1、第三节平面向量的数量积及应用举例1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1平面向量数量积的定义(1)已知两个非零向量a和b，它的夹角为，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab，并规定零向量与任一向量的数量积为(2)叫做向量b在a方向上的投影(为向量a与b的夹角)(3)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
2、的乘积|a|b|cos|a|b|cos零|b|cos|b|cos2平面向量数量积的性质(1)ab .(2)cos ab|a|b|(为两向量夹角)3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.ab04平面向量数量积的坐标表示(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.(2)设 a(x，y)，则|a|x2y2.(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，ABa，则|a|x1x22y1y22.(4)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)则 abx1x2y1y20.(5)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a，
3、b 的夹角为，则有 cosx1x2y1y2x12y12 x22y22.5平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背景的一种向量描述它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数的相关知识来解答，三角知识是考查的主体6向量在几何中的应用(1)由于向量的线性运算和数量积运算有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由及表示出来向量的线性运算数量积运算(2)向量解决几何问题的“三步曲”建立几何与向量的联系，将几何问题转化为问题；通过的运算，研究几何元素的关系；把运算结果“翻译”成几何关系7向量在物理中的应用由于物理中的力、速度、位移等量是特殊的，因 而 可以用来
4、解决物理上的一些问题向量向量向量向量1已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与 b 的夹角是()A.6 B.4C.3D.2解析：a(ba)aba22，ab2a23.cosab ab|a|b|31612，a 与 b 的夹角为3.答案：C2已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A(79，73)B(73，79)C(73，79)D(79，73)解析：设 c(x，y)，则 ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又 c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.解得 x79，y73.答案：D3已知向量 a、b 的夹角为 45，且|
5、a|4，(12ab)(2a3b)12，则|b|_；b 在 a 方向上的投影等于_解析：ab|a|b|cosa，b4|b|cos452 2|b|，又(12ab)(2a3b)|a|212ab3|b|216 2|b|3|b|212，解得|b|2或|b|23 2(舍去)b 在 a 上的投影为|b|cosa，b 2cos451.答案：2 14已知平面上三点 A、B、C 满足|AB|3，|BC|4，|CA|5，则ABBCBCCACAAB的值等于_解析：由已知得ABC 为直角三角形，且 B90，cosA35，cosC45.原式|BC|CA|cos(C)|CA|AB|cos(A)45455335 25.答案：
6、255若向量 ab 满足|a|1，|b|2，且 a 与 b 的夹角为3，则|ab|_.解析：|ab|ab2|a|22ab|b|21212cos34 7.答案：7 热点之一 平面向量的数量积运算1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4向量的数量积是向量之间的一种运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量平面向量的数量积运算类似于多项式的乘法例1 已知向量a(1,2)，b(2，2)(1)设c4ab，求(bc)a；(2)若ab与a垂直，求的值；(3)求向量a在b方向上的投影思路探究 数量积的坐标表示 两向量垂
7、直的充要条件 投影的定义、公式课堂记录(1)a(1,2)，b(2，2)，c4ab(4,8)(2，2)(6,6)bc26260，(bc)a0a0.(2)ab(1,2)(2，2)(21,22)，由于 ab 与 a 垂直，212(22)0，52.的值为52.(3)设向量 a 与 b 的夹角为，向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos.|a|cosab|b|12222222 22 2 22.思维拓展 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos(为 a 与 b 的夹角)而|a|cosab|b|.故向量 a 在 b 方向上的投影为ab|b|.将此结论作为一个公式记忆即时训练若等边ABC 的边长为 2
8、 3，平面内一点 M 满足CM 16CB 23CA，则MA MB _.解析：选择CA，CB作为平面向量的一组基底，则MA CACM 13CA16CB，MB CBCM 56CB23CA，MA MB 29CA2 536CB 2 718CACB2.答案：2 热点之二 向量的夹角问题1当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角需求得 ab及|a|，|b|或得出它们的关系2若已知 a 与 b 的坐标，则可直接利用公式cosx1x2y1y2x12y12 x22y22.例 2 已知|a|1，ab12，(ab)(ab)12，求：(1)a 与 b 的夹角；(2)ab 与 ab 的夹角的余弦值思路探究(1
9、)由(ab)和(ab)的数量积可得出|a|、|b|的关系(2)计算 ab 和 ab 的模课堂记录(1)(ab)(ab)12，|a|2|b|212，又|a|1，|b|a|212 22.设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|121 22 22，又0，4.(2)(ab)2a22abb212121212，|ab|22.(ab)2a22abb212121252，|ab|102，设 ab 与 ab 的夹角为，则 cosabab|ab|ab|1222 102 55.即时训练已知向量 4a2b(2,2 3)，c(1，3)，ac3，|b|4，求向量 b 与 c 的夹角.解：4a2b(2,2 3)，
10、c(1，3)，(4a2b)c264，即 4ac2bc4.又ac3，2bc4ac44348，bc4，cos bc|b|c|44212.又0，3.热点之三 向量的模与垂直问题1利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：|a|2a2aa；|ab|2a22abb2；若 a(x，y)，则|a|x2y2.2非零向量abab0是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.例3 已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(
11、kab)?课堂记录 由已知，ab48(12)16.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448.|ab|4 3.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)4643162，|4a2b|16 3.(2)若(a2b)(kab)，则(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20.16k16(2k1)2640，k7.即时训练(1)点 O 是三角形 ABC 所在平面内一点，满足：OA OB OB OC OC OA，则点 O 是ABC 的()A内心 B外心C重心D垂心(2)O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB|AB|cosBAC|
12、AC|cosC，0，)，则P 点的轨迹一定通过ABC 的()A重心B垂心C内心D外心解析：(1)由OA OB OB OC，得OB AC0，即OB AC，同理OA BC，OC AB.故选 D.(2)由 OP OA AB|AB|cosBAC|AC|cosC，0，得 AP AB|AB|cosBAC|AC|cosC.则APBCABBC|AB|cosB ACBC|AC|cosC(|BC|BC|)0.故 APBC，P 点的轨迹一定通过ABC 的垂心答案：(1)D(2)B热点之四 平面向量的应用向量与三角函数结合是高考命题的一个热点，在处理这类问题时，除注意三角公式的合理应用外，要特别注意有关向量的数量积、
13、向量的夹角、向量模的公式的准确使用例 4(2009安徽高考)给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为 120，如右图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动，若OC xOA yOB，其中 x，yR，则 xy 的最大值是_课堂记录 建立如图所示的坐标系，则 A(1,0)，B(cos120，sin120)，即 B12，32.设AOC，则OC(cos，sin)OC xOA yOB(x,0)y2，32 y(cos，sin)，xy2cos，32 ysin，xsin3 cos，y2sin3，xy 3sincos2sin(30)0120，3030150.xy 有最大值 2，当 60
14、时取得最大值 2.思维拓展 本题考查向量的坐标运算，单位圆上的点的设法以及建立目标函数求得最值等知识，求解时，首先应建立直角坐标系即时训练(2010福建省德化一中月考)在ABC 中，ABBC3，SABC 32，3 32，则AB与BC夹角的取值范围是()A4，3 B6，4C6，3 D3，2解析：由ABBC3 得|AB|BC|cosAB，BC3，即得|AB|BC|3cosAB，BC，又 SABC12|AB|BC|sinAB，BC，所以 SABC32tanAB，BC 32，3 32，即得 tanAB，BC 33，3，选 C.答案：C从近两年的高考试题来看，向量的数量积运算、向量的垂直等问题是高考中考
15、查平面向量的热点，既有选择题、填空题，又有解答题，属中低档题目，常与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想例 5(2010福建高考)若点 O 和点 F(2,0)分别为双曲线x2a2y21(a0)的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为()A32 3，)B32 3，)C.74，D.74，解析 a21224，a23，双曲线的方程为x23y21，设 P 点的坐标为(x，y)，则OP(x，y)，FP(x2，y)，OP FPx22xy2.又y2x231，OP FPx22xx23143x22x143x34274.又x 3，是右支上任意一点，O
16、P FP32 3，故选 B.答案 B1(2010全国)已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么PAPB的最小值为()A4 2B3 2C42 2D32 2解析：如右图所示：设 PAPBx(x0)，APO，则APB2，PO 1x2，sin11x2，PAPB|PA|PB|cos2x2(12sin2)x2x21x21 x4x2x21，令PAPBy，则 yx4x2x21，即 x4(1y)x2y0.由 x2 是实数，(1y)241(y)0，y26y10，解得 y32 2或 y32 2.故(PAPB)min32 2.此时 x21.答案：D2(2010辽宁高考)平面上 O、A、B 三点不共线，设OA a，OB b，则OAB 的面积等于()A.|a|2|b|2ab2B.|a|2|b|2ab2C.12|a|2|b|2ab2D.12|a|2|b|2ab2解析：由正弦定理，得 S12|a|b|sinAOB，又 cosAOB ab|a|b|，S12|a|b|1ab|a|b|212|a|2|b|2ab2，故选 C.答案：C
