1、广西岑溪市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合 ， ，则 （ ） A.B.C.D.2.在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ） A.B.C.D.3.已知函数 ，则 （ ） A.0B.C.1D.34.已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 的值为（ ） A.B.C.D.5.下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ） A.B.C.D.6.某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列
2、结论中正确的是（ ） A.景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98B.景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283C.记景区B这七年的空气质量优良天数的众数为 ，平均分为 ，则 D.分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为 ， ，则 7.曲线 上的点到直线 的最大距离为（ ） A.10B.11C.12D.138.执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ） A.10B.15C.20D.259.比较 ， ， 的大小（ ） A.B.C.D.10.把函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 的图象，则（ ） A.B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直
3、线 对称D. 在 上单调递减11.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 ，则 等于（ ）. A.B.-1C.D.112.已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则当函数 在 有零点时，关于其零点之和有以下阐述： 零点之和为 ；零点之和为 ；零点之和为 ；零点之和为 .其中结果有可能成立的是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量 ， ，且 ，则 _. 14.若扇形的圆心角为60，半径为2，则扇形的面积为_ 15.如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为1个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大
4、铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_. 16.已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足 ，则 的值是_. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知函数 ，且 . （1）求 的值. （2）当 时，函数 的最小值. 18.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 . （1）求频率分布直方图中 的值； （2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率： （3）从评分在 的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在 的概率. 19.如图，四
5、棱锥 的底面是边长为2的菱形， 底面 . （1）求证： 平面 ； （2）若 ，直线PB与平面ABCD所成的角为45，求四棱锥 的体积. 20.一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速x（转/秒）1615129每小时生产有缺陷的零件数y（件）10985通过观察散点图，发现y与x有线性相关关系：（参考：回归直线方程为，其中，）（1）求y关于x的回归直线方程：（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内? 21.某公司对
6、两种产品A，B的分析如下表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且 .另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交万元的附加税.假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产.（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润，（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域：（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润? 22.
7、已知函数 ， 满足关系 . （1）设 ，求 的解析式： （2）当 时，存在 ，对任意 ， 恒成立，求 的最小值. 答案解析部分一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合 ， ，则 （ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解：由交集的定义得AB=1,2， 故答案为：A 【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：根据几何概型，结合题意得所求概率为. 故答案为：C 【分析】根据几何概型的定义直接求解即可.3.已知函数
8、，则 （ ） A.0B.C.1D.3【答案】 C 【考点】有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质，分段函数的应用 【解析】【解答】解：由题意得f(1)=log21=0，则ff(1)=f(0)=30=1. 故答案为：C 【分析】根据分段函数的定义，结合对数式、指数式的运算求解即可.4.已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 的值为（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】任意角三角函数的定义，诱导公式 【解析】【解答】因为点 是角 的终边与单位圆交点, ， = 。 【分析】利用三角函数的定义结合已知条件角 的终边与单位圆交于点 ，从而求出r的值，再利用诱导公式，从而求出 的值。5.下列函数中，既
9、是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】函数奇偶性的判断，三角函数的周期性及其求法 【解析】【解答】解：对于A，因为f(-x)=cos(-2x)=cos2x=f(x)，所以f(x)=cos2x是偶函数，故A错误； 对于B，因为f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x)，所以f(x)=sin2x是奇函数，且f(x)=sin2x的周期为 ， 故B正确； 对于C，因为f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=-sinx+cosx，所以f(x)=sinx+cosx为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，f(x)=tan2x的周期为 ， 故D错误. 故答案
10、为：B 【分析】根据函数的奇偶性，结合三角函数的周期求解即可.6.某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（ ） A.景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98B.景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283C.记景区B这七年的空气质量优良天数的众数为 ，平均分为 ，则 D.分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为 ， ，则 【答案】 D 【考点】频率分布折线图、密度曲线，众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答】解：A项，景区A空气质量优
11、良天数的最大值为313，最小值为203, 所以景区A空气质量优良天数的极差为313- 203 = 110，故A项结论错误； B项，根据中位数的定义可知，景区B空气质量优良天数的中位数为266，故B项结论错误； C项，根据众数的定义可知，景区A空气质量优良天数的众数为m1=254，景区B空气质量优良天数的众数为m2=262，所以m1s2 故答案为：D 【分析】根据极差的定义，结合折线图可判断A；根据中位数的定义，结合折线图可判断B；根据众数的定义，结合折线图可判断C； 根据方差的定义，结合折线图可判断D.7.曲线 上的点到直线 的最大距离为（ ） A.10B.11C.12D.13【答案】 B 【
12、考点】点到直线的距离公式，圆的标准方程 【解析】【解答】解：由 得(x-1)2+(y+2)2=52 则圆的圆心为（1，-2），R=5 则圆心到直线3x-4y+19=0的距离为 则圆上的点到直线3x-4y+19=0的最大距离为d+R=6+5=11 故答案为：B 【分析】根据圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求解即可.8.执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ） A.10B.15C.20D.25【答案】 C 【考点】程序框图 【解析】【解答】第一次执行程序 ， ； 第二次执行程序 ， ；第三次执行程序 ， ；第四次执行程序 ， ，跳出循环输出 ，故输出的 .故答案为：C 【分析】根据题意由程序框
13、图的循环，代入数值验证即可得出满足题意的输出值.9.比较 ， ， 的大小（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ， ， ，则 。故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数与对数的大小关系比较，从而比较出a,b,c的大小。10.把函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 的图象，则（ ） A.B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线 对称D. 在 上单调递减【答案】 D 【考点】正弦函数的图象，正弦函数的单
14、调性，函数y=Asin（x+）的图象变换，正弦函数的周期性 【解析】【解答】将函数 图象向左平移 个单位长度得到 的图象，再向上平移1个单位长度可得到 的图象，A不符合题意. ，B不符合题意；令 ，得 ，当 时， ；当 时， ，C不符合题意.令 ， ，所以 在 上单调递减，D符合题意.故答案为：D. 【分析】根据题意由函数平移的性质整理即可得到函数的解析式，由此判断出选项A错误；结合正弦函数的周期公式就可求出周期值，由此判断出选项B错误；由正弦函数的图象即可判断出选项C错误，选项D正确，由此得出答案即可。11.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 ，则 等于（ ）
15、. A.B.-1C.D.1【答案】 A 【考点】向量加减混合运算及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】解：由题意得， ， 则. 故答案为：A 【分析】根据向量的线性运算求解即可.12.已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则当函数 在 有零点时，关于其零点之和有以下阐述： 零点之和为 ；零点之和为 ；零点之和为 ；零点之和为 .其中结果有可能成立的是（ ）A.B.C.D.【答案】 D 【考点】奇偶函数图象的对称性，正弦函数的图象，函数的零点 【解析】【解答】解： 定义在上的函数满足 函数的图象关于对称 函数 的图象也关于对称 若f(x)-
16、a=0，则 若零点之和为 ， 则 ， ， 而当时，f(x)=a矛盾，故不成立； 若零点之和为 ， 则f(x)-a=0在上有唯一零点，且 作出函数 在上的图象，如图， 由图可知，当即可，故正确； 若零点之和为 ， 则f(x)-a=0在上有唯一零点，且 ， 则即可，故正确； 若零点之和为，则f(x)-a=0在上有2个零点，且 ， 由图可知，当即可，故正确； 故答案为：D 【分析】根据函数的对称性和函数零点的定义，结合正弦曲线的性质，运用数形结合思想求解即可.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量 ， ，且 ，则 _. 【答案】【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解
17、析】【解答】解： x4+35=0 解得 故答案为： 【分析】根据向量垂直的充要条件求解即可.14.若扇形的圆心角为60，半径为2，则扇形的面积为_ 【答案】【考点】扇形的弧长与面积 【解析】【解答】解：S扇形= =. 故答案为：. 【分析】根据扇形面积直接求解即可.15.如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为1个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_. 【答案】 16 【考点】由三视图求面积、体积，球的体积和表面积 【解析】【解答】解：由三视图可知，该铁质几何体是由一个半径为1的小铁球和一个底面半径为2，高为7的铁
18、质圆锥体拼接而成， 体积之和为 设制成的大铁球半径为R，则由得R=2 则大铁球的表面积为S=4R2=16 故答案为：16 【分析】根据三视图还原原几何体，结合球的体积与表面积公式，以及圆锥的体积公式求解即可.16.已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足 ，则 的值是_. 【答案】【考点】向量的线性运算性质及几何意义，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用 【解析】【解答】解：A,B,C三点共线，且 cos+cos2=1 cos2=1-cos，cos=1-cos2=sin2， sin6=(sin2)3=(cos)3=cos(1-cos)=cos-cos2=co
19、s-(1-cos)=2cos-1 sin2+sin4+sin6=cos+cos2+2cos-1=cos+1-cos+2cos-1=2cos 又由cos=1-cos2得cos2+cos-1=0，解得或（舍去） 则原式=2cos= 故答案为： 【分析】根据三点共线的充要条件，结合同角三角函数的基本关系求解即可三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知函数 ，且 . （1）求 的值. （2）当 时，函数 的最小值. 【答案】 （1）解： 且 ， （2）解：由（1）知： ，当 时， ， 当 ，即 时， 【考点】正弦函数的定义域和值域，任意角三角函数的定义 【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数
20、的定义直接求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可.18.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 . （1）求频率分布直方图中 的值； （2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率： （3）从评分在 的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在 的概率. 【答案】 （1）解： 解得 （2）解：由频率分布直方图易知：50名受访学生评分不低于70的频率为 ， 故该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为 （3）解：受访学生评分在 的有 人，依次为 、 、 ，受访学
21、生评分在 的有 人，依次为 、 ， 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，因为所抽取2人的评分都在 的结果有3种，依次为 、 、 .所以此2人评分都在 的概率 【考点】频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式 【解析】【分析】（1）根据直方图的性质求解即可； （2）根据直方图的性质，结合（1）的结论求解即可； （3）根据古典概型的定义，运用列举法求解即可.19.如图，四棱锥 的底面是边长为2的菱形， 底面 . （1）求证： 平面 ； （2）若 ，直线PB与平面ABCD所成的角为45，求四棱锥 的体积. 【答案】 （1）证明：因
22、为四边形ABCD是菱形，所以ACBD， 又因为PD平面ABCD， 平面ABCD，所以PDAC，又 ，AC平面PBD（2）解：因为PD平面ABCD，所以PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是PBD=45， 因此BD=PD=2.又AB=AD=2，所以菱形ABCD的面积为 .故四棱锥 的体积 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的性质定理与判定定理求解即可； （2）根据直线与平面所成角的定义，结合棱锥的体积公式求解即可.20.一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零
23、件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速x（转/秒）1615129每小时生产有缺陷的零件数y（件）10985通过观察散点图，发现y与x有线性相关关系：（参考：回归直线方程为，其中，）（1）求y关于x的回归直线方程：（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内? 【答案】 （1）解：由题意知， ， 所以 则 ，即 关于 的回归直线方程为 （2）解：由 可得 ， 解得 ，所以机器的运转速度应控制在16转/秒内.【考点】线性回归方程 【解析】【分析】（1）根据回归直线方程的定义和几何特征，
24、分别求得即可求解； （2）根据回归直线方程的意义，结合（1）直接求解即可.21.某公司对两种产品A，B的分析如下表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且 .另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交万元的附加税.假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产.（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润，（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域：（2）分别求出投资生产这两种产品的最
25、大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润? 【答案】 （1）解： ，其中 ，其中 （2）解： ， ， 在定义域上是增函数 当 时， 又 ，当 时， 当 时，即 时，投资A产品可获得最大年利润当 时，即 时，投资A或B产品可获得最大年利润当 时，即 时，投资B产品可获得最大年利润【考点】一次函数的性质与图象，二次函数的性质，函数模型的选择与应用 【解析】【分析】（1）结合题意分别建立适当的函数模型即可； （2）根据一次函数、二次函数的单调性，结合作差法，运用分类讨论思想求解即可.22.已知函数 ， 满足关系 . （1）设 ，求 的解析式： （2）当 时，存在 ，对任意 ， 恒成立，求 的最小值. 【答案】 （1）解：当 ，可得 .因此，函数 的解析式为 （2）解： 时，可得 ， 存在 、 ，对任意 ， 恒成立，当 或 时，可得 ；当 时，可得 .那么： ，或者： ，因此， 的最小值为 【考点】二倍角的余弦公式，正弦函数的定义域和值域，余弦函数的定义域和值域，运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】（1）根据三角函数的诱导公式与二倍角公式即可求解； （2）根据正弦函数、余弦函数的性质，及分段函数的定义求解即可.
