1、1重庆八中高 2020 级高三（下）第五次月考数学（理科）本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则中元素的个数为A.B.C.D.2.已知复数（其中 为虚数单位），则的虚部为A.B.C.D.3.若，则A.B.C.D.4.在中，已知，则的面积为A.B.C.D.5.下面几种推理中是演绎推理的为A.高三年级有 30 个班，1 班 55 人，2 班 56 人，三班 57 人，由此推测各班都超过 55 人B.猜想数列，的通项公式为C.半径为的圆的面积，则单位圆的面积D.
2、由等差数列的性质，推测等比数列的性质6.执行下面的程序框图，为使输出的值小于，则输入的正整数的值不可能为A.B.C.D.7.某几何体的三视图如上图所示，其中网格纸上的小正方形的边长为，则该几何体的体积为A.B.C.D.28.已知展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的系数和为A.B.C.D.9.已知为锐角，则A.B.C.D.10.某市政府为加强数学科学研究，计划逐年加大研发资金投入.已知市政府 1979 年全年投入研发资金 100 万元，2019 年全年投入研发资金 500 万元，若每年投入的研发资金的增长率相同，则该市政府 2020 年全年投入的研发资金约为（）万元.（本题中增长率，可
3、用自然对数的近似公式:，参考数据：）A.B.C.D.11.已知实数满足，则的最大值为A.B.C.D.12.如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成在翻折过程中，直线与平面所成角的正弦值最大为A.B.C.D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13.函数的定义域为14.如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分（均为整数）,其中一个数字模糊不清,则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为15.已知正的边长为，为内切圆的一条直径，为边上的动点，则的取值范围为16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的左、右焦点，则的最大值为三、解答题：本大
4、题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求做答.（一）必考题：共 60 分.17.（本小题满分 12 分）设数列的前项和为，已知，（）求通项公式；（）设，数列的前项和为，求证：318.（本小题满分 12 分）重庆八中为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛经过初赛、复赛，高二年级代表队和高一年级代表队（每队3 人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得分，答错得分假设高二年级代表队中每人答对的概率均为，高一年级代表队中人答对的概率分别为，且各
5、人回答正确与否相互之间没有影响，用表示高一年级代表队的总得分（）求的分布列和数学期望；（）求两队总得分之和等于分且高二年级获胜的概率19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点（）求证：平面；（）求二面角的平面角的余弦值20.（本小题满分 12 分）设函数，若（其中）（）求实数 的取值范围；（）证明：421.（本 小 题 满 分 12 分）已 知 点为 抛 物 线的 焦 点 点在上，点在轴上（位于点右侧），直线分别交于另一点，点在线段上且（）求抛物线的方程；（）设的面积分别为，求的表达式及的取值范围（二）选考题：共 10 分.请考生在 22，23 题中
6、任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为（）写出曲线的极坐标方程；（）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围23.（本小题满分 10 分）已知函数（）求不等式的解集；（）若方程有三个实数根，求实数的取值范围5重庆八中高 2020 级高三（下）第五次月考理科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案CBAACBBACBBA1.解：2.解：，其虚部为3.解：由均值不等式，又4.解：由正弦定理得5.解
7、：A,B,C 为合情推理6.解：所以，当时，时终止循环，输出，不小于，不符合题意7.解：该几何体为，所以8.解：由题意9.解：由为锐角，知10.解:由题意，则，则2020年全年投入资金为万元11.解：设表 示 圆上 一 动 点，则表 示 点到 直 线6的距离，表示点到原点的距离.又直线与圆相切，记切点为，则.12.解：分别取的中点，易得点的轨迹是以为直径的圆，建系如图，则，平面的其中一个法向量为，由，设，则.记直线与平面所成角为，则，令，所以直线与平面所成角的正弦值最大为二、填空题：题号13141516答案13.解：或，定义域为；注：必须写出集合形式14.解：设模糊不清的数字为，甲的平均分高于
8、乙的平均分等价于甲的总分高于乙的总分，所以，所以15.解：易得圆的半径当为正边的中点是最小为，当为正的顶点时最大为，故的取值范围为.16.解：设的外接圆半径为，由正弦定理得.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤717.解：（），得，当时，两式相减得，即，当时，满足，.5 分，则数列是公比的等比数列，则通项公式.6 分（）.9 分所以.12 分18.解：（）由题意知，的可能取值为，由于高一年级代表队中人答对的概率分别为，的分布列为：0100200300.7 分（）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”，表示“甲队得分等于乙队得分等于”，可知、互斥又，则甲
9、、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率为.12 分19.解：（）证明：连结和交于，连结，（2 分）为正方形，为中点，又为中点，（4 分）平面，平面，平面（5 分）（）解：平面，平面，为正方形，平面，平面，8过作，则平面（7 分）以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，则，设平面的法向量为，由，（9 分）同理可得平面的法向量（10 分）由得二面角的平面角的余弦值为（12 分）20.（）的定义域为，.2 分所以当时，单调递减；当时，单调递减；当时，单调递增.3 分又当时，；当时，且当且时，；当时，.因为，所以.5 分（）法一：，欲证，即证.6 分即证，即证.8 分令（）即证：.9 分令（）
10、9，在递增，证毕.12 分法二：由（1）易得：，.7 分故，欲证：，即证：即证：，即证：.8 分，即：，.9 分令（），即证：.10 分即证：，即证：，令，在递增，证毕.12 分21.解：（）由点在上得：4 分（）点，则直线，联立得从而，则点，由可知点为的重心，则，即，6 分则直线的方程为令可得，由可得8 分且10则10 分令，则，12 分22.解：（）由（为参数）消去参数得，将的直角坐标方程化为极坐标方程得.5 分（）设，由与联立可得，所以，则，用代替，可得，又因为，所以，因为，所以.10 分23.解：（）或或，解得.5 分（）方程有三个实数根，令，则11，作出的图象如图所示，由的图象可知，即.10 分
