1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义1命题在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以叫做命题，其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题判断真假的陈述句判断为真判断为假命题表述形式命题表述形式原命题若 p 则 q否命题若綈 p 则綈 q逆命题若 q 则 p逆否命题若綈 q 则綈 p(1)四种命题2四种命题及其关系(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有的 真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性3充分条件与必
2、要条件(1)如果pq，则p是q的，q是p的；(2)如果pq，qp，则p是q的没有关系充分条件必要条件充要条件相同1下列命题是真命题的为()A若1x1y，则 xyB若 x21，则 x1C若 xy，则 x yD若 xy，则 x21，则方程x22xq0无实根，真命题逆否命题：若方程x22xq0无实根，则有q1，真命题(3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2y20，真命题否命题：若x2y20，则实数x，y不全为零，真命题逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2y20，真命题即时训练 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假(1)等底等高的两个三角形是全等三角形；(2)若ab0，则a0或b0.解
3、：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题(2)逆命题：若a0或b0，则ab0.真命题否命题：若ab0，则a0且b0.真命题逆否命题：若a0且b0，则ab0.真命题 热点之二 充分条件与必要条件的判定充分必要条件的判定方法有：1利用定义判断这种方法必须明确哪个是条件，哪个是结论，然后再看是由条件推出结论，还是由结论推出条件，应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以证明2利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条
4、件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件；若A B，且AB，则p是q的既不充分也不必要条件例 2 下列各题中，p 是 q 的什么条件？(1)a，bR，p：a2b2，q：ab.(2)a，bR，p：ab，q：(ab2)2a2b22.(3)若非空集合 A、B、C 满足 ABC，且 B 不是 A 的子集，p：xC，q：xA.思路探究 先证：pq 是否成立，再证 qp 是否成立课堂记录(1)(5)232，但55，但 321且0b1”是“logab1,0b1时，有logab1且0b1logab0”成立；而log42，显然
5、“logab1且0b1且0b1”是“logab0)，且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围思路探究(1)用集合的观点考查问题，先写出綈 p 和綈 q，然后由綈 q綈 p，但綈 p 綈 q 来求 m 的取值范围；(2)将綈 p 是綈 q 的必要不充分条件转化为 p 是 q 的充分不必要条件再求解课堂记录 解法一：由 x22x1m20，得 1mx1m，綈 q：Ax|x1m 或 x0由|1x13|2，得2x10，綈 p：Bx|x10 或 x0，1m2，1m10.解得 m9.解法二：綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，綈 q綈 p，但綈 p 綈 q.pq，但 qp，即 p 是 q
6、 的充分不必要条件p：Cx|2x10，q：Dx|1mx1m，m0C D，1m10，m0，1m2，m9.实数 m 的取值范围是m|m9思维拓展(1)以考查充要条件的判断为重点，兼顾考查命题的四种形式及命题的等价性；考查命题转换、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力多以选择、填空题的形式出现(2)命题的真假识别与命题的等价，四种命题的关系及等价性以及充分条件、必要条件仍然是高考的主要考查目标，高考对这部分进行考查时，一般将其融入具体的数学问题之中即时训练 设命题p：2x23x10，命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：由 2x23x10 得12x1
7、.x2(2a1)xa(a1)0，得 axa1.p 是 q 的充分不必要条件，pq，qp.12，1 a，a1，a12，a11，且不同时取等号，0a12，a 的取值范围是0，12近年高考试题中，大都考查了充要条件，其考查形式为选择或填空题，考查内容多与集合、函数、数列、不等式、立体几何等知识相结合.2010年安徽卷理科第20题就考查了充要条件，涉及知识面广，充分考查学生对基础知识的掌握例 4(2010安徽高考)设数列 a1，a2，an，中的每一项都不为 0，证明an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有 1a1a2 1a2a31anan1na1an1.分析 分必要性和充分性分别进行证明必要性
8、是由数列an为等差数列推证 1a1a2 1a2a31anan1na1an1；充分性是由1a1a2 1a2a31anan1na1an1推证数列an为等差数列解 先证必要性：设数列an的公差为 d，若 d0，则所述等式显然成立若 d0，则1a1a2 1a2a31anan11d(a2a1a1a2 a3a2a2a3 an1ananan1)1d(1a1 1a2)(1a2 1a3)(1an 1an1)1d(1a1 1an1)1dan1a1a1an1 na1an1.再证充分性：依题意有：1a1a2 1a2a31anan1na1an1，1a1a2 1a2a31anan11an1an2 n1a1an2，得1an
9、1an2 n1a1an2na1an1.在上式两端同乘以a1an1an2，得a1(n1)an1nan2，同理可得a1nan(n1)an1，得2nan1n(anan2)，即an2an1an1an，所以an是等差数列综上知，结论正确1(2010广东高考)“m14”是“一元二次方程 x2xm0有实数解”的()A充分非必要条件 B充分必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件解析：x2xm0 有实数解，mx2x，令 f(x)x2x(x12)214，f(x)的值域为，14，x2xm0 有实数解时，m14，m14是 x2xm0 有实数解的充分非必要条件答案：A2(2010上海高考)“x2k4(kZ)”是“t
10、anx1”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当 x2k4时，tanx1，充分性成立又当 tanx1 时，xk4，x2k4不成立，即 x2k4是 tanx1 的不必要条件，x2k4是 tanx1 的充分不必要条件答案：A3 (2010 北 京 高 考)a，b 为 非 零 向量“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：f(x)(xab)(xba)x2abxb2xa2abx2abx(b2a2)ab.充分性：ab，ab0，f(x)x(b2a2)，若|a|b|，则f(x)是一次函数，若|a|b|，则f(x)是常函数，充分性不成立必要性：f(x)是一次函数，ab0且b2a20，ab且|b|a|，必要性成立故选B.答案：B
