1、第四节 随机事件的概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式1事件的分类(1)一般地，我们把在条件S下，的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称(2)一般地，我们把在条件S下，的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称一定会发生必然事件一定不会发生不可能事件(3)统称为相对于条件S的确定事件，简称(4)的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称(5)和统称为事件，一般用大写字母A，B，C，表示必然事件与不可能事件确定事件在条件S下可能发生也可能不发生随机事件确定事件随机事件2概率对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增
2、加，事件A发生的频率fn(A)稳定在上，把这个记 作 P(A)，称为事件A的概率，简称A的概率3事件的关系与运算(1)对于事件A与事件B，如果事件A发生则事件B，这时称事件B包含事件A(或称)，记作(或)某个常数常数一定发生事件A包含于事件BBAAB(2)若，且，那么称事件A与事件B相等，记作(3)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与B的并事件(或)，记作AB(或)(4)若某事件发生当且仅当A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或)，记作(或)(5)若AB为不可能事件(AB)，那么称事件A与事件B，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发
3、生BAABAB和事件AB积事件ABAB互斥(6)若AB为，AB为，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生4概率的几个性质(1)概率的取值范围是：.(2)必然事件的概率为.(3)不可能事件的概率为.不可能事件必然事件0P(A)110(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)特 别 的，若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)P(A)P(B)1P(B)解析：该题考查频率和概率的定义及频率与概率的关系答案：A1给出下列三个命题，其中正确命题的个数是()有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10件是次品
4、 做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是37 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率A0 个 B1 个 C2 个D3 个2已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569683 431 257 393 027 556 488 730 113537 989据此估计
5、，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A0.35 B0.25 C0.20 D0.15答案：B解析：20 组数中恰有两次命中的共有 5 组，因此所求概率为 5200.25.3已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为_，_.解析：P10.80.120.050.97.P21P110.970.03.该题考查互斥事件、对立事件的概率及相应事件概率的求法答案：0.97 0.034甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是_解析：乙不输表示为和棋或获胜，故其
6、概率为P131256.答案：565在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中 任 取 三 个，这 三 点 能 构 成 三 角 形 的 概 率 是_(结果用分式表示)解析：A、C、E 在直线 yx 上，B、C、D 在直线 xy2 上，任取三点列举知有 10 种取法，共线有 2 种，取三点能构成三角形的概率为10210 45.答案：45 热点之一 事件与事件的关系 判断一个事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件的依据是在一定条件下，所要求的结果是否一定出现，不可能出现或可能出现也可能不出现随机事件发生的概率等于事件发生所包含的结果数与该试验
7、包含的所有结果数的比例1(1)在标准大气压下，把水加热到100，沸腾；(2)导体通电，发热；(3)同性电荷，互相吸引；(4)实心铁块丢入水中，铁块浮起；(5)买一张福利彩票，中奖；(6)掷一枚硬币，正面朝上上述事件中是确定性事件的是_，是随机事件的是_思路探究 随机事件的判断方法是看这个事件是否一定发生或者一定不发生，如果不能肯定，则就是随机事件课堂记录 根据物理知识(1)(2)必然事件，(3)(4)是不可能事件，故(1)(2)(3)(4)为确定性事件；买一张彩票可能中奖也可能不中奖，掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，故(5)(6)是不确定性事件，是随机事件即时训练某入伍新兵在打靶练习
8、中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是()A至多有1次中靶B2次都中靶C2次都不中靶D只有1次中靶解析：事件“至少有1次中靶”包括“中靶1次”和“中靶2次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“2次都不中靶”与之互斥答案：C热点之二 随机事件的频率与概率 概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近只要次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率例2 某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”
9、如下图，请回答：(1)该中学参加本次数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？课堂记录 由概率的定义，我们可以看出，概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一种近似(1)由直方图可知，参加本次数学竞赛的学生有：46875232(人)(2)90 分以上的人数为：75214，获奖的频率为14320.4375，即本次竞赛获奖概率大约是 0.4375.思维拓展 本题利用直方图求出获奖频率，作为概率的近似值通过大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率是求一个事件的概率的基本方法注意频率是随机的、变化的，而概率是一个常数，频率在其附近摆
10、动即时训练 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？投篮次数 n8101291016进球次数 m6897712进球频率mn解：(1)由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为6834，81045，91234，79，710，121634.(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在34的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概率约为34.热点之三 互斥事件与对立事件的概率 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公
11、式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求法就显得较简便例3 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率课堂记录 记事件A任取1球为红球；B任取1球为黑球；C任取1球为白球；D任取1球为绿球，则 P(A)512，P(B)412，P(C)212，P(D)112.(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为P1P(A)P(B)512 41234.(2)取出 1 球为红
12、球或黑球或白球的概率为P2P(A)P(B)P(C)512 412 2121112.(或 P21P(D)1 1121112)即时训练在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是多少？解：从6个球中任取3个，可以按顺序来取，第一步有6种，第二步有5种，第三步有4种，共有654120种但对(1,2,3)这3个球来说，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,3,1)，(2,1,3)，(3,1,2)，(3,2,1)是同一种情况，所以从6个球中取3个球共有654620 种可能结果，选取的 3 个都是白球共有43264 种可能结果故所求概率为 P1 42
13、045.本节主要考查随机事件的概率和互斥事件的概率加法公式，以及对立事件，题型多以选择题、填空题为主，有时也有解答题考查内容多与实际生活中的问题紧密结合，难度一般不大例4(2010山东高考)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和
14、3，共两个因此所求事件的概率 P2613.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个又满足条件 nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 3 个，所以满足条件 nm2 的事件的概率为 P1 316.故满足条件 nm2 的事件的概率为 1P11 3161316.1(2010广东高考)某电视台在一次对收看文艺
15、节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率解：(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的(2)应抽取大于 40 岁的观众274553553(名)(3)用分层抽样方法抽取的 5 名观众中，20 至 40 岁有 2 名(记为 Y1，Y2)，大于 40 岁有 3 名(记为 A1，A2，A3).5 名观众中任取 2 名，共有 10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3，设 A 表示随机事件“5 名观众中任取 2 名，恰有 1 名观众的年龄为20 至 40 岁”，则 A 中的基本事件有 6 种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为 P(A)61035.
