1、考点规范练45直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固1.已知圆:(x-1)2+y2=2,则过该圆上的点(2,1)作圆的切线方程为()A.x+y-3=0B.2x+y-5=0C.x=2D.x-y-1=0答案:A解析:由题意可得圆心坐标为(1,0),根据斜率公式可得圆心(1,0)与(2,1)连线的斜率为1-02-1=1,故过该圆上的点(2,1)的切线斜率为-1,因此过该圆上的点(2,1)的切线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.2.已知直线x-y+22=0与圆x2+y2-2x-2y+m=0有公共点,则实数m的取值范围是()A.(-,1B.1,+)C.(-,-2D.-2,+)答案:C解析:由x2
2、+y2-2x-2y+m=0,得(x-1)2+(y-1)2=2-m(m2),则圆心坐标为(1,1),半径为r=2-m(m2).圆心(1,1)到直线x-y+22=0的距离d=|1-1+22|2=2,要使直线x-y+22=0与圆x2+y2-2x-2y+m=0有公共点,则dr,即22-m,解得m-2.因此m的取值范围是(-,-2.故选C.3.已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.42C.6D.210答案:C解析:依题意,直线l经过圆C的圆心(2,1),因此2+a-1=0,解得a=-1
3、,因此点A的坐标为(-4,-1).又圆C的半径r=2,由ABC为直角三角形可得|AB|=|AC|2-r2.又|AC|=210,所以|AB|=(210)2-22=6.4.(2020山东济南模拟)已知点A在圆C:(x+1)2+(y-1)2=1上,直线l:y=2x-2与两坐标轴交点分别为M,N两点,则AMN面积的最小值为()A.5-22B.5+12C.5-12D.5-52答案:D解析:如图,圆C的圆心(-1,1)到直线y=2x-2的距离d=|-2-1-2|5=5,又r=1,则圆C上的点A到直线l的距离的最小值为5-1.又直线l:y=2x-2与两坐标轴的交点分别为M(1,0),N(0,-2),则|MN
4、|=5.因此AMN面积的最小值为S=125(5-1)=5-52.故选D.5.过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为.答案:-53解析:因为P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为P(-3,-1),所以直线PQ的方程为y=-1-3-a(x-a),即x-(3+a)y-a=0,圆心(0,0)到直线的距离d=|-a|1+(3+a)2=1,所以a=-53.6.已知直线l:y=kx+2与圆C:(x-1)2+(y-4)2=10相交于A,B两点,若|AB|=6,则k=.答案:34解析:设点C(1,4)到直线l的距离为d,则d=10-32=1.因为d=|k-2|k2+
5、1,所以|k-2|k2+1=1,解得k=34.7.过原点O作圆C:x2+y2+4x+4y+5=0的两条切线,设切点分别为A,B,则直线AB的方程为.答案:2x+2y+5=0解析:将圆C的一般方程x2+y2+4x+4y+5=0化为标准方程,得(x+2)2+(y+2)2=3,其圆心为(-2,-2),半径r=3.过原点O作圆C:x2+y2+4x+4y+5=0的两条切线,设切点分别为A,B,则|PA|=|PB|=8-3=5,则点A,B在圆x2+y2=5上,则直线AB的方程为圆C:x2+y2+4x+4y+5=0与圆x2+y2=5的公共弦所在的直线,又由x2+y2=5,x2+y2+4x+4y+5=0,得2
6、x+2y+5=0,即直线AB的方程为2x+2y+5=0.8.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=17,求直线l的倾斜角.答案：(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1),故直线l恒过定点P(1,1).因为12+(1-1)2=10,符合题意,所以存在直线MN为y=-x或y=-x+3符合条件.能力提升10.已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且ABC为等腰直角三角形,则实数a的取值为()A.-1或12B.1或-1C.2或-2
7、D.1答案:B解析:由题意可知ABC为等腰直角三角形,故圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d=sin4=22,即|a-a-1|1+a2=22,整理得1+a2=2,即a2=1,解得a=-1或1,故选B.11.(2020黑龙江哈尔滨模拟)直线y=x+m与圆O:x2+y2=16相交于M,N两点,若MON23,则实数m的取值范围是()A.-2,2B.-4,4C.-22,22D.0,22答案:C解析:如图,过点O作OHMN,垂足为H,则H为MN的中点,由MON23,得MOH3,可得OH2.即点O到直线x-y+m=0的距离d=|m|22,解得-22m22.因此实数m的取值范围是-22,22.故
8、选C.12.已知点P(x,y)是直线y=-kx-4(k0)上的一个动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为.答案:2解析:根据题意画出图形,如图所示.由题意得圆C:x2+y2-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,由圆的性质可得S四边形PACB=2SPBC,四边形PACB的面积的最小值为2,SPBC的最小值S=1=12rd(d是切线长),dmin=2,此时|CP|min=5.圆心到直线的距离就是PC的最小值,51+k2=5,又k0,k=2.13.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴
9、上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.解：因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为1或切线过原点.当切线不过原点,即k=1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于直线和圆相切,则方程有两个相等的实数根,0,即b=3或b=-1,c=5或c=1.故所求切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.由|-k-2|k2+1=2,得k=26.所以此时切线方程为y=(26)x.综上可得切线
10、方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-6)x-y=0或(2+6)x-y=0.14.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解：因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y00),若圆C上存在点P(x,y)使得x+y+10成立,则半径r的取值范围是()A.0r522B.r522C.00)的圆心坐标为C(-2,-2),半径为r,要使圆C上存在点P(x,y)使得x+y+10成立,则C(-2,-2)到直线x+y+1=0的距离d=|-2-2+1|2=322r,即r322.故选D.
