1、章末复习提升课1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程1或1(ab0)1或1(a0，b0)y22px或y22px或x22py或x22py(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线yx或yx无限延展，没有渐近线，有准线变量范围|x|a，|y|b或|y|a，|x|b|x|a或|y|ax0或x0或y0或y0对称性对称中
2、心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e，且0e1e，且e1e1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2.椭圆的焦点三角形设P为椭圆1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且F1PF2，则PF1F2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积Sb2tan .(2)焦点三角形的周长L2a2c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即
3、yx.(2)如果双曲线的渐近线为0时，它的双曲线方程可设为(0)4共轭双曲线(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距(3)与1具有相同渐近线的双曲线系方程为k(k0)5抛物线方程的设法对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2ax(a0)或x2ay(a0)6抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长AB的一个重要结论(1)y22px(p0)中，ABx1x2p.(2)y22px(p0)中，ABx1x2p.(3)x22py(p0)中，ABy1y2p.(4)x22py(p0)中，ABy1y2p.1椭圆的定义PF1PF22a中，应有2aF1F2，双曲
4、线定义|PF1PF2|2a中，应有2aF1F2，抛物线定义中，定点F不在定直线l上2椭圆中几何量a，b，c满足a2b2c2，双曲线中几何量a，b，c满足a2b2c2.3椭圆离心率e(0，1)，双曲线离心率e(1，)，抛物线离心率e1.4求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式5由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母的大小，双曲线看x2，y2系数的符号6直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行圆锥曲线定义及应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要
5、有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略研究有关点之间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O24，动圆M与O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线解如图，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由O1O24，有O1(2，0)，O2(2，0)设动圆的半径为r，由动圆M与圆O1内切，有MO1|r1|.由动圆M与圆O
6、2外切，有MO2r2.所以MO2MO13或MO2MO13，因为O1O24，所以MO2MO14，所以MO2MO13.所以M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支，所以a，c2，所以b2c2a2，所以M点的轨迹方程为1(xb0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为_解析(1)因为抛物线焦点为(1，0)，所以双曲线的焦点也在x轴上，故可设所求双曲线标准方程为1(b0)又双曲线的渐近线为y2x，故2.解得b2.即所求双曲线的标准方程为1.(2)因为椭圆的离心率为，所以，所以a2b.故椭圆方程为x24y24b2.因
7、为双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，所以渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，所以b25，即a24b220.故椭圆C的方程为1.答案(1)1(2)1圆锥曲线的几何性质椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性、以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等(1)已知椭圆1(ab0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是_(2)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦
8、距等于_解析(1)abc2，即a2(a2c2)12c4，所以(a23c2)(a24c2)0，所以a24c2，a2c，故e.(2)双曲线的一条渐近线方程为0，即bxay0，焦点(c，0)到该渐近线的距离为，故b，结合2，c2a2b2得c2，则双曲线C的焦距为2c4.答案(1) (2)4圆锥曲线中的最值问题与圆锥曲线有关的最值问题的求解策略与方法(1)平面几何法两点间的任意折线段长之和，以两点间直线段长为最短|ABAC|BC，当且仅当A、B、C三点共线，且A在B、C外侧时取“”(2)目标函数法建立目标函数与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方
9、法确定最值(1)设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_(2)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e.已知点A到这个椭圆上的点的最远距离为，则这个椭圆方程是_解析(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x1；由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到点F(1，0)的距离之和最小显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为AF，即为.(2)设椭圆方程为1(ab0)，M(x，y)为椭圆上的点，由得a2b，AM2x234b23(byb)，若b
10、，故矛盾若b，y时AM2最小，即4b237，b21，所求方程为y21.答案(1)(2)y211若双曲线y21的实轴长是离心率的2倍，则m()A.B2C3 D.解析：选A.由双曲线的方程，可知m0，a，b1，则c，所以22，解得m，故选A.2若直线kxy30与椭圆1有两个公共点，则实数k的取值范围是()Ak或k Dk0，即k或k时，直线与椭圆有两个公共点3在抛物线y212x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是_解析：由方程y212x，知焦点F(3，0)，准线l：x3，设所求点为P(x，y)，则由定义知PFx3.又PF9.所以x39，x6，代入y212x，得y6.故所求点为(6，6)，(6，6)答案
11、：(6，6)，(6，6)4如果双曲线的两个焦点分别为F1(3，0)、F2(3，0)，一条渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是_解析：因为双曲线的两个焦点分别为F1(3，0)、F2(3，0)，一条渐近线方程为yx，所以解得所以双曲线的标准方程是1.答案：15求与椭圆1有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程解：椭圆1的焦点是(0，5)、(0，5)，焦点在y轴上，于是设双曲线方程是1(a0，b0)又双曲线过点(0，2)，所以c5，a2，所以b2c2a225421，所以双曲线的标准方程是1，实轴长为4，焦距为10，离心率e，渐近线方程是yx.6已知椭圆1及直线l：yxm.(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.所以判别式36m236(2m218)36(m218)，因为直线l与椭圆有公共点，所以0，据此可解得3m3.故所求实数m的取值范围为3，3(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x1x2，x1x2，故AB ，当m0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
