1、函数性质的综合问题一、选择题1(2021山西临汾市二模)已知函数f(x)在定义域R上为偶函数，当x2x10，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，则满足f(2x1)x10时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，f(x2)f(x1)0恒成立，即函数f(x)在(0，)上单调递增，又函数f(x)的图象关于直线x0对称，函数f(x)在(，0)上单调递减，若要满足f(2x1)f，则需2x1，解得x2(2021浙江金华市高三模拟)下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是()Aylog2(x) Bysin xCy2x2x Dy|x1|C对于A, xR，f(x)log2log2，因为y是减函数，
2、ylog2x是增函数，根据复合函数的单调性的判断方法(同增异减)，所以f(x)是减函数，故A错误；对于B，xR，由ysin x的性质可得ysin x在xR上不具备单调性，故B错误；对于C，xR，因为y2x与y2x都是增函数，所以y2x2x是增函数，f(x)2x2xf(x)，所以f(x)是奇函数，故C正确；对于D，xR，f(x)|x1|f(x)，故D错误3(2021河南焦作市高三二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x1)，当0x2时，由f(a)f(3)可得a3，a3；当a2时，则f(a)f(3)等价于f(a)f(1)，可解得a1，a1，综上，a1或a35(2020全国卷)设函数
3、f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则f(x)()A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减D由得函数f(x)的定义域为，其关于原点对称，因为f(x)ln|2(x)1|ln|2(x)1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C当x时，f(x)ln(2x1)ln(12x)，易知函数f(x)单调递增，排除B当x时，f(x)ln(2x1)ln(12x)lnln，易知函数f(x)单调递减，故选D6(2020全国卷)已知函数f(x)sin x，则()Af(x)的最小值为2Bf(x)的图象关于y轴对称Cf(x)的图象
4、关于直线x对称Df(x)的图象关于直线x对称D由题意得sin x1,0)(0,1对于A，当sin x(0,1时，f(x)sin x22，当且仅当sin x1时取等号；当sin x1,0)时，f(x)sin x22，当且仅当sin x1时取等号，所以A错误对于B，f(x)sin(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误对于C，f(x)sin(x)，f(x)sin(x)sin x，则f(x)f(x)，f(x)的图象不关于直线x对称，所以C错误对于D，fsincos x，fsincos x，所以ff，f(x)的图象关于直线x对称，所以D正确故选D二、填空题7已知f(x)是定义
5、在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_6f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期为6，91915361，f(919)f(1)又f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(1)68定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_f(x)f(x2)0，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4，故正确；又f(4x)f(x)，所以f(2x)f(2x)，即f(x)的图象关于直
6、线x2对称，故正确；由f(x)f(4x)得f(x)f(4x)f(x)，故正确9定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)f(3x)，f(2 020)2，则f(1)_2由f(x)f(3x)得f(3x)f(x)，从而f(6x)f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2 020)f(4)f(1)f(1)2所以f(1)2三、解答题10设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)又f(
7、x)的定义域为R，f(x)是偶函数(2)当x0,1时，x1,0，则f(x)f(x)x；从而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2故f(x)11设函数f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x(1)求f()的值；(2)当4x4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故函数yf(x)的图象关于直线
8、x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB441定义在R上的函数f(x)满足：对任意xR有f(x4)f(x)；f(x)在0,2上是增函数；f(x2)的图象关于y轴对称则下列结论正确的是()Af(7)f(6.5)f(4.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(4.5)f(6.5)f(7)Df(4.5)f(7)f(6.5)D由知函数f(x)的周期为4，由知f(x2)是偶函数，则有f(x2)f(x2)，即函数f(x)图象的一条对称轴是x2，由知函数f(x)在0,2上单调递增，则
9、在2,4上单调递减，且在0,4上越靠近x2，对应的函数值越大，又f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)f(3)f(2.5)，即f(4.5)f(7)f(6.5)故选D2设函数f(x)则不等式f(1|x|)f(2)0的解集为_(3,3)由函数解析式知f(x)在R上单调递增，且f(2)2f(2)，则f(1|x|)f(2)0f(1|x|)f(2)f(2)，由单调性知1|x|2，解得x(3,3)3已知函数yf(x)在定义域1,1上既是奇函数又是减函数(1)求证：对任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1
10、a2)0，求实数a的取值范围解(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，因为f(x)在1,1上是减函数且为奇函数，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定义域1,1上是减函数，得即解得0a1故所求实数a的取值范围是0,1)1已知函数f(x)是定
11、义在R上的偶函数，对于任意的x都有f(x6)f(x)f(3)，且f(4)2，当x1，x20,3)(x1x2)时，都有0，则f(2 020)_，当x(0,9)时，不等式20，所以f(x)在0,3)上是增函数，则f(x)在(3,0上是减函数，在3,6上是减函数，f(2)f(2)f(4)2，x(0,3时，由2f(x)0得2x3；x(3,6)时，由2f(x)0得3x4；x6,9)时，由2f(x)0得8x9所以所求解集为(2,4)(8,9)2函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(
12、3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)因为对于任意x1，x2D有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0(2)f(x)为偶函数，证明如下：f(x)定义域关于原点对称，令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，所以f(1)f(1)0令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x1)2等价于f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数，所以0|x1|16，解得15x17且x1，所以x的取值范围是(15,1)(1,17)
