1、典型例题一例1 解不等式分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论解：令， ，令，如图所示（1）当时原不等式化为与条件矛盾，无解（2）当时，原不等式化为 ，故（3）当时，原不等式化为，故综上，原不等式的解为说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏典型例题二例2 求使不等式有解的的取值范围分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解
2、十分简便解法一：将数轴分为三个区间当时，原不等式变为有解的条件为，即；当时，得，即；当时，得，即，有解的条件为 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为解法二：设数，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式的意义是P到A、B的距离之和小于因为，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即，故当时，有解典型例题三例3 已知，求证分析：根据条件凑证明：说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法典型例题四例4 求证 分析：使用分析法证明 ，只需证明，两边同除，即只需证明，即 当时，；当时，原不等式显然成立原不等式成立说明：在绝对值不等
3、式的证明，常用分析法本例也可以一开始就用定理：（1）如果，则，原不等式显然成立（2）如果，则，利用不等式的传递性知，原不等式也成立典型例题五例5 求证分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明证明：设定义域为，且，分别在区间，区间上是增函数又，即原不等式成立说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：，错误在不能保证，绝对值不等式在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构典型例题六例6 关于实数的不等式与的解集依次为与，求使的的取值范围分析：分
4、别求出集合、，然后再分类讨论解：解不等式，解不等式，当时（即时），得当时（即时），得当时，要满足，必须故；当时，要满足，必须所以的取值范围是说明：在求满足条件的时，要注意关于的不等式组中有没有等号，否则会导致误解典型例题七例6 已知数列通项公式对于正整数、，当时，求证：分析：已知数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决证明：说明：是以为首项，以为公比，共有项的等比数列的和，误认为共有项是常见错误正余弦函数的值域，即，是解本题的关键本题把不等式、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目如果将本题中的正弦改为余弦，不
5、等式同样成立典型例题八例8 已知，求证：分析：本题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对条件的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用，替出；(3)用绝对值的性质进行替换证明：，即说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用典型例题九例9 不等式组的解集是（）A B C D分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，又，解原不等式组实为解不等式（）解法一：不等式两边平方得：，即，又选C解法二：，可分成两种情况讨论：(1)当时，不等式组化为（）解得(2)当时，
6、不等式组可化为（），解得综合(1)、(2)得，原不等式组的解为，选C说明：本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号当然本题还可用特殊值排除法求解典型例题十例10 设二次函数(，且)，已知，当时，证明分析：从知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从且，知，要求证的是，所以抛物线的顶点一定在轴下方，取绝对值后，图像翻到轴上方因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在证明： ，又，又，而的图像为开口向上的抛物线，且，的最大值应在，或处取得，说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数，的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在范围内的最大值
