1、考点测试5一元二次不等式的解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式一、基础小题1不等式34x4x20的解集是()ABx|x0或x1CD答案A解析不等式可化为解得所以x0或1x.故选A.2如果关于x的不等式x2axb的解集是x|1x3，那么ba等于()A81 B81 C64 D64答案B解析不等式x2axb可化为x2axb0，其解集为x|1x3，所以1，3是方程x2axb0的根，所以解得所以ba(3)481.3不等式0
2、的解集为()A BC D答案C解析不等式0等价于(5x10)(2x3)0，且2x30，解得x2.故选C.4若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A2，)B(，6C6，2D(，62，)答案D解析由关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，得对应方程x2axa30有实数根，即a24(a3)0，解得a2或a6，所以实数a的取值范围是(，62，).故选D.5若函数f(x)的定义域为R，则实数k的取值范围是()Ak|0k1 Bk|k0或k1Ck|0k1 Dk|k1答案C解析当k0时，80恒成立；当k0时，只需即则0k1.综上，0k1.6已知点A(3，1)与点B(4，6)在直
3、线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围是()A(，24)(7，)B(7，24)C(24，7)D(，7)(24，)答案B解析由题意可得(92a)(1212a)0，所以7a24.故选B.7关于x的不等式x2(m2)x2m0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为()A(5，6 B(5，6) C(2，3 D(2，3)答案A解析关于x的不等式x2(m2)x2m0可化为(xm)(x2)0，该不等式的解集中恰有3个正整数，不等式的解集为x|2xm，且5k恒成立，则正整数k的值为()A1 B2 C3 D4答案A解析x2x1恒为正数，原不等式等价于3x22x2kx2kxk对xR恒成立，即(k3)x2(k
4、2)xk20恒成立，当k3时，x10不恒成立，(k2)24(k3)(k2)(k2)(k24k12)(k2)(103k).由0，得k.又k3，k0的解集是(，1)(2，)B不等式6x2x20的解集是C若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是3D关于x的不等式x2px20得(2x1)(x1)0，解得x1或x，不等式的解集为(1，)，故错误；对于B，6x2x20，6x2x20，(2x1)(3x2)0，x或x，故正确；对于C，由题意可知7和1为方程ax28ax210的两个根，7(1)，故a3，故正确；对于D，依题意得q，1是方程x2px20的两根，q1p，即pq1，故正确故选BCD.
5、11若a0，则关于x的不等式组的解集为_答案(a，a)解析因为a0，所以由axa2a(xa)a，由x2ax2a2(x2a)(xa)0，得2axa.所以原不等式组的解集为(a，a).12已知三个不等式：x24x30，x26x80，2x29xm0.则同时满足的x的取值范围为_要使同时满足的所有x的值满足，则实数m的取值范围为_答案(2，3)(，9解析由得1x3，由得2x4，故同时满足的x的取值范围为2x3.要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x29xm0在x(2，3)上恒成立，即m2x29x在x(2，3)上恒成立，又2x29x在x(2，3)上大于9，所以实数m的取值范围为m9.二、高考小题13
6、(2019天津高考)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_答案解析3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1x0的解集为_(用区间表示).答案(4，1)解析不等式x23x40等价于x23x40，解得4x1.15(经典江苏高考)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0，则实数m的取值范围是_答案解析由题可得f(x)0对于xm，m1恒成立，等价于解得m0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A(，2) B(，2)C(6，) D(，6)答案B解析令f(x)x24x2a，则函数的图象为开口向上且以直线x2为对称轴的抛物线，故在区间(1，4)上，f(x)
7、0在区间(1，4)内有解，则2a0，解得a2，即实数a的取值范围是(，2).故选B.17(2022北京房山区月考)已知函数f(x)则不等式f(x)x2的解集为()Ax|1x1 Bx|2x2Cx|2x1 Dx|1x2答案A解析函数f(x)则不等式f(x)x2，即或.解可得1x0，解可得0x1.综上可得，不等式f(x)x2的解集为1，1.故选A.18(2021湖南湘潭高三模拟)在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是()A(3，5) B(2，4)C3，5 D2，4答案D解析因为关于x的不等式x2(a1)xa0可化为(x1)(xa)1时，不等式的解集为1xa，要使
8、得解集中至多包含2个整数，则a4，即1a4；当a1时，不等式的解集为，满足题意；当a1时，不等式的解集为ax1，要使得解集中至多包含2个整数，则a2，即2a1.综上，实数a的取值范围是2，4.故选D.19(2021山西运城模拟)某电商新售A产品，售价每件50元，年销售量为11.8万件为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x%的营业税(即每销售100元征税x元).第二年，电商决定将A产品的售价提高元，预计年销售量减少x万件要使第二年A产品上交的营业税不少于10万元，则x的最大值是()A2 B5 C8 D10答案D解析由题意，第二年A产品年销售量为(11.8x)万件，A产品的售价为元
9、，所以第二年A产品年销售额为(11.8x)万元，则第二年A产品上交的营业税为(11.8x)x%万元由题意可得(11.8x)x%10，化简得x212x200，即(x2)(x10)0，所以2x10，所以x的最大值是10.故选D.20(多选)(2022湖北宜昌模拟)已知关于x的不等式kx22x6k0(k0)，则下列说法正确的是()A若不等式的解集为x|x2，则kB若不等式的解集为，则kC若不等式的解集为R，则kD若不等式的解集为，则k答案ACD解析因为不等式的解集为x|x2，所以k0，且3与2是方程kx22x6k0的两根，所以(3)(2)，解得k，故A正确；因为不等式的解集为，所以解得k，故B错误；
10、由题意，得解得k，故C正确；由题意，得解得k，故D正确故选ACD.21(多选)(2021江苏省淮安市清江浦区校级期末)若关于x的一元二次方程(x2)(x3)m有实数根x1，x2，且x1x2，则下列说法中正确的是()A当m0时，x12，x23BmC当m0时，2x1x23D当m0时，x123x2答案ABD解析当m0时，方程为(x2)(x3)0，解得x12，x23，所以A正确；方程整理可得x25x6m0，有不同的两实数根的条件为254(6m)0，可得m，所以B正确；当m0时，即(x2)(x3)0，函数f(x)(x2)(x3)m的图象与x轴交于点(x1，0)，(x2，0)，可得x123x2，所以C不正
11、确，D正确故选ABD.22(2021广西柳州模拟)若不等式a28b2b(ab)对任意的实数a，b均成立，则实数的取值范围为_答案8，4解析由已知可得a2ab(8)b20，若b0，则a20恒成立；若b0，对不等式两边同除以b2可得80恒成立，故24(8)0，解得84，故实数的取值范围为8，4.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2021河南信阳高三模拟)已知关于x的不等式(ax1)(x1)0.(1)当a2时，解上述不等式；(2)当a1时，解上述关于x的不等式解(1)当a2时，代入可得(2x1)(x1)0，解不等式可得x1，所以不等式的解集为.(2)关于x的不等式(ax1)
12、(x1)0.若a1，当a0时，代入不等式可得x11；当0a1时，化简不等式可得a(x1)1，可得1x；当a0时，化简不等式可得a(x1)0，解不等式可得x1或x1；当0a1时，不等式的解集为；当a(a1)x2(2a1)x3a1对任意的x1，1恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a1.解(1)原不等式等价于x22ax2a10对任意的x1，1恒成立，设g(x)x22ax2a1(xa)2a22a1，x1，1，当a0，无解；当1a1时，g(x)ming(a)a22a10，得11时，g(x)ming(1)12a2a10恒成立综上，实数a的取值范围为(1，).(2)f(x)1，即ax2xa10，即(x1)
13、(axa1)0，因为a0，所以(x1)0，因为1，所以当a0时，1，解集为；当a时，不等式可化为(x1)20，不等式无解；当a，解集为.3(2021陕西咸阳高三阶段检测)设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集；(2)若a0，且0xmn0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|1x0，且0xmn，所以xm0.所以f(x)m0，即f(x)m.4(2021上海松江区高三检测)已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0，5).(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；(3)若对于任意x1，1，不等式tf(x)2恒成立，求实数t的取值范围解(1)因为不等式f(x)0的解集是(0，5)，所以0，5是一元二次方程2x2bxc0的两个实数根，可得解得所以f(x)2x210x.(2)不等式组即解得因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得65k7，解得2k0时，有即解得t，所以0t；当t0时，函数ytx25tx1在1，1上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以有t5t10，解得t，即t0.综上，实数t的取值范围是.
