1、山西省太原市2021届高三数学模拟考试试题（二）文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1已知复数z，则z的共轭复数是（）A1iB1+iCiDi2已知集合Ax|x（x1）0，Bx|x|1，则AB（）A1，1B0，1C1，0，1D13艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（）A中位数B平均数C方差D极差4已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列（即a1a21，an+2an+1+an（nN*）的各项为边长的正方形拼成长方形
2、，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为（）ABCD45在等比数列an中，a1，a2a42a31，则a5（）A2B4C6D86点P（m，m）（m0）是抛物线y22px（p0）上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为3，则p（）A1B2CD67已知函数yf（x）部分图象的大致形状如图所示，则yf（x）的解析式最可能是（）Af（x）Bf（x）Cf（x）Df（x）8已知函数f（x）a2x3x在点（1，f（1）处的切线经过点（2，6），则实数a（）A
3、1B2CD9已知圆M：（xa）2+（yb）23（a，bR）与圆O：x2+y21相交于A，B两点，且|AB|，则下列错误的结论是（）A是定值B四边形OAMB的面积是定值Ca+b的最小值为Dab的最大值为210在直角ABC中，a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，点G是ABC的重心，若AGBG，则cosC（）ABCD11已知三棱锥ABCD中，ABBDDA2，BCCD，BCCD，则当三棱锥ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为（）A48B28C16D2012已知直线x2y+n0（n0）与双曲线1（a0，b0）的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P的坐标为（n，0），若|PA|PB|，则该
4、双曲线的离心率是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设，为单位向量，且|+|，则| 14已知sin+cos，则sin2 15已知点A（1，0）和B（2，m），点M（x，y）是函数ylnx图象上的一个动点，若对于任意的点M（x，y），不等式（其中O是坐标原点）恒成立，则实数m 16已知矩形ABCD中，AB4，AD3，点E是边CD上的动点，将ADE沿AE折起至PAE，使得平面PAB平面ABC，过P作PGAB，垂足为G，则AG的取值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根
5、据要求作答（一）必考题：共60分17如图，在平面四边形ABCD中，BAD45，AB，ABD的面积为（）求BD的长；（）若BCD120，求BC+CD的取值范围182017年国家发改委、住建部发布了生活垃圾分类制度实施方案，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查已知该市这样的社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区（）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值（精确到整数）；（
6、）若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标”社区的个数（）市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重点监控社区中至少有1个垃圾量为16，18的社区的概率19如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，CEDE，EFDB，DB2EF，平面CDE平面ABCD（）求证：平面BCF平面ABCD；（）若直线BE与平面ABCD所成的角为45，求三棱锥ACEF的体积20已知函数f（x）ax+1（aR），g（x）sinx+cosx（）当a1时，证明：不等式
7、f（x）g（x）在0，+）上恒成立；（）若不等式f（x）g（x）在，+）上恒成立，求实数a取值的集合21已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别是点A，B，直线l：x与椭圆C相交于D，E两个不同点，直线DA与直线DB的斜率之积为，ABD的面积为（）求椭圆C的标准方程；（）若点P是直线l：x的一个动点（不在x轴上），直线AP与椭圆C的另一个交点为Q，过P作BQ的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N，使得|MN|为定值，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方
8、框涂黑选修4-4坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）已知点A在曲线C上，且点A到直线l的距离为，求点A的直角坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+m2|+|2xm|（m0）（）当m1时，求不等式f（x）6的解集；（）若f（x）的最小值为，且a+bm（a0，b0），求证：+2参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z，则z的共轭复数是（
9、）A1iB1+iCiDi解：复数z所以它的共轭复数为：1i故选：A2已知集合Ax|x（x1）0，Bx|x|1，则AB（）A1，1B0，1C1，0，1D1解：Ax|x（x1）00，1，Bx|x|11，1，则AB1故选：D3艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（）A中位数B平均数C方差D极差解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故选：A4已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“
10、黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列（即a1a21，an+2an+1+an（nN*）的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为（）ABCD4解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r5+813，对应的弧长l213，故选：C5在等比数列an中，a1，a2a42a31，则a5（）A2B4C6D8解：根据题意，等比数列an中，有a2a4a32，则有
11、a2a4a322a31，解可得a31，又由a1，则a1a5a32，解可得a54，故选：B6点P（m，m）（m0）是抛物线y22px（p0）上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为3，则p（）A1B2CD6解：点P到该抛物线焦点的距离为3，+m3，点P（m，m）（m0）是抛物线y22px（p0）上一点，可得2m22pm，解得p2故选：B7已知函数yf（x）部分图象的大致形状如图所示，则yf（x）的解析式最可能是（）Af（x）Bf（x）Cf（x）Df（x）解：根据题意，由函数yf（x）的图象，其定义域为x|x0，f（x）为奇函数，依次分析选项：对于A，f（x），有exex0，即x0，其定义域为x|x0
12、，且f（x）f（x），函数f（x）为奇函数，符合题意，对于B，f（x），有exex0，即x0，其定义域为x|x0，有f（x）f（x），函数f（x）为偶函数，不符合题意，对于C，f（x），ex+ex0恒成立，其定义域为R，不符合题意，对于D，f（x），ex+ex0恒成立，其定义域为R，不符合题意，故选：A8已知函数f（x）a2x3x在点（1，f（1）处的切线经过点（2，6），则实数a（）A1B2CD解：函数f（x）a2x3x的导数为f（x）3a2x21，可得在点（1，f（1）处的切线的斜率为k3a21，由切线经过点（2，6），可得3a21，解得a故选：D9已知圆M：（xa）2+（yb）23（a，
13、bR）与圆O：x2+y21相交于A，B两点，且|AB|，则下列错误的结论是（）A是定值B四边形OAMB的面积是定值Ca+b的最小值为Dab的最大值为2解：圆M的圆心M（a，b），半径r，则MAB为边长为的等边三角形，：|cos60 ，A正确，：OAOB1，AB，OAB的高h，SABO，SMAB（）2，S四边形OAMB+，B正确，：由知 S四边形OAMBOMAB，OM2，即2，a2+b24，2（a2+b2）（a+b）2，（a+b）28，2a+b2，当且仅当ab时取等号，a+b的最小值为2，C错误，：由得，a2+b242ab，ab2，当且仅当ab时取等号，ab的最大值为2，D正确故选：C10在直角
14、ABC中，a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，点G是ABC的重心，若AGBG，则cosC（）ABCD解：建立平面直角坐标系，如图所示，设BCm，BAn，且m0，n0，由G是RtABC的重心，得G（，）；所以（，），（，），因为AGBG，所以0，解得mn，又（m，n），所以cosACB故选：B11已知三棱锥ABCD中，ABBDDA2，BCCD，BCCD，则当三棱锥ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为（）A48B28C16D20解：BCCD，BCCD，BD2，BCCD，又ABAD，要使三棱锥ABCD的体积最大，则AC平面BCD或平面ABD平面BCD，当AC平面BCD时，三棱锥ABC
15、D的高为，当平面ABD平面BCD时，三棱锥ABCD的高为，故当平面ABD平面BCD时，三棱锥ABCD的体积最大，如图，设ABD的外心为O，则O到B、C、D的距离相等，即O为三棱锥ABCD的外接球的球心，可得外接球半径ROA其外接球的表面积为42216故选：C12已知直线x2y+n0（n0）与双曲线1（a0，b0）的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P的坐标为（n，0），若|PA|PB|，则该双曲线的离心率是（）ABCD解：由题意，双曲线1（a0，b0）的两条渐近线方程为，联立，解得A（，），联立，解得B（，），AB的中点坐标为E（，），|PA|PB|，PE与直线x2y+n0垂直，即，整理得2a
16、23b2，又b2c2a2，解得e故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设，为单位向量，且|+|，则|1解：，故答案为：114已知sin+cos，则sin2解：sin+cos，平方可得 1+2sincos1+sin2，sin2，故答案为：15已知点A（1，0）和B（2，m），点M（x，y）是函数ylnx图象上的一个动点，若对于任意的点M（x，y），不等式（其中O是坐标原点）恒成立，则实数m2解：恒成立，2x+my2，M（x，y）在ylnx上，2x+mlnx20恒成立，设f（x）2x+mlnx2，（x0），当m0时，f（x）单调递增，f（1）0，当0x1时，f（x）0，不合题
17、意，当m0时，f（x）2+，当x时，f（x）0，当0m时，f（x）0，f（x）minf（）2m+mln（）0，即1+ln（）0，令g（m）1+ln（），则g（m）+，当2m0时，g（m）0，当m2时，g（m）0，g（m）g（2）0，又g（m）0，g（m）0，m2故答案为：216已知矩形ABCD中，AB4，AD3，点E是边CD上的动点，将ADE沿AE折起至PAE，使得平面PAB平面ABC，过P作PGAB，垂足为G，则AG的取值范围为，3）解：设AGx，DEy，因为E为CD上的动点，平面PAB平面ABC，因为PGAB，PG平面PAB，AB为平面PAB与平面ABCE的交线，所以PG平面ABCD，所以
18、PGAG，在PAG中，PA3，AGx，所以PG2PA2AG29x2，因为EG29+（yx）2，PEy，PGE中，PG2PE2EG2y29（yx）2，联立可得9x2y29（yx）2，即x，因为3y4，所以x3故AG的范围是，3）故答案为：，3）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17如图，在平面四边形ABCD中，BAD45，AB，ABD的面积为（）求BD的长；（）若BCD120，求BC+CD的取值范围解：（）在ABD中，ABD的面积SABADsinBAD，所以AD1+
19、，由正弦定理可得BD2AB2+AD22ABADcosBAD3，所以BD（）由（）可得BD，设BDC，（060），由BCD120，利用正弦定理可得2，所以BC+CD2sin+sin（60）2sin（+60），因为060，所以sin（+60）1，所以BC+CD2，所以BC+CD的取值范围为（，2182017年国家发改委、住建部发布了生活垃圾分类制度实施方案，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查已知该市这样的社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量
20、绘制的频率分布直方图现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区（）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值（精确到整数）；（）若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标”社区的个数（）市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重点监控社区中至少有1个垃圾量为16，18的社区的概率解：（）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为：4，6），6，8），8，10），10，12），12，14），14，16），16，18）的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，
21、0.12，0.08，估计当天这50个社区垃圾量的平均值为：50.08+70.10+90.20+110.24+130.18+150.12+170.0811.0411（）由（）得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.080.2，这200个社区中“超标”社区的概率为0.2，这200个“超标”社区的个数为2000.240（）由题意得样本中“超标”社区共有50（0.12+0.08）10个，其中垃圾量为14，16）的社区有500.126个，垃圾量为16，18）的社区有500.084个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为14，16）的社区有3个，分别记为a，b，c，按垃圾量为16，18）的社区
22、有2个，分别记为d，e，从中选取2个基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10个，其中所求事件“至少有1个垃圾量为16，18的社区”为：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共7个，重点监控社区中至少有1个垃圾量为16，18的社区的概率为：P0.719如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，CEDE，EFDB，DB2EF，平面CDE平面ABCD（）求证：平面BCF平面ABCD；（）若直线BE与平面ABCD所成的角为45
23、，求三棱锥ACEF的体积解：（）证明：设点G、H分别是CD，CB的中点，连接EG，FH，GH，则GHDB，且DB2GH，因为EFDB，且DB2EF，所以EFGH，且EFGH，所以EFGH是平行四边形，可得FHEG，因为CEDE，所以EGCD，因为平面CDE平面ABCD，所以EG平面ABCD，所以FH平面ABCD，因为FH平面BCF，所以平面BCF平面ABCD；（）连接BG，由（）可得EG平面ABCD，因为直线BE与平面ABCD所成角为45，所以EBG45，所以BGEG，设ACBDO，连接OE，可得OEFB是平行四边形，所以OEBF，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，所以三角形A
24、BD和三角形BCD都是边长为2的等边三角形，所以BG，所以VACEFVFACEVBACEVEABCSABCEGSBCDEG4120已知函数f（x）ax+1（aR），g（x）sinx+cosx（）当a1时，证明：不等式f（x）g（x）在0，+）上恒成立；（）若不等式f（x）g（x）在，+）上恒成立，求实数a取值的集合【解答】（）证明：当a1时，令h（x）f（x）g（x）x+1sinxcosx，xR，则h（x）1cosx+sinx，当0x时，h（x）1cosx+sinx0，所以h（x）在0，）上单调递增，所以h（x）h（0）0，所以f（x）g（x），当x时，h（x）x+1sin（x+）+10，所以
25、f（x）g（x）综上所述，当a1时，不等式f（x）g（x）在0，+）上恒成立（）令t（x）f（x）g（x）ax+1sinxcosx，x，则t（x）acosx+sinx，（1）当x0时，由题意得t（x）0在0，+）上恒成立，因为t（0）0，所以t（0）a10，所以a1，当a1时，由（）得t（x）ax+1sinxcosxx+1sinxcosx0，所以当t0在0，+）上恒成立时a1；（2）当x0时，由题意得t（x）0在，0）上恒成立，因为t（0）0，所以t（0）a10，所以a1，当a1时，t（x）ax+1sinxcosxx+1sinxcosx，由（）得h（x）1cosx+sinx1+sin（x）0，
26、所以h（x）在，0）上单调递减，所以h（x）h（0）0，所以t（x）0，所以当t（x）0在，0）上恒成立时a1综上所述，实数a的取值集合为121已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别是点A，B，直线l：x与椭圆C相交于D，E两个不同点，直线DA与直线DB的斜率之积为，ABD的面积为（）求椭圆C的标准方程；（）若点P是直线l：x的一个动点（不在x轴上），直线AP与椭圆C的另一个交点为Q，过P作BQ的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N，使得|MN|为定值，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：（）设D（，y0），由题意得，椭圆C的方程为（）假设存在这样的点N，设直线PM与x轴相交
27、于点T（x0，0），由题意得TPBQ，设直线AP的方程为：xmy2，点Q（x1，y1），P（，t），由得：（m2+4）y24my0，或y10（舍去），Q（，），t，P（，）TPBQ，（x12）+ty10，x00，直线PM过定点T（0，0），取OB的中点N（1，0），由OMBM可知MOB为直角三角形，|MN|OB|1，存在定点N（1，0），使得|MN|1（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，
28、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）已知点A在曲线C上，且点A到直线l的距离为，求点A的直角坐标解：（）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为直线l的极坐标方程为cos（），根据，转换为直角坐标方程为xy10（）由于（）得：曲线C的参数方程为（为参数），利用点A（）到直线l的距离公式：d，整理得或2，所以，当cos时，A（），当cos时，A（）选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+m2|+|2xm|（m0）（）当m1时，求不等式f（x）6的解集；（）若f（x）的最小值为，且a+bm（a0，b0），求证：+2解：（）当m1时，原不等式为|x+1|+|2x1|6，即或或，解得2x1或或，原不等式的解集为2，2；（）证明：由题意可得，m1或（舍去），a+b1，令，当时，取等号