4k2|PP1|2+51+9=10.D而此时0|1，所以2|PPn|281+2=10,故2|PPn|24k2|PP1|2+5.(ii)当0|k|，即k（-，0）（0，）时，4k2|PP1|2+51+9=10.而此时|1，所以2|PPN|281+2=10.故2|PPn|24k2|PP1|2+5.3.已知函数f(x)=设数列an满足a1=1,an+1=f(an),数列bn满足bn=|an-|，Sn=b1+b2+bn(nN*).（）用数学归纳法证明bn；（）证明Sn.【错误答案】()bn=|an-|,又an=1+，an+1=(n2),a2=2,a3=,a4=2.an1.bn=由叠代法.bn.（
31、）Sn=b1+b2+bn(-1)+.【错解分析】运用叠代法时并不能化简成.Sn=b1+b2+bn(-1)+（-1）.故对任意nN*,Sn【特别提醒】函数、数列、解析几何三者的综合，展示了知识的交汇性，方法的灵活性.因此解此类题目应充分运用函数与数列的联系，即数列是一种特殊函数，以及解析几何中方程与函数、数列的关系来解题.而数列与不等式的综合更显出问题的综合性.【变式探究】1 设函数y=f(x)图像上两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2),若，且点P的横坐标为.（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；答案：（2）若Sn=f()+f()+f()+f(1),nN*，求Sn;答案：由(1)知
32、而Sn两式相加，得所以Sn(3)记Tn为数列的前n项和，若Tna(Sn+2+)对一切nN*都成立，试求a的取值范围.答案：由(2)有,2已知一次函数f(x)的图像关于直线x-y=0对称的图像为C，且f(-1)=0,若点（n+1,（nN*）在曲线C上，并有a1=a2=1.（1）求曲线C的方程；答案：3过P（1，0）做曲线C:y=yk(x)(0,)，kN+k1）的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，依次下去得到一系列点Q1，Q2，Q3，Qn的横坐标为an.求证：（）数列an是等比数列；答案： y=kxk-1,若切点是Qn(a
33、n,a当n=1时，切线过点P(1,0)（）an1+答案：（）（）答案：记4 在xOy平面上有一系列点P1（x1,y1）,P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对每个正整数n,点Pn位于函数y=x2(x0)的图象上。以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此相外切。若x1=1,且xn+1xn(n=1,2,3).求证：数列|是等差数列；设圆Pn的面积为Sn,Tn=+，求证Tn.答案：记圆Pn的半径为rn,由条件知，yn=所以5.f(x)=ln(2-x)+ax在开区间（0，1）内是增函数，求实数a的取值范围答案： f(x)=-由于f(x)在(0,1)内是增函数若数列|an|满足
34、a1(0,1),an+1=ln(2-an)+an(nN+),证明0anan+116在直角坐标平面上有一点列P1（x1,y1）,P2(x2,y2)Pn(xn,yn)对一切正整数n，点Pn位于函数y=2x+的图象上，且Pn的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等数列|xn|，求点Pn的坐标；答案：（2）设抛物线列c1 ,c2 ,c3,，cn，中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn求：易错点6 数列的应用1.某企业20典型例题)若an=n2+An,且数列an为递增数列，则实数的取值范围是_.【错误答案】 （n
35、,an）(nN+)是函数f(x)=x2+x图象上的点，且数列an为递增数列，只需-1，即-2，的取值范围是-2，+【错解分析】 忽视了数列的离散型特征数列an为递增数列，只要求满足a1a2an【正确解答】 数列an是递增数列，且an=n2+n，其对称轴x=-既可以不超过直线x=1，也可以在 1x之间，故-3 的取值范围是(-3，+)(答案不唯一，-3的所有实数均可) 4(2012模拟题精选)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN+,且x10不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都
36、与Xn成正比，死亡量与x2n成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，C，()求xn+1与xn的关系式；()猜测：当且仅当x1,a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)()设a=2，c=1，为保证对任意x1(0，2)，都有xn0，nN+，则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论【错误答案】 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分别为繁殖量、捕捞量，死亡量) ()xn=x1(nN+)由()式得xn(a-b-cxn)=0x1=()x1 (0，2)a=2c=102-b2 0b0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1 5(2012模
37、拟题精选)假设某市：2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85?【错误答案】 (1)an是等差数列 an是中低价房面积a1=250，d=50Sn=25n2+225n由25n2+ 225n4750 即n10(2)设几年后新建住房面积S为：400(1+8)n 850，即230-1
38、00105n-1 0时，105n-223得n191因此，当2n19时，cn-1Cn；于是当n20时，CnCn-1.C19-b19857元即在A公司工作比在A公司工作的月工资收入最多可以多827元，5.某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4又被沙化【知识导学】难点1 数列的概念1定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a1=2，公和为5
39、，那么a18的值为_，这个数列的前n项和Sn的计算公式为_.【解析】 由等和数列的定义可求得a2、a3、a4由此类推可求出a18，以及Sn.【答案】 由已知得：a1=2，a2=3，a3=2，a4=3，易得a18=3,sn=2已知数列an满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2006的值是 ( ) A20052003 B20062005 C20062 D20062007 【解析】 由递推公式an+1，=an+2n，可变形为an+1-an=2n.且a1=0采用叠加法即可求出an的通项公式 【答案】 an+1=an+2n，an+1-an=2nan-an-1=2(n1)，a3-a2=4，a2-a1
40、=2，由叠加法可得an=n(n-1)，故a2006=20062005故选B3已知数列an中a1=1，且a2k=a2k-1+(一1)ka2k+1=a2k+3k,其中k=1，2，3，()求a3，a5；()求an的通项公式 难点2 等差数列与等比数列 1已知数列an是递减等差数列，前三项之和为6，前三项之积为24，则该数列的通项公式是 ( )A-4n+4 B-4n+10C. -4n2 D-4n-4【解析】 根据已知条件建立方程(组)求解【答案】 由a1+a2+a3=3a2=6 a2=2 即a1+ a3=4，由a1a2a3=2a1a3=-24 a1a3=-12 a1， a3，是一元二次方程 x2-4x
41、-12=0的两个根，a1=6或-2，an是递减的等差数列a1=6，则an=-4n +10 故选B 2数列an的前n项和为Sn，Sn=2an-3n(nN*)(1)若数列an+c引成等比数列，求常数c的值； (2)求数列an的通项公式an； (3)数列an中是否存在三项，它们可以构成等差数列?若存在，请求出一组适合条件的项；不存在，请说明理由【解析】 (1)利用an=Sn-Sn-1推出；(2)问运用叠代法求出通项；(3)问假设存在，再证明之【答案】 (1)由Sn=2an-3n及Sn+1=2an+1-3(n+1)得an+1=2an+3，=2，c=3 (2)a1=S1=2a1-3，a1=3 由(1)知
42、：an+3=(a1+3)2n-1，an=32n-3，nN*(3)设存在s、p、rN*，且sp r使as，ap、ar，成等差数列， 2ap=as+ar，即2(32p -3) =(32s-3) +(32r-3)，2p+1=2s+2r，2P-s+1=1+2r-ss、p、rN*且sp对一切正整数n成立； ()令bn=(n=1，2，)，判定bn与bn+1的大小，并说明理由而这等价于显然成立所以当n=k+1时，结论成立因此，an对一切正整数n均成立证法三：由递推公式得.上述各式相加并化简得2n+22n+1 (n2)又n=1时，an了明显成立，故an (n=1，2，) ()解法一：解法二：解法三：故 2已知
43、数列an满足递推关系：an+1=（nN*)，又a1=1 (1)在=1时，求数列an的通项an; (2)问在什么范围内取值时，能使数列an满足不等式an+1an恒成立? (3)在-31时，证明：【解析】 (1)求出an+1与an的关系式再求出通项an.(2)由an可知an是一个递增数列(3)用数学归纳法证明【答案】 (1)在=1时，an+1=可化为要使an+1=2an+1,则an+1+1=2(an+1),叠代可得an+1=2n-1(a1+1)=2n,即an=2n-1.(2)an+1-an0恒成立，至少需使a2-a10成立，即需a2-a1=0成立，则-3下面使用数学归纳法证明：在-3时，an+1a
44、n 3已知数列xn满足：xn+1=,x1=1 (1)问是否存在mN*，使xm=2，并证明你的结论; (2)试比较xn与2的大小关系； (3)设an=|xn-2|，求证：当n2时，2-21-n【解析】 (1)由“是否存在”常用反证法假设存在(2)作差法比较(3)放缩法【答案】 （1）假设存在=2，同理xm-2=2，由此类推有x1=2这与 x1=1矛盾，故不存在mN*，使xm=2 (2)当n2时，xn+1-2=xn+1-2与 xn-2符号相反，而x1=12，以此类推有： x2n-12 (3)xn+1=，则xn1，难点5 有关数列的综合性问题 1设P1(x1,y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，
45、yn) (n3，nN)是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，an=|OPn|2构成了一个公差为d(d(0)的等差数列，其中O是坐标原点，记Sn=a1+a2+an (1)若C的方程为点P1(10，0)且S3=255，求点P3的坐标；(只需写出一个) (2)若C的方程为(ab0)，点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值； (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上一点P1,对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，Pn存在的充要条件，并说明理由【解析】 (1)由已知设P3坐标再结合已知列出P3坐标方程，用方程思想求解(2)先将Sn列出表达
46、式，其中Sn必定是以d为自变量的一次函数，再由点Pn在抛物线上，求出d的取值范围，则问题转化为给定函数在某区间上的最小值问题 (3)属开放性命题我们可选双曲线、抛物线、圆而P1点也是任取的但如果取值不当会使问题很难处理，所以P1通常取最值点解法二：对每个自然数k(2kn)由00.原点O到双曲线C上各点的距离h|a|，+，且.点P1,P2，Pn存在当且仅当|OPn|2,即d0解法二：若抛物线C：y2=2px，点P1(0，0，)则对于给定的n.点P1，P2，Pn存在的弃要条件是d0理由同上解法三：若圆C：(x-a)2+y2=a2 (a0)，点P1 (0，0)则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的
47、充要条件是00且|OPn|2= (n-1)d4a2即0d. 2已知点集L=(x，y)|y=mn，其中m=(2x-b，1)，n=(1，b+1)，点列P(an，bn)在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列an的公差为1，nN*(1)求数列an，bn的通项公式； (2)若cn=(n2)，求(c1+c2+cn)；(3)若f(n)=(kN*)，是否存在kN*使得f(k+11)=2f(k)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 【解析】 (1)利用向量的坐标表示求出an,bn (2)利用裂项法求出cn的n项和(3)假设存在推出与条件是否相符 【答案】 (1)由，得y=2x+1L：y=2x+1，P1(0
48、，1)，则a1=0，b1=1，an=n-1 (nN*)，bn=2n-1(nN*)(2)当n2时，Pn(n-1，2n-1)，|P1Pn|=(n-1)，(3)假设存在符合条件的k使命题成立当k是偶数时，k+11是奇数，则f(k+11)=k+10，f(k)=2k-1，由 f(k+11)=2f(k)，得k=4当k是奇数时，k+11是偶数，则只f(k+11)=2k+21f(k)=k-1，由f(k+11)=2f(k)，得 k无解综上存在k=4，使得f(k+11)=2f(k)难点6 数列的实际应用 1某城市2006年底粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上年底粮食储备量的5，并且每年新增粮食储备量为6万
49、吨记2006年底的粮食储备量为a1万吨，以后每年底的粮食储备量依次为a2万吨、a3万吨、an万吨、(nN*) (1)求a2、a3； (2)受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过120万吨，试问2013年粮食储备量是否超过120万吨? (3)试求数列an的通项公式 【解析】 由特殊的项起步，逐个地计算，然后发现一般的规律、结论. 【答案】 (1)a2=100(1-5)+6=101，a3=101 (1-5)+6=10195； (2)由题意得到2013年底粮食储备量为a8万吨，则 a8=a7(1-5)+6=a6(1-5)+6)(1-5)+6 =a6(1-5)2+6(1-5)+6=100(1-5)7
50、+6(15)6+6(1-5)5+6=1000957+6=1000.957+120-1200957=120-20 09770)，若记三角形数表中从上往下数第几行各数的和为bn，求数列f(bn)的前n项和Sn. 【解析】 (1)依据aij的排列与奇数个数与奇数的位置关系(2)求出反函数的解析式，再求和2一粒子在区域(x，y)|x0，y0内运动，在第一秒内它从原点运动到点B，(0，1)，接着按图中箭头所示方向在x轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度 (1)设粒子从原点到达点An、Bn、Cn时，所经过的时间分别为an、bn、cn，试写出an、bn、cn的通项公式；(2)求粒子从原点运动
51、到点P(16，44)时所需的时间；(3)粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标 【解析】 数列的通性通法是：通过特殊情景入手，推出一般性的结论，本题就是算出数列的第一项、第二项、第三项据此猜出通项 【答案】 (1)设A1(1，0)，A2(2，0)，An(n，0)，当粒子从原点到达An时，显然有a1=3，a2=a1+1，a3=a1+ 12=a1+34,a4=a3+1，a5=a3+20=a3+54，a6=a5 +1，a2n-1=a2n-3+(2n-1)4，a2n=a2n-1+1，a2n-1=a1+43+5+(2n-1)=4n2-1，a2n= a2n-1+1=4n2b2n-1=a2n-
52、1-2(2n-1)=4n2-4n+1， b2n=a2n+22n=4n2+4nc2n-1，=b2n-1+(2n-1)=4n2 -2n=(2n-1)2+(2n-1)2+(2n-1),c2n=2n=4n2+2n= (2n)2+2n，即cn=n2+n (2)由图形知，粒子从原点运动到点P(16，44)时所需的时间是到达点c44所经过的时间c44再加(44-16)= 28秒，所以t=442+44+28=2008秒(3)由cn=n2+n2004，解得1n，取最大整数n，故n=44计算得c44=19802004，所以粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点c44，再向左运行24秒所到达的点的坐标为(20，
53、44)【典型习题导练】 1 已知公比为q的等比数列an，若bn=an+2an+2，nN*，则数列bn是 ( ) A.公比为q的等比数列 B公比为q2的等比数列 C.公差为q的等差数列 D公差为q2的等差数列 答案： A 解析：由bn=an+2an+2=a1qn-1+2a1qn+1=a1(1+2q2)qn-1,bn是公比为吁的等比数列 故选A2 若数列an是等比数列，则数列an+an+1 ( ) A.一定是等比数列 B可能是等比数列，也可能是等差数列 C.一定是等差数列 D一定不是等比数列 答案： B 解析：an=a1gn-1(a10，q0)，an+an+1=a1qn-1(1+q)，当q=-1时
54、，an+an+1为等差数列，当q-1时，an+an+1为等比数列，选B3 已知无穷等比数列an的各项和为，则a1的范围是 ( ) A-1a11 B0a11 c0a1或a11 D所给条件不足以确定a1，的范围 答案： c 解析：S=q=1-2a1|q|0且a1，b0且b1)，则y1、y2、y3成 ( ) A.等差数列，但不成等比数列 B等比数列而非等差数列 C等比数列，也可能成等差数列 D既不是等比数列，又不是等差数列 7 在数列an中，如果存在非零常数T，使得am+T=am对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列an为周期数列，其中T叫数列an的周期已知数列xn满足xn+1=|xn-xn-1
55、|(n2，nN)，如果x1=1，x2=a(aR，a0)，当数列xn的周期最小时，该数列前2005项的和是( ) A668 B669 C1336 D1337 答案： D 解析：由于是求数列xn的周期最小时，其前2005项之和，故可令T=1，2，3，寻求最小的T满足题意即可当T=1时，则an=1，故由xn+1=|xn-xn-1|(n2，nN)可得数列为1，1，0，1，1，0，与周期为l矛盾；当T=2时，由递推式可得数列为1，o，|a-1|，故，|a-1|1，aR且a0，a=2，因此数列为1，2，1，1，0，1，1，0，与周期为2矛盾；当T=3时，同理可得数列为1，a，|a-1|，|a-1|-a|，
56、故|a-1|-a|=1，即(|a-1|-a)2=1，化简得|a-1|=a-1，a1，因此数列可化为1，a，a-1，l，|2-a|，再由a=|2-a|解得a=1，故原数列可化为1，1，0，1，1，0，满足题意综上可知该数列的最小周期为T=3，故S2005=(1+l+0)+1=1337故选D8 在等差数列an中，首项a1=，从第10项起开始大于1，那么此等差数列公差d的取值范围为 答案：() 解析：设等差数列an公差为d则由已知可得不等式组9 已知函数f(n)= 且an=f(n)+f(n+1)，那么a1+a2+a3+a200= . 答案：200 解析：a1+a2+a3+a200=f(1)+f(2)
57、+f(2)+f(3)+f(3)+f(4)+f(200)+f(201) =12-222+232-242+-22002+2012 =2(12-22+32-42+-2002)+2012-1 =2(-3-7-399)+2012-1 =20010 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2，表示二进制数，将它转换成十进制形式是123+122+021+120=13，那么将二进制数（）2转换成十进制数是 . 答案：220-1 解析：原式=1219+1218+12+120=1+2+22+219=220-111 已知点Pn(an，bn)满足：对任意的nN，an+1=anbn+
58、1，bn+1=,又知P0() (1)求过点P0、P1的直线l的方程;答案：b1=则，化简得x+y=1 即直线l的方程为x+y-1=0 (2)证明点Pn(n2)在直线l上;答案：已知p0、p1，在直线l上，假设pk(ak,bk)在l上，则有ak+bk=1，则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1=(ak+1) pk+1(ak+1,bk+1)也在直线l上，点pnl，(nN，n2) (3)求点Pn的极限位置 答案：bn+1=12 已知数列an的前n项和为Sn,且an=(3n+Sn)对一切正整数n恒成立 (1)证明数列3+an是等比数列；答案：巾已知，得Sn=-3n(nN*)
59、，Sn+1=2an+1-3(n+1)，两式才日减得an+1=2an+1-2an-3，an+1=2an+3，即an+1+3=2(an+3),=2 又a1=S1=2a-3，a1=3,a1+3=6， 故数列dn+3是首项为6，公比为2的等比数列 (2)数列an中是否存在构成等差数列的四项?若存在，请求出一组；若不存在，请说明理由 答案：由(1)知an+3=62n-1，an=62n-1-3=32n-3假设an中存在四项依次为am1,am2,am3,am4,(m1m2m3m4)，它们可以构成等差数列，则(32m1-3)+(32m4-3)=(32m2-3)+(32m3-3)，即 2m1+2m4=2m2+2m3，上式两边同除以2m1，得1+2m4-m1=2m2-m1+2m3-m1m1，m2，m3，m4 N*，且m1m2m3m4，式的左边是奇数，右边是偶数，式不能成立，数列，|an|中不存在构成等差数列的四项
