1、3.2.2空间线面关系的判定学 习 目 标核 心 素 养1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(重点)2.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系(重点、难点)3.向量法证明线面平行(易错点)1.通过线面位置关系的判断与证明，培养逻辑推理素养2.借助方向向量、法向量的应用，提升数学运算素养.向量法判定线面关系设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面1，2的法向量分别为n1，n2，则有下表：平行垂直l1与l2e1e2e1e2l1与1e1n1e1n11与2n1n2n1n2思考：若一个平面内一条直线
2、的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？提示垂直1若直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()AlBlClDl与斜交Bn(2,0，4)2(1,0,2)2a，na，l.2已知不重合的平面，的法向量分别为n1，n2，则平面与的位置关系是_平行n13n2，n1n2，故.3设直线l1的方向向量为a(3,1，2)，l2的方向向量为b(1,3,0)，则直线l1与l2的位置关系是_垂直ab(3,1，2)(1,3,0)3300，ab，l1l2.4若直线l的方向向量为a(1,2,3)，平面的法向量为n(2，4，6)，则直线l与平面的位置关系是_垂直n2a，na，又
3、n是平面的法向量，所以l.利用空间向量证明线线平行【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点求证：四边形AEC1F是平行四边形证明以点D为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，又FAE，FEC1，AEFC1，EC1AF，四边形AEC1F是平行四边形1两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面2直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直3两个平面的
4、法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直1长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E2EB1，BF2FA1.求证：EFAC1.证明如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DAa，DCb，DD1c，则得下列各点的坐标：A(a，0,0)，C1(0，b，c)，E，F.，(a，b，c)，.又FE与AC1不共线，直线EFAC1.利用空间向量证明线面、面面平行探究问题在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示：可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标【例2】在正方体ABCDA1B
5、1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.思路探究 证明法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是(1,0,1)，(1,1,0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，则y1，z1，平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n.MN平面A1BD.法二：()，MN平面A1BD.法三：.即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN平面A1BD.1本例中条件不变，试证明平面A1BD平面CB1D1
6、.证明由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，则(0，1,1)，(1,1,0)，设平面CB1D1的法向量为m(x1，y1，z1)，则，即令y11，可得平面CB1D1的一个法向量为m(1,1,1)，又平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)所以mn，所以mn，故平面A1BD平面CB1D1.2若本例换为：在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点，求证：AB平面DEG.证明EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点
7、，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，(0,2,2)，(2,2,0)，(2,0，2)设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得z1，x1，则n(1,1，1)，n2020，即n.AB平面DEG，AB平面DEG.1向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即au0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平
8、行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可2证明面面平行的方法设平面的法向量为，平面的法向量为v，则v.向量法证明垂直问题【例3】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.思路探究证明AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC
9、1，则P(0,0,1)(1)ABC60，ABC为正三角形，C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得0，即y，则D，.又，0，即AECD.(2)法一：P(0,0,1)，.又(1)0，即PDAE.(1,0,0)，0.PDAB，又ABAEA，PD平面ABE.法二：(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，n(0,2，)，显然n.n，平面ABE，即PD平面ABE.1证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直2证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直3证明面面垂直常用的方法(1
10、)转化为线线垂直、线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直2在例3中，平面ABE与平面PDC是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由解由例3，可知，设平面PDC的法向量为m(x，y，z)，则令y，则x1，z2，即m(1，2)，由例3知，平面ABE的法向量为n(0,2，)，mn0220，mn.所以平面ABE平面PDC.1应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示即用平面向量基本定理证明线面平行2证明面面平行的方法设平面的法向量为n1(a1
11、，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)3(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明(2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.()(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线
12、的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直()答案(1)(2)(3)(4)2已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15Dx6，yDl1l2，ab，存在R，使ab，则有23，4x,5y，x6，y.3已知平面和平面的法向量分别为a(1,2,3)，b(x，2,3)，且，则x_.5，ab，abx490，x5.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED平面B1BD.证明以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，(1,1,1)，设平面B1DE的法向量为n1(x，y，z)，则xyz0且yz0，令z2，则y1，x1，n1(1,1，2)同理求得平面B1BD的法向量为n2(1，1,0)，由n1n20，知n1n2，平面B1DE平面B1BD.
