1、第3讲 分类讨论思想【高考真题感悟】(2010全国)已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a16时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a16时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)内单调递减，在(2，)内单调递增，当x2时，f(x)有极小值，f(x)的极小值是f(2)12.(2)在(1,1)上，f(x)是增函数当且仅当f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即 3ax23ax10.a当 a0 时，恒成立b当 a0 时，若要成立，则需 3a123a110，解得 a16.c当 a0
2、时，若要成立，则需 3ax1223a4 10，即3a4 10，解得 a43.综上，a 的取值范围是43，16.考题分析 本题考查了函数导数的求法、函数极值的求法，考查了由函数单调性求参数范围的方法，考查了分类讨论的数学思想方法本题的核心是考查考生利用分类讨论的思想解决问题的能力易错提醒(1)f(x)0的根x1并不是函数f(x)的极值点考生易忽视对极值点的判断(2)不能将f(x)在(1,1)上单调递增转化为不等式进行研究(3)忽视分类讨论或讨论不到位是本题出错的关键思想方法概述 1分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础
3、性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数
4、，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论4解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(
5、3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总结归纳热点分类突破 题型一 根据数学概念分类讨论例1 已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行,且yg(x)在x1处取得极小值m1(m0)设f(x)g(x)x.(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；(2)k(kR)如何取值时，方程f(x)kx0有解，并求出该方程的解解(1)依题可设g(x)a(x1)2m1(a0)，则g(x)2a(x1)2ax2a，又g(x)的图象与直线y2x平行，2a2，a1，g(x)(x1)2m1x22xm，f(x)g(x)x xmx2.设 P(x0，y
6、0)，则 PQ2x20(y02)2x20 x0mx022x20m2x202m2 2m22m2 2|m|2m，当且仅当 2x20m2x20时，PQ2取最小值，即 PQ 取得最小值 2.当 m0 时，(2 22)m 2，解得 m 21；当 m0，当 m0，k11m或者 m0，k11m(m0)，或 k11m(m0)时，方程 f(x)kx0 有两解 x2 44m(1k)2(1k)；当 k11m时，方程 f(x)kx0 有一解 xm.探究提高 本题有两次运用了数学概念进行分类，一次是根据绝对值的概念，另一次是根据一元二次方程的概念，要注意的是不能见到形如(*)式这样的方程就认定它是一元二次方程，要根据系
7、数是否为零进行分类探究变式训练1 设0 x0且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小解 0 x1，01x1,01x21.当0a0，loga(1x)0；当a1时，loga(1x)0，所以|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0.由、可知，|loga(1x)|loga(1x)|.题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2 设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2,3，)(1)求q的取值范围；(2)设bnan2 32 an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小思维启迪(1)根据条件列出关于q的不等式，注意
8、分类讨论(2)能否判断bn为特殊数列进而求和作差、作商比较大小解(1)an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0，当q1时，Snna10；当q1时，Sna1(1qn)1q0，即1qn1q 0(n1,2,3，)，上式等价于1q01qn01qn0 (n1,2,3，)，解式得q1；解式，由于n可为奇数、可为偶数，故1q0且1q0，所以当1q2时，TnSn0，即TnSn；当12q2且q0时，TnSn0，即Tn0，即m0，它在0,1上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)f(0)m，f(1)22m.当m22m，又m43，即23m43时，ymaxm.当m22m，
9、又m43，即m23时，ymax22m.若43m 43 时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x143m0，所以函数y在0,1上是减函数于是ymaxf(0)m.由(1)，(2)可知，函数f(x)的最大值为ymax22m，m0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间12，12上，f(x)0恒成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x3 32 x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x1a.以下分
10、两种情况讨论：若00等价于f(12)0，f(12)0，即5a8 0，5a8 0.解不等式组得5a5.因此02，则01a0等价于f(12)0，f(1a)0，即5a8 0，1 12a20.解不等式组得 22 a5或a 22.因此2a5.综合，可知a的取值范围为0a5.题型四 根据图形位置或形状变化分类讨论例4 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是_解析 根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：(1)底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图(1)，此时a可以
11、取最大值，可知AD 3，SD a21，则有 a212 3，即a284 3(6 2)2，即有a2，1a0且a4，即0a0)用它们拼成一个三棱柱和四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是_解析 先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：S12124a3a(3a4a5a)4a12a248.再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积：若AC5a，AB4a，BC3a，则该四棱柱的全面积为S224a3a2(3a4a)2a24a228.若AC4a，AB3a，BC5a，则该四棱柱的全面积为S224a3a2(3a5a)2a24a232.若AC3a，AB5a，BC4a，则该四棱柱的全面积为S224a3a2(4a5a)2a24a236.又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a22812a24812a2200a0，命题p：函数yax(a1)在R上单调递减，命题q：不等式|x2a|x1的解集为R，若p和q有且只有一个是真命题，则a的取值范围是_押题依据 本题考查了函数、不等式及常用逻辑用语等热点内容体现了高考试题在知识的交汇处出题的特点，突出了对数学思想方法的考查故押此题押题级别 解析 若p真，则0a1.若q真，因为函数y|x2a|x在R上的最小值为2a，由2a1，得a12；若q假，则0a12.若p真q假，则01.故a的取值范围是01.0，12(1，)返回
