1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修3 第三章 概 率成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 概 率 第三章 第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 第三章 3 模拟方法概率的应用第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课时作业 4课前自主预习 1第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 课前自主预习第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 向一个圆面内随机地投一粒黄豆，如果该粒黄豆落在圆内任意一点都是等可能的，那么这
2、个试验是古典概型吗？因为试验的所有可能结果是圆面内的所有点，试验的所有结果是无限的因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，但是这个试验不是古典概型本节课我们来研究此类试验的特征及其概率.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 1.模拟方法虽然可以通过做大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但是，人工进行试验费时、费力，并且有时是不可能实现的因此，我们常常借助_来估计某些随机事件发生的概率，用_可以在短时间内完成大量的重复试验对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值模拟方法在实际中有很多应用模拟方法模拟方法第三章 3 成才之路
3、高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 2几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的_、_无关，即P(点M落在G1内)_，则称这种模型为几何概型几何概型中的G也可以是空间中或直线上的_，相应的概率是_或_形状位置G1的面积G的面积有限区域体积之比长度之比第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 1.几何概型与古典概型的区别是()A几何概型的基本事件是等可能的B几何概型的基本事件的个数是有限的C几何概型的基本事件的个数是无限的D几何概型的基本事件不是等可能的答案 C解析 几何概型是无限多个等可能事件
4、的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 2已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110 B.19C.111D.18答案 A解析 试验的所有结果构成的区域长度为 10 min，而构成事件 A 的区域长度为 1 min，故 P(A)110.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 3.如图，边长为 2 的正方形有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影部区域的面积为()A.43B.83C.23D
5、.无法计算答案 B解析 由几何概型的公式知：S阴影S正方形23，又 S 正方形4，S 阴影83.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 4某人从甲地去乙地共走了 500m，途经一条宽为 xm 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为_m.答案 20解析 已知河宽为 xm，则该物品能被找到的概率为500 x500，由题意知500 x500 2425，解得 x20.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 5一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯
6、亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列 三 种 情 况 的 概 率 各 是 _、_、_.(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯答案 25 115 35第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 解析 在 75 秒内，每一时刻到达路口的时候是等可能的，属于几何概型(1)P亮红灯的时间全部时间303040525；(2)P亮黄灯的时间全部时间 575 115；(3)P不是红灯亮的时间全部时间黄灯或绿灯的时间全部时间457535.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 课堂典例讲练第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北
7、师大版 数学 必修3 长度模型的几何概型如图 A，B 两盏路灯之间的距离是 30 米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问 A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米的概率是多少？第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 思路分析 在 A、B 之间每一位置安装路灯 C、D 都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件规范解答 记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于10 米”，把 AB 三等分，由于中间长度为 301310(米)，所以P(E)103013.
8、第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 规律总结 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概率第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形边上爬行，某时刻 此 蚂 蚁 距 离 三 角 形 三 个 顶 点 距 离 均 超 过 1 的 概 率 为_答案 12第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 解析
9、如图所示，设事件 A：蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1.试验的全部区域构成的长度是 34512，事件 A 的区别是 1236.则 P(A)61212.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 角度模型的几何概型在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和BOC都不小于30的概率思路分析 射线OC随机地落在AOB内部，故AOB为所有试验结果构成的区域，作BOEAOD30，当射线OC落在DOE内部时，AOC和BOC都不小于30，故DOE为构成事件的区域；这显然是一个与角度有关的几何概型第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学
10、必修3 规范解答 以 O 为起点作射线 OC 是随机的，而射线落在AOB 内的任何位置是等可能的，作AODBOE30，则 OC落在DOE 内符合题目要求，OC 落在DOE 内只与DOE 的大小有关，符合几何概型的特点设事件 A 为“射线 OC 落在DOE 内”事件 A 的度量是 90303030，试验的全部结果的度量是 90，由几何概型的概率公式得 P(A)309013.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 规律总结 事实上，本题可以分别求扇形 AOB、扇形 DOE的面积，然后用几何概型的公式进行计算但是，如果从角度的变化进行分析，显然弧 DE 的长度是弧 AB
11、的长度的13，分析、计算更加简便第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60的终边上，任作一条射线 OA，求射线 OA 落在xOT 内的概率解析 设事件 A“射线 OA 落在xOT 内”事件 A 的几何度量是 60，试验的全部结果构成的几何度量是 360，所以，由几何概型概率公式，得 P(A)mn 6036016.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 面积模型的几何概型设点M(x，y)在|x|1，|y|1时按均匀分布出现，试求满足：(1)xy0的概率；(2)xy1的概率：(3)x2y21的概率
12、思路分析 利用平面直角坐标系化归为平面点集求解第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 规范解答 如图，满足|x|1，|y|1 的点组成一个边长为 2 的正方形 ABCD，则 S 正方形 ABCD4.(1)方程 xy0 的图像是直线 AC，满足 xy0 的点在AC 的右上方，即在ACD 内(含边界)，而 SACD12S 正方形 ABCD2，所以 P(xy0)2412.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 (2)设 E(0,1)，F(1,0)，则 xy1 的图像是线段 EF 所在的直线，满足 xy1 的点在直线 EF 的左下方，即在五边形
13、ABCFE内(不含边界 EF)，而 S 五边形 ABCFES 正方形 ABCDSEDF41272，所以 P(xy1)S五边形ABCFES正方形ABCD 72478.(3)满足 x2y21 的点是以原点为圆心的单位圆 O，且 SO，所以 P(x2y21)S正方形ABCDSOS正方形ABCD44.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 规律总结 在研究射击、射箭、射门、投中、等待等实际问题转化成的几何概型时，常借助于区域的面积来计算概率的值此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式 P(A)构成事件A的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可第三章
14、 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 如图，假设你在圆上随机撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率为_答案 12解析 设圆的半径为 1，则概率为121112 12.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 体积模型的几何概型正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，在正方体内随机取一点 M.(1)求点 M 落在三棱锥 B1A1BC1 内的概率；(2)求点 M 距离面 ABCD 及面 A1B1C1D1的距离都大于a3的概率；(3)求使四棱锥 MABCD 的体积小于16a3 的概率第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修
15、3 思路分析 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间的关系，利用相关公式求出其概率本题中对几何概型问题的处理要以立体几何的相关知识为基础，空间想象能力为依托规范解答(1)因为棱长为 a 的正方体的体积 Va3，由正方体的性质可知 VB1A1BC116a3.所 以 点 M 落 在 三 棱 锥 B1 A1BC1 内 的 概 率 为 P VB1A1BC1V16.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 (2)因为两平行平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离为 a，所以点 M 距离面 ABCD 及面 A1B1C1D1 的距离都大于a3的概率为13.(3)设 M 到
16、平面 ABCD 的距离为 h，由三棱锥的体积公式得，13a2h16a3，故 ha2.所以使四棱锥 MABCD 的体积小于16a3 的概率为12.规律总结 分清题中的条件，提炼出几何体的形状，并找出总体积是多少以及所求的事件占有的几何体是什么几何体并计算出体积第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10 mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？解析 取出 10 mL 种子，其中“含有病种子”这一事件记为 A，则 P(A)取出的种子的体积所有种子的体积 101 0000.01.所以取出的种子中，含有麦锈病种子的概率为
17、0.01.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 易错疑难辨析第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 在圆内作一条弦，其长度超过圆内接等边三角形边长 a 的概率是多少？(假定弦的中点在圆内均匀分布)错解 如图 1 所示，设 PQ 为O 的直径，以 P 为顶点，作圆内接等边三角形，交 PQ 于 M，以 Q 为顶点作圆内接等边三角形，交 PQ 于 N，在 PQ 上任取一点 H，过点 H 作弦 ABPQ，则点 H 必为 AB 的中点显然，若 AB 的长度大于 a，则点 H 必落在线段 MN 之间，易知线段 MN 的长度为 PQ 的12，故所求概
18、率 P12.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 辨析 错在把等可能性理解为弦的中点 H 在直径 PQ 上均匀分布，没有弄清题意第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 正解 如图 2 所示，弦的长度的确定关键在于弦的中点 H的确定，由于要求弦长 AB 大于 a，则 OH 应小于 36 a，同时又由于题目中已明确弦的中点在圆内是均匀分布的，所以点 H 应落在以 O 为圆心，半径为 36 a 的圆内，这样区域 D 为整个大圆，区域 d 为小圆，故所求的概率为 P36 a 233 a 214.第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 规律总结 计算几何概型问题的概率，就要先计算基本事件总体与事件 A 所包含的基本事件对应的区域的几何度量(如长度、面积、体积等)，这往往是分析与理解的困难所在此外对几何概型问题中的等可能性的理解也特别重要第三章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修3 课时作业（点此链接）
