1、考点测试11指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题1设2x8y1，9y3x9，则xy的值为()A18 B21C24 D27答案D解析因为2x8y123(y1)，所以x3y3，因为9y3x932y，所以x92y，解得x21，y6，所以xy27.2化简 (a0，b0)的结果是()A BabCa2b D答案D解析3.函数f(x)axb的图象如图，其中a
2、，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0答案D解析由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.故选D.4已知a()，b2，c9，则()Abac BabcCbca Dcaf(cx) D与x有关，不确定答案A解析f(x1)f(1x)，f(x)图象的对称轴为直线x1，由此得b2.又f(0)3，c3.f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x).若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x).f(3x
3、)f(2x).故选A.6已知x(0，)时，不等式9xm3xm10恒成立，则m的取值范围是()A(22，22) B(，2)C(，22) D22，)答案C解析令t3x(t1)，则由已知得函数f(t)t2mtm1的图象在t(1，)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)0，有(m)24(m1)0或解得22m22或m22，所以m22.故选C.7已知实数x，y满足axay(0aBln (x21)ln (y21)Csin xsin yDx3y3答案D解析因为实数x，y满足axay(0ay，根据函数yx2的对称性和单调性，可知x2，y2的大小不确定，故A，B中的不等式不恒成立；根据正弦函数的单调性，可知C中的不
4、等式也不恒成立；由于函数f(x)x3在R上单调递增，所以x3y3，所以D中的不等式恒成立故选D.8(多选)设函数f(x)2x，对于任意的x1，x2(x1x2)，下列命题中正确的是()Af(x1x2)f(x1)f(x2)Bf(x1x2)f(x1)f(x2)C0Df答案ACD解析9(多选)已知函数f(x)ex1ex1，则下列说法正确的是()A函数f(x)的最小正周期是1B函数f(x)是单调递增函数C函数f(x)的图象关于直线x1轴对称D函数f(x)的图象关于(1，0)中心对称答案BD解析函数f(x)ex1ex1，即f(x)ex1，可令tex1，即有yt，由yt在t0时单调递增，tex1在R上单调递
5、增，可得f(x)在R上为增函数，则A错误，B正确；由f(2x)e1xex1，可得f(x)f(2x)0，即有f(x)的图象关于点(1，0)对称，则C错误，D正确故选BD.10(多选)已知函数f(x)，g(x)，则f(x)，g(x)满足()Af(x)g(x)g(x)f(x)Bf(2)f(3)Cf(x)g(x)xDf(2x)2f(x)g(x)答案ABD解析f(x)f(x)，g(x)g(x)，所以f(x)g(x)g(x)f(x)，A正确；因为函数f(x)为增函数，所以f(2)f(3)，B正确；f(x)g(x)x，C不正确；f(2x)22f(x)g(x)，D正确11求值：0.064(2)3160.750
6、.01_答案解析原式0.411(2)4230.11.12已知maxa，b表示a，b两数中的最大值若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_答案e解析由题意得，f(x)当x1时，f(x)e|x|exe(当x1时，取等号)；当xe.故f(x)的最小值为f(1)e.二、高考小题13(2020天津高考)设a30.7，b，clog0.70.8，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCbca Dcab答案D解析因为a30.71，b30.830.7a，clog0.70.8log0.70.71，所以c1ab.故选D.14(2020全国卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用
7、于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)，其中K为最大确诊病例数当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 193)()A60 B63 C66 D69答案C解析因为I(t)，所以I(t*)0.95K，则e0.23(t*53)19，所以0.23(t*53)ln 193，解得t*5366.故选C.15(2020北京高考)已知函数f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是()A.(1，1)B(，1)(1，)C(0，1)D(，0)(1，)答案D解析因为f(x)2xx1，所以f(x)0等价于2xx1
8、，在同一直角坐标系中作出y2x和yx1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，所以不等式2xx1的解集为(，0)(1，).所以不等式f(x)0的解集为(，0)(1，).故选D.16(2018上海高考)已知常数a0，函数f(x)的图象经过点P，Q.若2pq36pq，则a_答案6解析由已知条件知f(p)，f(q)，所以，得1，整理得2pqa2pq，又2pq36pq，36pqa2pq，又pq0，a236，a6或a6，又a0，a6.三、模拟小题17(2021云南曲靖陆良县联办高级中学模拟)函数y 的定义域是()A(0，) B(，0)C0，) D(，0答案C解析要使函数有意义，需满足1
9、0，即1，解得x0，因此，函数y 的定义域为0，).故选C.18(2022湖北武汉高三开学考试)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(x0)f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”设f(x)3xm1(mR，m0)是定义在1，1上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是()A BC D(，0)答案A解析f(x)3xm1是定义在1，1上的“倒戈函数”，存在x01，1满足f(x0)f(x0)，3x0m13 x0m1，2m3x03 x02，构造函数y3x03 x02，x01，1，令t3x0，t，yt22在上单调递增，在(1，3上单调递减，t1取得最大值0，t或t3取得最小值，y，2m0，m0
10、.故选A.19(多选)(2021山东日照二模)若实数m，n满足5m4n5n4m，则下列关系式中可能成立的是()Amn B1mnC0mn1 Dnm0答案ACD解析由题意，实数m，n满足5m4n5n4m，可化为4m5m5n4n，设yf(x)4x5x，yg(x)5x4x，由初等函数的性质，可得f(x)，g(x)都是单调递增函数，画出函数f(x)，g(x)的图象，如图所示，作直线yt0，当t01时，nm0成立；当t01或t09时，mn成立；当1t09时，0mn9时，1n1).若对任意的x0，2t1，均有f(xt)f(x)3，则实数t的取值范围是_答案解析f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x
11、)ax(a1)，f(x)a|x|(a1)，则f(x)3(a|x|)3a|3x|f(3x)，则f(xt)f(x)3等价于f(xt)f(3x)，当x0时f(x)为增函数，则|xt|3x|，即8x22txt20对任意x0，2t1恒成立，设g(x)8x22txt2，则解得t，又2t10，t.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2021黑龙江鹤岗一中期末)函数f(x)2x是奇函数(1)求f(x)的解析式；(2)当x(0，)时，f(x)m2x4恒成立，求m的取值范围解(1)函数f(x)2x是奇函数，f(x)2xa2x2xf(x)，故a1，故f(x)2x.(2)当x(0，)时，f(x
12、)m2x4恒成立，即m11，h(t)t24t(t2)24(t1)，显然h(t)在(1，)上的最小值是h(2)4，故m14，解得m0，a1，bR).(1)若f(x)为偶函数，求实数b的值；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，试求实数a，b应满足的条件解(1)因为f(x)为偶函数，所以对任意的xR，都有f(x)f(x)，即a|xb|a|xb|，|xb|xb|，解得实数b0.(2)记h(x)|xb|当a1时，f(x)在区间2，)上是增函数，即h(x)在区间2，)上是增函数，所以b2，即b2.当0a1且b2.3(2021宁夏银川一中期末)已知定义在R上的奇函数f(x)，在x(0，1)时，f(x)且
13、f(1)f(1).(1)求f(x)在x1，1上的解析式；(2)证明：当x(0，1)时，f(x).解(1)f(x)是R上的奇函数且x(0，1)时，f(x)，f(0)0，当x(1，0)时，f(x)f(x)，又f(1)f(1)，f(1)f(1)，f(1)f(1)0.综上所述，当x1，1时，f(x)(2)证明：当x(0，1)时，f(x)，又2x22，当且仅当2x，即x0时取等号x(0，1)，2x2，f(x)，即4x2x10，设t2x(1，2)，不等式变为t2t10，t.令g()，g()，又，g()0，g()在上单调递减，gg()g(2)，即1.令h()，h()在上单调递增，h(2)h()h，即12，1
14、t，即0x的解集是.4(2022山东枣庄高三模拟)已知函数f(x)exaex，xR.(1)当a1时，证明：f(x)为偶函数；(2)若f(x)在0，)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a1，求实数m的取值范围，使mf(2x)2f(x)1在R上恒成立解(1)证明：当a1时，f(x)exex，定义域(，)关于原点对称，而f(x)exexf(x)，所以f(x)为偶函数(2)设x1，x20，)且x1x2，则f(x1)f(x2)ex1aex1(ex2aex2).因为x1x2，函数yex为增函数，所以ex1ex2，则ex1ex20，又因为f(x)在0，)上单调递增，所以f(x1)f(x2)，故f(x1)f(x2)0恒成立，即ae x1x2对任意的0x1x2恒成立，所以a1.故实数a的取值范围为(，1.(3)由(1)(2)知，函数f(x)exex在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，所以其最小值为f(0)2，且f(2x)e2xe2x(exex)22，设texex，则t2，)，则不等式mf(2x)2f(x)1恒成立，等价于mt2t1，即m恒成立，而，当且仅当，即t2时取得最大值，故m.因此实数m的取值范围为.
