1、第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线【高考真题感悟】(2011江西)若椭圆x2a2y2b21 的焦点在 x 轴上，过点(1，12)作圆 x2y21 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_.解析 由题意可得切点 A(1,0).切点 B(m，n)满足n12m1mn，m2n21，解得 B(35，45).过切点 A，B 的直线方程为 2xy20.令 y0 得 x1，即 c1；令 x0 得 y2，即 b2.a2b2c25，椭圆方程为x25 y24 1.答案 x25 y241考题分析 本题考查了椭圆的标准方程及简单性质、圆的切线问题.题目综合考查了椭圆和圆这两个热
2、点问题，具有一定的综合性.题目难度中档，代表了高考对这部分内容的考查方向.易错提醒(1)不能正确地将问题转化.如：求椭圆方程，关键是转化为求直线 AB 的方程.(2)切点 A、B 的坐标易求错.(3)不会借用图形进行分析.主干知识梳理 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义PF1PF22a(2aF1F2)|PF1PF2|2a(2ab0)x2a2y2b21(a0，b0)y22px(p0)图形 范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于 x 轴，y 轴和原点对称关于 x 轴对称焦点(c,0)(p2，0)轴长轴长 2a，短轴长 2b
3、实轴长 2a，虚轴长 2b离心率eca1b2a2(0e1)e1准线xa2c(不作要求)xp2几何性质渐近线ybax热点分类突破 题型一 有关圆锥曲线的定义问题例 1 已知 P 为椭圆x24 y21 和双曲线 x2y221 的一个交点，F1，F2为椭圆的两个焦点，那么F1PF2的余弦值为_.思维启迪 双曲线的焦点与椭圆焦点相同用椭圆、双曲线的定义标出 PF1、PF2用余弦定理.解析 由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2 为它们的公共焦点，不妨设 PF1PF2，则PF1PF24PF1PF22，所以PF13PF21.又 F1F22 3，由余弦定理可知 cosF1PF213.13探究提高 圆锥曲线的定
4、义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节 部分：比如椭圆的定义中要求 PF1PF2F1F2，双曲线的定义中要求|PF1PF2|0，b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为_.解析 抛物线 y224x 的准线方程为 x6，故双曲线中 c6.由双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线方程为 y 3x，知ba 3，且 c2a2b2.由解得 a29，b227.故双曲线的方程为x29 y2271.x29 y2271探究提高 椭圆的方程、双曲线的方程、渐近线方程以及抛物线的方程、准线都是高
5、考的热点.在解题时，要充分利用条件，构造方程，运用待定系数法求解.变式训练 2 设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且BCx 轴.证明：直线 AC 经过原点 O.证明 方法一 如图所示，抛物线 y22px(p0)的焦点为 Fp2，0，经过点 F 的直线 AB 的方程可设为xmyp2；代入抛物线方程y22pmyp20.若记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是该方程的两个根.y1y2p2.BCx轴，且点 C在准线 xp2上，点 C的坐标为p2，y2，直线 CO 的斜率为 k y2p22py1y1x1.即
6、 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O.方法二 如图，记 x 轴与抛物线准线 l 的交点为 E，过 A 作 ADl，D 是垂足，则 ADFEBC.连结 AC，与 EF 相交于点 N，则ENADCNACBFAB，AFABNFBC，由抛物线的几何性质知 AFAD，BFBC，ENADBFABAFBCABNF，即点 N 是 EF 的中点，与抛物线顶点 O 重合，所以直线 AC 经过原点 O.题型三 求曲线方程问题例 3 已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 P 为椭
7、圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，OPOM，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.思维启迪(1)椭圆方程中的基本参数 a、c 的关系 ac7，ac1.(2)坐标转移法.解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a、c，由已知得ac1，ac7，解得a4，c3，又b2a2c2，b 7，所以椭圆 C 的方程为x216y27 1.(2)设 M(x，y)，其中 x4,4，由已知OP2OM22及点 P 在椭圆 C 上可得 9x211216(x2y2)2，整理得(1629)x2162y2112，其中 x4,4.当 34时，化简得 9y2112，所以点 M 的轨迹方程为 y4
8、73(4x4).轨迹是两条平行于 x 轴的线段.当 34时，方程变形为x21121629 y21121621，其中 x4,4.当 034时，点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足4x4 的部分；当340，n0).双曲线方程可设为x2my2n1(mn0).这样可以避免讨论和繁琐的计算.2.轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标解析法(坐标法).寻找动点与已知点满足的关系式几何关系.将动点与已知点的坐标代入几何关系代数化.化简整理方程简化.证明所得方程为所求的轨迹方程完成其充要性.(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：将几何关系直接
9、翻译成代数方程；定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意建系要符合最优化原则；求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式.步骤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.名师押题我来做 1.已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点 F1，F2，M 为双曲线上一点，且满足F1MF290，点 M 到 x 轴的距离为72，若F1MF2 的面积为 14，则双曲线的渐近线方程为_.押题
10、依据 对于圆锥曲线，定义是非常重要的，高考中常以填空题的形式灵活考查圆锥曲线的定义以及由定义所涉及的几何性质.本题突出定义，同时又考查了勾股定理等，方法也比较灵活，故押此题.押题级别 解析 由题意，得122c7214，所以 c4.又|MF1MF2|2a，MF21MF2282，12MF1MF214.所以 a 2，b 14.所以渐近线方程为 y 7x.答案 y 7x2.已知离心率为45的椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)上有一点 M 到椭圆两焦点的距离之和为 10.以椭圆 C 的右焦点 F(c,0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线 PT(T 为切点)，且点 P 满足 PTPB(B 为椭圆 C 的
11、上顶点).(1)求椭圆 C 的方程；(2)求点 P 所在的直线 l 的方程.押题依据 椭圆的方程、几何性质是解析几何的重要内容，是高考的热点问题.通常的考查方式为椭圆与直线综合、椭圆与向量综合等.本题突出考查了椭圆的几何性质、直线方程、圆等重要知识点，故押此题.押题级别 解(1)依题意有：a2b2c245ca2a10，解得a5b3c4，所以椭圆 C 的方程为x225y291.(2)设点 P(x，y).由(1)得 F(4,0)，所以圆 F 的方程为：(x4)2y29.因为 PT 为圆 F 的一条切线，则PTF 为直角三角形，所以 PT2PF2r2(x4)2y29.又 PB2x2(y3)2，所以(x4)2y29x2(y3)2，化简得，直线 l 的方程为 4x3y10.返回
