1、空间向量的运算及应用一、选择题1(2021广西柳州高三期末)向量a(2,4,5)，向量b(1,2，t)，若ab，则实数t()A B1 C2 DC因为向量a(2,4,5)，向量b(1,2，t)，若ab，则ab21425t0，解得t2，故选C2(2021浙江镇海中学高三期末)已知空间三点A(2,0,8)，P(m，m，m)，B(4，4,6)，若向量与的夹角为60，则实数m()A1 B2 C1 D2BA(2,0,8)，P(m，m，m)，B(4，4,6)，(2m，m,8m)，(4m，4m,6m)，由题意有cos 60，即3m212m40，整理得m24m40，解得m23若平面，的一个法向量分别为m，n(2
2、，3,0)，则()ABC与相交但不垂直D或与重合Bmn2(3)(1)00，mn，故B正确，C不正确；不存在，使得mn，则A, D均不正确4对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有623，则()AO，A，B，C四点共面 BP，A，B，C四点共面CO，P，B，C四点共面 DO，P，A，B，C五点共面B由623，得2()3()，即23，故，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B5已知a，b，如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，c，则用向量a，b，c可表示向量为()Aabc BabcCabc DabcD在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，abc6(2021重庆南开
3、中学高三期末)如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，其中AD2AB，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD()A11 B12C15 D17D以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设AB1，则AD2，设APa，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，E，P(0,0，a)，设F(0，y,0)，则，(1，y,0)，因为BFPE，所以0，所以2y0，解得y，所以F，所以AF，则FD2，所以AFFD17，故选D二、填空题7在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点D满足 ，则| 2因为三棱柱ABCA1B
4、1C1是正三棱柱，所以AA1平面ABC，且ABC为等边三角形，如图建立以A为原点，AC所在的直线为y轴，过点A垂直于AC的直线为x轴，AA1所在的直线为z轴的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，A1(0,0,2)，C(0,2,0)，(，1,0)，(0,0,2)，所以(，1,2)，即D，所以|28已知a(4，2,6)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则 因为a，b，c三向量共面，所以存在m，nR，使得cmanb，则c(7,5，)(4mn，2m4n,6m2n)，即解得9已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,
5、2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的是 0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误三、解答题10如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：BC平面BDE证明平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，ADED，ED平面ADEF，ED平面ABCD以D为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2
6、,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)(1)M为EC的中点，M(0,2,1)，则(2,0,1)，(2,0,0)，(0,0,2)，故，共面又BM平面ADEF，BM平面ADEF(2)(2,2,0)，(2,2,0)，(0,0,2)，440，BCDB又0，BCDE又DEDBD，DB，DE平面BDE，BC平面BDE11如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N，H分别是A1B1，AA1，B1C1的中点(1)求向量的模；(2)点P是线段AA1上一点，且，求证：A1B平面C1MP解由题意，CA，CB，CC1两两垂直，以C为原点，如图建
7、立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0，0)，A1(1,0,2)，B1(0,1，2)，C1(0,0,2)(1)因为N，H分别为A1A，B1C1中点，因此H，N(1,0,1)，即，|(2)证明：由题意得P，M，设平面C1MP的法向量为n(x，y，z)，则令x1，y1，z2n(1，1,2)，又(1,1，2)n，A1B平面C1MP1如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1AD，BADDAA160，BAA130，N为A1D1上一点，且A1NA1D1(1)若BDAN，则的值为 ；(2)若M为棱DD1的中点，BM平面AB1N，则的值为 (1)1(2)(1)
8、取空间中一组基底：a，b，c，因为BDAN，所以0因为ba，cb，所以(ba)(cb)0，所以0，所以1(2)在AD上取一点M1使得A1NAM1，连接M1N，M1M，M1B，因为A1NAM1且A1NAM1，所以四边形AA1NM1为平行四边形，又AA1BB1，所以M1NB1B，所以四边形NM1BB1为平行四边形，所以NB1M1B，NB1M1B，又因为M1B平面AB1N，NB1平面AB1N，所以M1B平面AB1N，又因为BM平面AB1N，且BMM1BB，所以平面M1MB平面AB1N，所以MM1平面AB1N又因为 平面AA1D1D平面AB1NAN，且MM1平面AA1D1D，所以M1MAN，所以AA1
9、NMDM1，所以2，所以2如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则BD的长为 2或AB与CD成60角，60或120又ABACCD1，ACCD，ACAB，|，|2或BD的长为2或3(2021黑龙江哈师大附中高三三模)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，PDAB2BC4，E，F是棱PC，PB上的点，3，2(1)求证：AF平面BDE；(2)棱PA上是否存在点M，使CM平面BDE？若存在，求出的值；不存在，请说明理由解(1)证明：PD平面ABCD，AD，CD平面ABCD，PDAD，PDCD，在矩形ABCD中，ADCD，DA，DC，DP三条线两两垂直，如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，3，E(0,3,1)；2，(2,0,4)，设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，由得取n(2,1，3)，n40，n，又AF平面BDE，AF平面BDE(2)假设存在M满足 (01)，使CM平面BDE，(2，4,0)(2,0,4)(22，4,4)，若CM平面BDE，则n，即，故不存在满足条件的点M
