1、山西省大同市云冈区2020届高三数学一模考试试题 文（含解析）一、选择题1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可以求出集合A，B，根据交集定义，即可求得答案.【详解】.故选：C.【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2.已知i是虚数单位，则的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则化简，求出复数，进而求得其共轭复数，从而求得结果.【详解】，的共轭复数是.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题，解题关键是掌握复数的除法
2、运算法则和共轭复数满足的条件是实部相等，虚部互为相反数，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3.已知向量，若，则实数m的值为（ ）A. B. 4C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】先求出向量，再根据共线定理列方程求出的值，即可求得答案.【详解】向量，又，解得：.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据共线定理求参数，解题关键是掌握向量基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4.已知等差数列满足，则（ ）A B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】由题知，即，得，解得故本题答案选点睛：本题主要考查等差数列的通项公式.等差数列的通项公式及前 项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外
3、两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.5.若在区间上随机地取一个数，则“”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由，解得范围，利用几何概率计算公式，即可求得答案.【详解】，解得：.在区间上随机地取一个数，“”的概率为：故选：B.【点睛】本题主要考查了考查求解对数不等式和几何概率，解题关键是掌握对数基础知识和几何概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已
4、知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得：故选：C.【点睛】本题主要考查了利用循环结构计算输出变量和数列求和，解题关键是掌握“裂项相消”求数列和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积，即可求得答案.【详解】由题意可知，几何体是球的，球的半径为，几何体的表面积为：.故选：D
5、.【点睛】本题考查根据三视图求几何体的表面积，解题关键是掌握三视图的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.已知函数，则函数的零点的个数为（ ）A. 3B. 2C. 4D. 1【答案】A【解析】【分析】根据数图象是将函数先关于轴对称，再将图象向右移动一个单位得到的，数形结合，即可求得答案.【详解】函数图象是将函数先关于轴对称，再将图象向右移动一个单位得到，作出图象如图：根据图象可知，共有3个零点，故选：A【点睛】该题考查的是有关分段函数的零点个数的问题，涉及到的知识点有函数零点的定义，分段函数的零点个数的求解，注意要分段考虑，注意其范围，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.已
6、知函数的最小正周期为，若，则函数图象的对称轴方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知，求出的值，得到函数的解析式，结合正弦函数的对称性，可得答案.【详解】函数的最小正周期为，的图象经过点.可得，或，故，由，得：，故选：C.【点睛】本题主要考查了求三角函数图象对称轴，解题关键是掌握三角函数图象基础知识和整体法求三角函数图象对称轴，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.函数在区间上图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出的值，排除A，进而可得求出，比较三个数值的大小，即可求得答案.【详解】根据题意，函数，有，排除A，又由，
7、排除C、D，故只有B符合题意故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题掌握函数图象基础知识和灵活使用特殊值法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11.已知双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线上存在点使，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先设，由题意知是直角三角形，利用，求出，根据双曲线的定义求得，之间的关系，则双曲线的离心率可得，即可求得答案.【详解】设，由于，则是直角三角形，根据，则，.故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线离心率定义和向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.12.定义在上
8、的单调函数对任意的都有，则不等式的解集为（ ）A. 或B. C. D. 【答案】A【解析】令，则，所以，又因为，所以，解得，可得，所以是增函数，由，则，所以，解得故本题选二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为数列的前项和，若，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】当时，推导出，从而数列是从第二项起，公比为的等比数列，进而能求出数列的通项公式，即可求得答案.【详解】为数列的前项和，时，得：，数列的通项公式为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求数列通项公式，解题关键是掌握等比数列通向公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14.若直线交抛物线、函数的图象分别于两
9、点，则线段长的最小值是_.【答案】【解析】【分析】分别联立与，分别求出坐标，则可表示，构造函数，利用导数即可求出最小值，即可求得答案.【详解】联立，得；联立，得，函数图象始终在图象上方，令，则，解得，当时单调递减，当时，单调递增，最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数图象上两点距离最小值，解题关键是掌握构造函数的方法和导数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.15.若实数x，y满足不等式组，则的最大值是_.【答案】256.【解析】【分析】由题意作出其平面区域，令化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得的最大值，进而求出结论【详解】实数满足不等式组作出不等式组对应的平面区域
10、如图：（阴影部分）.令得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大.由，解得，即，代入得.即目标函数的最大值是.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解.16.已知抛物线的焦点为，其准线交轴于点，过点的直线交该抛物线于两点，若，则_.【答案】8.【解析】【分析】设直线的方程与抛物线联立求出两根之积，若，可得，可得B的坐标，进而求出A的坐标，由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得结论.【详解】由抛物线
11、的方程可得：焦点，准线方程为，的坐标.由抛物线的对称性，假设直线的斜率大于，设直线AB的方程为：，设，在轴上方，即，联立直线与抛物线的方程可得：，消掉可得：，若，可得，即，即，故，可得，代入可得由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得：；故答案为：.【点睛】本题解题关键是掌握抛物线基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.
12、17.已知在中，角的对边分别为，.（1）求的值；（2）若，求外接圆的半径.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因为，由正弦定理得：，再利用余弦定理求出，进而求出，又结合条件，求出，再利用求出，即可求得答案.；（2）设外接圆的半径为，利用正弦定理，即可求出外接圆的半径.【详解】（1），由正弦定理得：，又又，；（2）设外接圆的半径为，由正弦定理得：外接圆的半径为.【点睛】解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，掌握余弦的两角和公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，平面，E，F分别为AB，PD的中点.（1）求证：平面PEC；（2）求点D到平
13、面PEC的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连结，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面，即可求得答案；（2）设点到平面的距离为h.由，能求出点到平面的距离，即可求得答案.【详解】（1）取中点，连结，底面四边形ABCD是菱形，平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点.且，四边形AEMF是平行四边形，平面PEC，平面PEC，平面PEC.（2）底面四边形ABCD是菱形，平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点.，设点D到平面PEC的距离为h.，解得.点D到平面PEC的距离为.【点睛】本题主要考查了求证线面平行和求点到面的距离，解题关键是掌握线面平行判断定
14、理和点到面距离的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19.已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：男生平均每天运动的时间人数212231810x女生平均每天运动的时间人数51218103y（1）求实数的值；（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用分层抽样求出样本个数，再根据题意，求出，即可求得答案；（2）根据古典概型
15、概率公式，即可求得答案.【详解】（1）男生14000人，女生10000人，男数女数，故男生抽取了人，女生抽取了50人，由，；（2）从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中，有男生2，女生5人，共有7人设男生为,女生为：随机抽取2人不相同的情况有：,总共有种选法性别不同的(即一男生一女生)有：，共种选法，随机抽取人，“被抽取的人性别不相同”的事件为，故.【点睛】本题主要考查了分层抽样和求事件的概率，解题关键是掌握分层抽样的基础知识和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20.已知圆的圆心坐标为，直线被圆C截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若过点作斜率为的直线
16、交圆于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率乘积满足，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求得半径，则圆的方程可求，即可求得答案；（2）联立直线方程与圆的方程，利用斜率公式及根与系数的关系列式求解，则直线方程可求，即可求得答案.【详解】（1）圆心到直线的距离，直线被圆C截得的弦长为，则圆的半径r满足.圆C的方程为；（2）直线的方程为，联立，得，直线与圆交于，两点，则恒成立.设，根据韦达定理：，则，则，解得，即.直线的方程为：.【点睛】本题主要考查了根据圆的弦长求圆的方程和求直线方程，解题关键是掌握圆的基础知识和圆与直线交点问
17、题时,通常用直线和圆联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）若函数在处取得极值，求实数的取值范围；（2）当时，若存在，且，使得当时的值域是，求实数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求函数的极值点，结合已知即可求解；（2）结合（1）中的单调性的讨论，可把问题转化为在上至少有2个不同实数根，代入整理分离参数可得，构造函数，结合导数及函数的性质可求.【详解】（1）函数的定义域，当时，恒成立，函数在上单调递减，没有极值；当时，时，函数单调递增，时，函数单调递
18、减，故当时，函数取得极小值，由题意可得，（2）当时，由（1）可知，在上单调递增，而存在，在上单调递增，结合的值域是可得，其中，则在上至少有个不同实数根，由，可得，令，则，令，则，故在上单调递增，即在上单调递增，而，当时，单调递减，当时，单调递增，时，故有，即，故的范围.【点睛】本题解题关键是掌握根据极值求参数范围的解法和构造函数，结合导数及函数的性质求参数范围的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数）.（1）求曲线
19、的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程是.若点在曲线上，点在直线上，求线段长的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，即可求得答案；（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果，即可求得答案.【详解】（1）曲线C的参数方程为（是参数）.转换为直角坐标方程为：.（2）直线l的极坐标方程是转换为直角坐标方程为，利用圆心到直线的距离：，.【点睛】本题主要考查了将直线参数方程化为直角坐标方程和圆上的点到直线的最短距离，解题关键是掌握参数方程化为直角坐标方程方法和点到直
20、线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的方程有无数个实数根，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）直接利用零点讨论法的应用求出结果，即可求得答案.（2）直接利用函数的图象和方程，函数的转换的应用求出结果，即可求得答案.【详解】（1）函数不等式，令，解得，令，解得.当时，不等式转换为，故解集为.当时，解得，故解集为.当时，故解集为.由得：不等式的解集为.（2）函数，根据函数的图象，和函数的图象得：如图所示：关于的方程有无数个实数根，或.【点睛】本题主要考查了求解带绝对值不等式和根据方程无实根求参数范围，解题关键是掌握讨论法求解绝对值不等式方法和利用函数的图象求解方程根的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
