1、考点规范练24三角恒等变换基础巩固1.2sin47-3sin17cos17=()A.-3B.-1C.3D.1答案:D解析:原式=2sin47-sin17cos30cos17=2sin(17+30)-sin17cos30cos17=2sin30=1.故选D.2.已知0,2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15B.55C.33D.255答案:B解析:2sin2=cos2+1,4sincos=2cos2.0,2,cos0,sin0,2sin=cos.又sin2+cos2=1,5sin2=1,即sin2=15.sin0,sin=55.3.已知函数f(x)=3sin x+cos x(0
2、)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2,则该函数的一个单调递增区间为()A.6,23B.-512,12C.-3,6D.-3,23答案:C解析:f(x)=3sinx+cosx=2sinx+6.由题意得最小正周期T=,所以=2,所以f(x)=2sin2x+6.由-2+2k2x+62+2k,kZ,得-3+kx6+k,kZ,故函数f(x)的单调递增区间为-3+k,6+k,kZ.令k=0,得函数f(x)的一个单调递增区间为-3,6.4.(2020浙江慈溪期末)已知(0,2),且1+cos =4sin ,则sin2=()A.117B.1717C.117或1D.1717或1答案:D解析:(0,2),2(0,
3、),sin20,1+cos=4sin,2cos22=8sin2cos2,当cos2=0时,可得sin2=1;当cos20时,可得cos2=4sin2,可得sin22+cos22=sin22+4sin22=17sin22=1,解得sin2=1717.综上,sin2=1,或sin2=1717.5.已知tan+4=-12,且2,则sin2-2cos2sin-4等于()A.255B.-3510C.-255D.-31010答案:C解析:sin2-2cos2sin-4=2sincos-2cos222(sin-cos)=22cos,由tan+4=-12,得tan+11-tan=-12,解得tan=-3,即s
4、incos=-3,又sin2+cos2=1,且2,所以cos=-1010.所以原式=22cos=22-1010=-255.6.(2020黑龙江哈尔滨三模)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x,则()A.f(x)的最小正周期为2B.曲线y=f(x)关于点38,0对称C.f(x)的最大值为2D.曲线y=f(x)关于直线x=38对称答案:D解析:函数f(x)=sin2x-cos2x=2sin2x-4,所以函数的最小正周期T=22=,所以A中说法不正确;f(x)的最大值为2,所以C中说法不正确;函数图象的对称中心的横坐标满足2x-4=k,kZ,所以x=8+k2,kZ,可得B中说法不正确;由2x
5、-4=k+2,kZ,得函数图象的对称轴方程为x=38+k2,kZ,当k=0时,x=38,所以D中说法正确.7.已知函数f(x)=cos4x-3+2cos22x,将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为()A.-3,6B.-4,4C.6,23D.4,34答案:B解析:函数f(x)=cos4x-3+2cos22x=cos4x-3+1+cos4x=12cos4x+32sin4x+1+cos4x=32cos4x+32sin4x+1=3sin4x+3+1,则由题意,可得y=
6、g(x)=3sin2x+1.由2k-22x2k+2,kZ,得k-4xk+4,kZ,当k=0时,得-4x4.故选B.8.tan 15-1tan15=.答案:-23解析:tan15-1tan15=sin15cos15-cos15sin15=sin215-cos215cos15sin15=-cos3012sin30=-23.9.设f(x)=1+cos2x2sin2-x+sin x+a2sinx+4的最大值为2+3,则实数a=.答案:3解析:f(x)=1+2cos2x-12cosx+sinx+a2sinx+4=cosx+sinx+a2sinx+4=2sinx+4+a2sinx+4=(2+a2)sinx
7、+4.依题意有2+a2=2+3,则a=3.10.已知点4,1在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间(0,)内的单调递减区间.解:(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.f(x)的图象过点4,1,1=asin2+cos2,可得a=1.f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+4.函数的最小正周期T=22=.(2)由2k+22x+432+2k,kZ,可得k+8x58+k,kZ.函数f(x)的单调递减区间为k+8,58+k,kZ.x(0,),当k=0时,可得单调递减
8、区间为8,58.11.函数f(x)=cos-x2+sin-x2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f()=2105,0,2,求tan+4的值.解:(1)f(x)=cos-x2+sin-x2=sinx2+cosx2=2sinx2+4,故f(x)的最小正周期T=212=4.(2)由f()=2105,得sin2+cos2=2105,则sin2+cos22=21052,即1+sin=85,解得sin=35,又0,2,则cos=1-sin2=1-925=45.故tan=sincos=34.所以tan+4=tan+tan41-tantan4=34+11-34=7.能力提升12.(2020广西梧州
9、模拟)关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的四个结论:P1:最大值为2;P2:把函数y=2sin 2x-1的图象向右平移4个单位长度后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的图象;P3:单调递增区间为k+78,k+118,kZ;P4:图象的对称中心为k2+8,-1,kZ.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B解析:f(x)=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin2x-4-1,可得f(x)的最大值为2-1,P1错误;将y=2sin2x-1的图象向右平移4个单位长度后得到y=2sin2x-4-1=2sin
10、2x-2-1的图象,P2错误;由-2+2k2x-42+2k,kZ,可解得-8+kx38+k,kZ,即单调递增区间为-8+k,38+k,kZ,即78+k,118+k,kZ,P3正确;由2x-4=k,kZ,得x=k2+8,kZ,图象的对称中心为k2+8,-1,kZ,P4正确.13.(2020湖北武汉模拟)设,0,2,且tan -tan =1cos,则()A.3+=2B.2+=2C.3-=2D.2-=2答案:D解析:tan-tan=1cos,sincos-sincos=1cos,sincos=1cos+sincos=1+sincos,sincos=cos(1+sin)=cos+cossin,cos=
11、sincos-cossin=sin(-),由诱导公式可得cos=sin(-)=cos2-(-),0,2,2-(-)(0,),=2-(-),变形可得2-=2.14.已知tantan+4=-23,则sin2+4的值是.答案:210解析:由tantan+4=tantan+11-tan=tan(1-tan)tan+1=-23,得3tan2-5tan-2=0,解得tan=2或tan=-13.又sin2+4=sin2cos4+cos2sin4=22(sin2+cos2)=222sincos+cos2-sin2sin2+cos2=222tan+1-tan2tan2+1.(*)当tan=2时,(*)式=222
12、2+1-2222+1=2215=210;当tan=-13时,(*)式=222-13+1-132-132+1=2213-19109=210.综上,sin2+4=210.15.(2020江苏南通模拟)已知sin +cos =3-12,-4,4.(1)求的值;(2)设函数f(x)=sin2x-sin2(x+),xR,求函数f(x)的单调递增区间.解:(1)因为sin+cos=3-12,所以(sin+cos)2=sin2+cos2+2sincos=1+sin2=3-122=2-32,即sin2=-32,又-4,4,所以2-2,2,所以2=-3,=-6.(2)由(1)可得=-6,则f(x)=sin2x-
13、sin2x-6=12(1-cos2x)-121-cos2x-3=12-12cos2x-12+12cos2x-3=-12cos2x+1212cos2x+32sin2x=34sin2x-14cos2x=1232sin2x-12cos2x=12sin2x-6.令2k-22x-62k+2,kZ,则k-6xk+3,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间为k-6,k+3,kZ.高考预测16.已知f(x)=sin3x+3-3cos3x+3,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 020)=.答案:3解析:根据题意,f(x)=212sin3x+3-32cos3x+3=2sin3x+3-3=2sin3x,其周期T
14、=23=6,且2020=3366+4,故f(1)+f(2)+f(2020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sin3+2sin23+2sin+2sin43=3.17.已知向量a,b满足a=(-2sin x,3(cos x+sin x),b=(cos x,cos x-sin x),函数f(x)=ab(xR).(1)求f(x)在区间-2,0上的值域;(2)已知数列an=n2fn2-1124(nN*),求an的前2n项和S2n.解:(1)f(x)=ab=-sin2x+3cos2x=2sin2x+23,当x-2,0时,2x+23-3,23,可得2sin2x+23-3,2.即f(x)在区间-2,0上的值域为-3,2.(2)an=n2fn2-1124=2n2sin2n2-1124+23=2n2sinn-4,S2n=212-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2,又(2n-1)2-(2n)2=-4n+1,故S2n=2(-3-4n+1)n2=2(-2n2-n).8
