1、核心模块四 解析几何专题十一 圆锥曲线的方程及几何性质圆锥曲线的方程及几何性质作为 C 级考点，每年必考，但基本上都是以中档题形式出现，难度不大年份填空题解答题2017T8双曲线的几何性质T17椭圆的标准方程2018T8双曲线的几何性质T18椭圆的标准方程2019T7双曲线的几何性质T17 椭圆标准方程及其几何性质目标 1 圆锥曲线方程的求解例 1(1)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y 52 x，且与椭圆x212y231 有公共焦点，则 C 的方程为_(2)点 M(5,3)到抛物线 yax2(a0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是_(3)设椭圆x2a
2、2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，F1F2DF12 2，DF1F2 的面积为 22，求该椭圆的标准方程(1)x24y251 解析：双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax.椭圆中：a212，b23，所以 c2a2b29，c3，即双曲线的焦点为(3,0)据此可得双曲线中的方程组：ba 52，c2a2b2，c3，解得 a24，b25，则双曲线 C 的方程为x24y251.点评：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系
3、，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x2a2y2b2(0)，再由条件求出 的值即可(2)y 112x2 或 y 136x2 解析：抛物线标准方程为 x21ay(a0)，当 a0 时，开口向上，准线方程为 y 14a，则点 M 到准线的距离为 3 14a6，解得 a 112，则抛物线方程为 y 112x2；当 a0 时，开口向下，准线方程为 y 14a，则点 M 到准线的距离为 14a36，解得 a 136，则抛物线方程为 y 136x2.(3)x22y21解析：设 F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c2a2b2.由F1F2DF
4、12 2得 DF1F1F22 2 22 c.从而 SDF1F212DF1F1F2 22 c2 22，故 c1.从而 DF1 22.由 DF1F1F2 得 DF22DF21F1F2292，因此 DF23 22，所以 2aDF1DF22 2，故 a 2，b2a2c21.因此所求椭圆的标准方程为x22y21.点评：根据条件求椭圆方程所常用的主要方法是定义法和待定系数法定义法的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数 a，b.如果不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考虑焦点
5、位置，用待定系数法求出 m，n 的值即可【思维变式题组训练】1.已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y2 与 C 的两个交点间的距离为 6，则双曲线的标准方程为_x2y281 解析：由题设知ca3，即a2b2a29，故 b28a2.所以 C 的方程为 8x2y28a2.将 y2 代入上式，并求得 xa212.由题设知，2a212 6，解得 a21.所以 a1，b2 2.标准方程为 x2y281.2.已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，若抛物线 C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距
6、离为 2，则抛物线 C2 的方程是_x216y 解析：因为双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，所以ca2，即a2b2a24，所以b2a23.因为双曲线的渐近线方程为 bxay0，抛物线 C2：x22py(p0)的焦点0，p2 到双曲线的渐近线的距离为 2，所以ap2a2b22，解得 p8，所以抛物线 C2 的方程是 x216y.x225y2161 解析：设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有 PC1r1，PC29r.所以 PC1PC210C1C26，即 P 在以 C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10 的椭圆上，所以点 P 的轨迹方程为x225y2
7、161.3.与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P的轨迹方程为_4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)与直线 l：xm(mR)四点(3,1)，(3，1)，(2 2，0)，(3，3)中有三个点在椭圆 C 上，剩余一个点在直线 l 上求椭圆 C 的方程解析：由题意有 3 个点在椭圆 C 上根据椭圆的对称性，则点(3,1)，(3，1)一定在椭圆 C 上，即 9a2 1b21.若点(2 2，0)在椭圆 C 上，则点(2 2，0)必为 C 的左顶点，而 32 2，则点(2 2，0)一定不在椭圆 C 上，故点(3，3)
8、在椭圆 C 上，所以 3a2 3b21.联立可解得 a212，b24.所以椭圆 C 的方程为x212y241.目标 2 离心率的值或取值范围例 2(1)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为_(2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左顶点为 A，左焦点为 F，上顶点为 B，若BAOBFO90，则椭圆的离心率是_(3)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若 A
9、FBF4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是_(4)已知 F1，F2 是双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段F1F2 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_(1)63 解析：以线段 A1A2 为直径的圆是 x2y2a2，直线 bxay2ab0 与圆相切，所以圆心到直线的距离 d2aba2b2a，整理为 a23b2，即 a23(a2c2)2a23c2，即c2a223，eca 63.点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于
10、a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，而建立关于离心率的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等(2)512 解析：解法一：因为BAOBFO90，所以 sinBFOcosBAOcosBAF.在ABF 中，由正弦定理得BFsinBAFABsinAFBABsinBFOABcosBAF，即BFABsinBAFcosBAF，所以aa2b2ba，所以 a2b a2b2，即 a4(a2c2)(2a2c2)，化简得 e43e210，解得 e23 52e23 521，舍去，故 e 512(负根舍去)解法二：易知BAFFBO，所以 RtB
11、FORtABO，则FOBOBOAO，即cbba，所以 acb2a2c2，所以 c2aca20.即 e2e10，解得 e 512(负根舍去)解法三：设椭圆右顶点为 C，连接 BC，则BCOBAF，所以BCOBFC90，则 BF2BC2CF2，即 a2a2b2(ac)2，所以 2a2c22acc2，即 c2aca20，所以 e2e10，解得 e 512(负根舍去)点评：椭圆离心率的求解步骤是首先将几何条件代数化，然后建立关于 a，b，c的奇次方程就本题对于所给BAOBFO90条件采取了三种转化，分别是正、余弦定理，相似三角形和图形的对称性，从而更方便地将几何条件转化为 a，b，c 的齐次方程(3)
12、0，32 解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，AFBF2a4，所以a2.设 M(0，b)，因为 d|304b|3242 45，所以 1b2.又 eca1b2a21b24，所以 0e 32.(4)(1,2)解析：如图，不妨设 F1(0，c)，F2(0，c)，则过点 F1 与渐近线 yabx 平行的直线为 yabxc，联立，得yabxc，yabx，解得xbc2a，yc2，即 Mbc2a，c2.因为点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆 x2y2c2 内，故bc2a2c22c2，化简得 b23a2，即 c2a23a2，解得ca2，又双曲线的离心率 eca1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)
13、【思维变式题组训练】1.如图，已知过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A(a,0)作直线 l 交 y 轴于点 P，交椭圆于点 Q，若AOP 是等腰三角形，且PQ 2QA，则椭圆的离心率为_2 55 解析：解法一：因为AOP 是等腰三角形，所以 OAOP，故 A(a,0)，P(0，a)，又PQ 2QA，所以 Q2a3，a3.由点 Q 在椭圆上得49 a29b21，解得b2a215，故离心率 e1b2a21152 55.解法二：因为AOP 是等腰三角形，所以 OAOP，故设直线 AP：yxa，与椭圆方程联立并消去 y 得(a2b2)x22a3xa2c20，从而(a)xQ a2c2a2b2，
14、即 xQ ac2a2b2，又由 A(a,0)，P(0，a)，PQ 2QA 得 xQ2a3，故 ac2a2b22a3，即 5c24a2，故 e2 55.2.设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的实轴顶点为 A1，A2，虚轴顶点为 B1，B2，若双曲线上存在点 P，满足以 OP 为边长的正方形的面积等于四边形 A1B1A2B2 的面积，则双曲线的离心率的取值范围为_52，解析：由题知 A1A22a，B1B22b，则四边形 A1B1A2B2 面积等于122a2b2ab.双曲线上点到原点距离最近的点是实轴顶点 A1(a,0)，OP2a2，所以存在点 P 满足条件时，一定有 2aba2，因此 ba2
15、，所以 b2a24，c254a2，所以e254，得 e 52，故双曲线的离心率的取值范围是52，.3.已知点 F1，F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若PF21PF2的最小值为 9a，则双曲线的离心率为_5 解析：在双曲线中，P 为右支上一点，则 PF1PF22a，则PF21PF2PF22a2PF2PF24a2PF24a2 4a24a8a(当且仅当 PF22a 时取等号)，因为已知中PF21PF2 min9a，故 PF22a，在双曲线右支上点 P 满足(PF2)minca，则 ca2a，即 c3a，故 e3.又由PF21PF29a，即
16、ca2a2ca9a 可得 e2 或 e5.综上可得，e5，则 e5.22，53 解析：设椭圆左焦点为 F，由椭圆的对称性可知，四边形 AFBF为平行四边形，又FAFB0，即 FAFB，故平行四边形 AFBF为矩形，所以 ABFF2c.设 AFn，AFm，则在 RtFAF 中，4.设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A，B 关于原点对称，且满足FAFB0，FBFA2FB，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_mn2a，m2n24c2，联立得 mn2b2.得mnnm2c2b2，令mnt，得 t1t2c2b2.又由 FBFA2FB 得mnt1,2，所以 t1t2c
17、2b2 2，52.故椭圆 C 的离心率的取值范围是22，53.一、填空题1.已知抛物线 y22px 过点 M(2,2)，则点 M 到抛物线焦点的距离为_52 解析：解法一：因为抛物线过点 M(2,2)，所以 4p4，从而 p1.根据抛物线的定义得点 M 到焦点的距离为p2252.解法二：因为抛物线过点 M(2,2)，所以 4p4，从而 p1，故抛物线的方程为 y22x，焦点坐标为 F12，0，从而 MF322452.2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知方程 x24m y22m1 表示双曲线，则实数 m 的取值范围为_(2,4)解析：由 4m 与 2m 同号，得(4m)(2m)0，即(m4)(
18、m2)0，解得2mb0)上的三点，其中点 A 的坐标为(2 3，0)，BC 过椭圆的中心，且ACBC0，|BC|2|AC|，则椭圆的方程为_x212y241 解析：因为|BC|2|AC|，直线 BC 过点(0,0)，则|OC|AC|.又因为ACBC0，所以OCA90，即 C(3，3)又因为 a2 3，所以椭圆方程为x212y2b21，把点 C 的坐标代入上式得 b24.所以椭圆的方程为x212y241.8.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左顶点和上顶点分别为 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2.在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1PF2，则椭圆的离心率的平方为_3 52 解
19、析：由题意得，A(a,0)，B(0，b)，由在线段 AB 上有且只有一个点 P满足 PF1PF2，得点 P 是以点 O 为圆心，线段 F1F2 为直径的圆 x2y2c2 与线段AB 的切点，连接 OP，则 OPAB，且 OPc，即点 O 到直线 AB 的距离为 c.又直线 AB 的方程为 bxayab0，点 O 到直线 AB 的距离 dabb2a2c，两边同时平方整理得，a2b2c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4，可得b4a2b2a40，两边同时除以 a4，得b2a2 2b2a210，可得b2a2 1 52，则 e2c2a2a2b2a21b2a211 523 52.9.已知双曲线
20、x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，若双曲线上存在点 P，使sinPF1F2sinPF2F1ac(c 是双曲线的半焦距)，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为_(1,1 2)解析：由题意，知点 P 不是双曲线的顶点，否则sinPF1F2sinPF2F1ac无意义在PF1F2 中，由正弦定理得PF1sinPF2F1PF2sinPF1F2，又sinPF1F2sinPF2F1ac，所以PF1PF2ca，即 PF1caPF2.由题意知点 P 在双曲线的右支上，故 PF1PF22a，所以caPF2PF22a，即 PF2 2a2ca.由双曲线的几何性质，知 PF2ca，所以 2
21、a2caca，即 c22aca20，所以e22e10，解得 21e 21.又 e1，所以双曲线离心率的取值范围是(1，21)10.如图，椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，其右准线 l 与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是_12，1 解析：解法一：由题意知椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，所以 PFFA，而 FAa2c c，PFac，所以a2c cac，即 a2ac2c2.又 eca，所以 2e2e1，所以 2e2e10，即(2e1)(e1)0.又 0e1，所以12e1.解法二：设点 P(x
22、，y)由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，所以 PFFA.由椭圆第二定义，PFa2c xe，所以 PFa2c eexaex，而 FAa2c c，所以 aexa2c c，解得 x1eaca2c.由于axa，所以a1eaca2c a.又 eca，所以 2e2e10，即(2e1)(e1)0.又 0e1，所以12e0)与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，以线段 AB 为直径作圆 M.(1)求椭圆 C 的标准方程(2)若圆 M 与 x 轴相切，求圆 M 截直线 x 3y10 所得的线段长解析：(1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)由题意知ca 63，a2c 3 2，
23、解得 a2 3，则 c2 2，b a2c22，故椭圆 C 的标准方程为x212y241.(2)由题意可知，点 M 为线段 AB 的中点，且位于 y 轴正半轴故点 M 的坐标为(0，t)又圆 M 与 x 轴相切，所以圆 M 的半径为 t.不妨设点 B 位于第一象限，因为 MAMBt，所以 B(t，t)代入椭圆的方程，可得 t212t241.因为 t0，解得 t 3.所以圆 M 的圆心为(0，3)，半径为 3，其方程为 x2(y 3)23.因为圆心 M 到直线 x 3y10 的距离 d|0 3 31|21.故圆 M 截直线 x 3y10 所得的线段长为 2 32122 2.13.如图，在平面直角坐
24、标系 xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B.(1)已知椭圆的离心率为12，线段 AF 中点的横坐标为 22，求椭圆的标准方程；(2)已知ABF 外接圆的圆心在直线 yx 上，求椭圆的离心率 e 的值解析：(1)因为椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，所以ca12，则 a2c.因为线段 AF 中点的横坐标为 22，所以ac2 22.所以 c 2，则 a28，b2a2c26.所以椭圆的标准方程为x28y261.(2)因为 A(a,0)，F(c,0)，所以线段 AF 的中垂线方程为 xac2.又因为ABF 外接圆的圆心 C 在直线 yx
25、上，所以 Cac2，ac2.因为 A(a,0)，B(0，b)，所以线段 AB 的中垂线方程为 yb2abxa2.由 C 在线段 AB 的中垂线上，得ac2 b2abac2 a2，整理得，b(ac)b2ac，即(bc)(ab)0.因为 ab0，所以 bc.所以椭圆的离心率 ecacb2c2 22.14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一点，且 PF2 垂直于 x 轴，连接 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设 PQF1Q.(1)若点 P 的坐标为(2,3)，求椭圆 C 的方程及 的值；(2)若 45，求椭
26、圆 C 的离心率的取值范围解析：(1)因为 PF2 垂直于 x 轴，且点 P 的坐标为(2,3)，所以 a2b2c24，4a2 9b21，解得 a216，b212，所以椭圆 C 的方程为x216y2121.所以 F1(2,0)，直线 PF1 的方程为 y34(x2)，将 y34(x2)代入椭圆 C 的方程，解得 xQ267，所以 PQF1Q xPxQxF1xQ22672267103.(2)因为 PF2x 轴，不妨设 P 在 x 轴上方，P(c，y0)，y00.设 Q(x1，y1)因为 P 在椭圆上，所以c2a2y20b21，解得 y0b2a，即 Pc，b2a.因为 F1(c,0)，由 PQF1Q 得，cx1(cx1)，b2a y1y1，解得 x111c，y1b21a，所以 Q11c，b21a.因为点 Q 在椭圆上，所以112e2b212a21，即(1)2e2(1e2)(1)2，所以(2)e22，从而 e222.因为 45，所以13e237，解得 33 e 217，所以椭圆 C 的离心率的取值范围是33，217.
