1、专题五 解析几何 第 1 讲 直线与圆【高考真题感悟】(2010山东)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上.直线 l：yx1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为_.解析 设圆心坐标为(x0,0)(x00)，由于圆过点(1,0)，则半径 r|x01|.圆心到直线 l 的距离为 d|x01|2.由弦长为 2 2可知|x01|22(x01)22，整理得(x01)24.x012，x03 或 x01(舍去).因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线 yx1 垂直的直线方程为 y(x3)，即 xy30.xy30 考题分析 本小题考查了直线的方
2、程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及圆的弦长、弦性质等.试题以直线与圆为背景，引入圆心坐标，以垂径定理为依据，构建方程，是解决该题的关键.易错提醒(1)不能熟练应用垂径定理，构建方程.(2)易忽视题目限制条件.如圆心在 x 轴的正半轴上.(3)所求直线斜率是直线 l 的斜率的负倒数.这也是许多考生易错的知识点.主干知识梳理 1.直线的方程(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围.(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况.(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解.(4)求直线方程
3、的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想.(5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系.另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线 l1，l2 斜率都存在，且不重合的条件下，才有 l1l2k1k2与 l1l2k1k21.(7)在运用公式 d|C1C2|A2B2求平行直线间的距离时，一定要把 x，y 项的系数化成相等的系数.2.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心为(a，b)，半径
4、为 r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为(D2，E2)，半径为 r D2E24F2；二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是B0，AC0，D2E24AF0.(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法.根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程.热点分类突破 题型一 直线的概念、方程及位置关系问题例 1 已知直线 l1：x2my30，直线 l2的方向向量为 a(1,2)，若 l1l2，则 m 的值为_.解析 由直线 l2 的方向向量为 a(1,2)，知直线 l2 的斜率 k22，l1l
5、2，直线 l1 的斜率存在，且 k1 12m，由 k1k21，即 12m21，得 m1.故填1.1 探究提高 本题考查两条直线的垂直关系，这类问题在高考中属于基本问题，常与充要条件的判断、向量知识、圆或圆锥曲线等知识结合起来命题.虽为基础知识，但最易陷入易混易错的陷阱.变式训练 1 若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1与 l2间的距离为_.解析 由 l1l2，知 3a(a2)且 2a6(a2)，2a218，求得 a1，l1：xy60，l2：xy230，两条平行直线 l1 与 l2间的距离为 d62312(1)28 23.8 23题型二 圆的方程及圆的性质问题
6、例 2 已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A(1,0)，且被 x 轴分成两段弧长之比为 12，求圆 C 的方程.解 圆 C 关于 y 轴对称，圆 C 的圆心 C 在 y 轴上，可设 C(0，b).设圆 C 的半径为 r.则圆 C 的方程为 x2(yb)2r2.依题意，得12(b)2r2|b|12r解之得r243b 33.圆 C 的方程为 x2y 33243.探究提高 求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.(3)本题突破的关键是，将 x 轴分成两段弧长之比
7、为 12，转化为弦所对圆心角为 120.变式训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)x22xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C.(1)求实数 b 的取值范围；(2)求圆 C 的方程；(3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？并证明你的结论.解(1)令 x0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b).令 f(x)0，得 x22xb0，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0.(2)设所求圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，令 y0，得 x2DxF0，这与 x22xb0 是同一个方程，故 D2，Fb.令 x0，y2Eyb0，此方程有一个
8、根为 b，代入得出 Eb1.所以圆 C 的方程为 x2y22x(b1)yb0.(3)由 x2y22x(b1)yb0，得：x2y22xyb(y1)0.令x2y22xy0y10，得x0y1 或x2y1圆 C 必过定点(0,1)和(2,1)，证明如下：将(0,1)代入圆 C 的方程，得左边021220(b1)b0，右边0.所以圆 C 必过定点(0,1).同理可证圆 C 必过定点(2,1).题型三 直线与圆的综合应用问题例 3 如图所示，已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线 l1：x2y70 相切.过点 B(2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是MN 的中点，直线 l 与 l1
9、相交于点 P.(1)求圆 A 的方程；(2)当 MN2 19时，求直线 l 的方程；(3)BQBP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.思维启迪 第(1)问由圆 A 与直线 l1 相切易求出圆的半径，进而求出圆 A 的方程；第(2)问注意直线 l 的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论.解(1)设圆 A 的半径为 R.圆 A 与直线 l1：x2y70 相切，R|147|52 5.圆 A 的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意；当直线
10、 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.连结 AQ，则 AQMN.MN2 19，AQ 20191.由 AQ|k2|k211，得 k34.直线 l 的方程为 3x4y60.所求直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.(3)AQBP，AQBP0.BQBP(BAAQ)BPBABPAQBPBABP.当直线 l 与 x 轴垂直时，得 P2，52.则BP0，52，又BA(1,2)，BQBPBABP5.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x2).由yk(x2)，x2y70，解得 P4k712k，5k12k.BP512k，5k12k.BQBPBAB
11、P 512k 10k12k5.综上所述，BQBP是定值，且BQBP5.探究提高(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d 及半弦长l2，构成直角三角形关系来处理.(2)要注意分类讨论，即对直线 l 分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨.变式训练 3 已知圆 O 的方程为 x2y21，直线 l1 过点 A(3，0)，且与圆 O 相切.(1)求直线 l1的方程；(2)设圆 O 与 x 轴交于 P，Q 两点，M 是圆 O 上异于 P，Q的任意一点，过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l2，直线 PM交直线 l2于点 P，直线 QM 交直线
12、l2于点 Q.求证：以PQ为直径的圆 C 总过定点，并求出定点坐标.(1)解 直线 l1 过点 A(3,0)，且与圆 C：x2y21 相切，易知斜率存在，设直线 l1 的方程为 yk(x3)，即 kxy3k0，则圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离为 d|3k|k211，解得 k 24.直线 l1 的方程为 y 24(x3).(2)证明 对于圆方程 x2y21，令 y0，得 x1，即 P(1,0)，Q(1,0).又直线 l2过点 A 且与 x 轴垂直，直线 l2的方程为 x3.设 M(s，t)，则直线 PM 方程为 y ts1(x1).解方程组x3，y ts1(x1)，得 P3，4ts1.同
13、理可得 Q3，2ts1.以 PQ为直径的圆 C 的方程为(x3)(x3)y 4ts1 y 2ts1 0.又 s2t21，整理得(x2y26x1)6s2ty0.若圆 C 经过定点，只需令 y0，从而有 x26x10，解得 x32 2，圆 C 总经过定点，坐标为(32 2，0).规律方法总结 1.由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况.2.处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆
14、的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化.3.直线与圆相交于 A，B 两点，则有 AB2 r2d2，其中 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离.4.直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值.(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值.(3)过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值.(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题.(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.5.过两圆 C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20 的交点的圆系方程为 x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.6.两圆相交，将两圆方程联立消去二
15、次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.名师押题我来做 1.已知直线 xym0 与圆 x2y22 交于不同的两点 A、B，O 是坐标原点，若|OAOB|AB|，那么实数 m 的取值范围是_.押题依据 高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围.本题以向量作为表达形式，新颖别致，实属第二种题型，故押此题.押题级别 解析 如图所示，设点 D 为线段 AB 的中点，由|OAOB|AB|，则 2ODAB,4OD2AB2，即 4|m|2242|m|22，化简，得 1|m|222，求得2m 2或 2m0)，由于圆过点(1,0)，则半径 r|x01
16、|.圆心到直线 l 的距离为 d|x01|2.由弦长为 2 2可知|x01|22(x01)22，整理得(x01)24.x012，x03 或 x01(舍去).因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线 yx1 垂直的直线方程为 y(x3)，即 xy30.xy30 考题分析 本小题考查了直线的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及圆的弦长、弦性质等.试题以直线与圆为背景，引入圆心坐标，以垂径定理为依据，构建方程，是解决该题的关键.易错提醒(1)不能熟练应用垂径定理，构建方程.(2)易忽视题目限制条件.如圆心在 x 轴的正半轴上.(3)所求直线斜率是直线 l 的斜率的负倒数.这也是许多考
17、生易错的知识点.主干知识梳理 1.直线的方程(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围.(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况.(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解.(4)求直线方程的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想.(5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系.另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无
18、斜率的情形，在两条直线 l1，l2 斜率都存在，且不重合的条件下，才有 l1l2k1k2与 l1l2k1k21.(7)在运用公式 d|C1C2|A2B2求平行直线间的距离时，一定要把 x，y 项的系数化成相等的系数.2.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心为(a，b)，半径为 r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为(D2，E2)，半径为 r D2E24F2；二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是B0，AC0，D2E24AF0.(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用
19、待定系数法.根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程.热点分类突破 题型一 直线的概念、方程及位置关系问题例 1 已知直线 l1：x2my30，直线 l2的方向向量为 a(1,2)，若 l1l2，则 m 的值为_.解析 由直线 l2 的方向向量为 a(1,2)，知直线 l2 的斜率 k22，l1l2，直线 l1 的斜率存在，且 k1 12m，由 k1k21，即 12m21，得 m1.故填1.1 探究提高 本题考查两条直线的垂直关系，这类问题在高考中属于基本问题，常与充要条件的判断、向量知识、圆或圆锥曲线等知识结合起来命题.虽为基础知识，但最易陷入易混易错的陷阱.变式训练 1 若直线 l1：xay
20、60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1与 l2间的距离为_.解析 由 l1l2，知 3a(a2)且 2a6(a2)，2a218，求得 a1，l1：xy60，l2：xy230，两条平行直线 l1 与 l2间的距离为 d62312(1)28 23.8 23题型二 圆的方程及圆的性质问题例 2 已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A(1,0)，且被 x 轴分成两段弧长之比为 12，求圆 C 的方程.解 圆 C 关于 y 轴对称，圆 C 的圆心 C 在 y 轴上，可设 C(0，b).设圆 C 的半径为 r.则圆 C 的方程为 x2(yb)2r2.依题意，得12(b)2r2|b|12r解
21、之得r243b 33.圆 C 的方程为 x2y 33243.探究提高 求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.(3)本题突破的关键是，将 x 轴分成两段弧长之比为 12，转化为弦所对圆心角为 120.变式训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)x22xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C.(1)求实数 b 的取值范围；(2)求圆 C 的方程；(3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？并证明你的结论.解
22、(1)令 x0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b).令 f(x)0，得 x22xb0，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0.(2)设所求圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，令 y0，得 x2DxF0，这与 x22xb0 是同一个方程，故 D2，Fb.令 x0，y2Eyb0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1.所以圆 C 的方程为 x2y22x(b1)yb0.(3)由 x2y22x(b1)yb0，得：x2y22xyb(y1)0.令x2y22xy0y10，得x0y1 或x2y1圆 C 必过定点(0,1)和(2,1)，证明如下：将(0,1)代入圆 C 的方程，得左边021220(b1)
23、b0，右边0.所以圆 C 必过定点(0,1).同理可证圆 C 必过定点(2,1).题型三 直线与圆的综合应用问题例 3 如图所示，已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线 l1：x2y70 相切.过点 B(2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是MN 的中点，直线 l 与 l1相交于点 P.(1)求圆 A 的方程；(2)当 MN2 19时，求直线 l 的方程；(3)BQBP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.思维启迪 第(1)问由圆 A 与直线 l1 相切易求出圆的半径，进而求出圆 A 的方程；第(2)问注意直线 l 的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外
24、应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论.解(1)设圆 A 的半径为 R.圆 A 与直线 l1：x2y70 相切，R|147|52 5.圆 A 的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.连结 AQ，则 AQMN.MN2 19，AQ 20191.由 AQ|k2|k211，得 k34.直线 l 的方程为 3x4y60.所求直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.(3)AQBP，AQBP0.BQBP(BAAQ
25、)BPBABPAQBPBABP.当直线 l 与 x 轴垂直时，得 P2，52.则BP0，52，又BA(1,2)，BQBPBABP5.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x2).由yk(x2)，x2y70，解得 P4k712k，5k12k.BP512k，5k12k.BQBPBABP 512k 10k12k5.综上所述，BQBP是定值，且BQBP5.探究提高(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d 及半弦长l2，构成直角三角形关系来处理.(2)要注意分类讨论，即对直线 l 分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨.变式训练
26、 3 已知圆 O 的方程为 x2y21，直线 l1 过点 A(3，0)，且与圆 O 相切.(1)求直线 l1的方程；(2)设圆 O 与 x 轴交于 P，Q 两点，M 是圆 O 上异于 P，Q的任意一点，过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l2，直线 PM交直线 l2于点 P，直线 QM 交直线 l2于点 Q.求证：以PQ为直径的圆 C 总过定点，并求出定点坐标.(1)解 直线 l1 过点 A(3,0)，且与圆 C：x2y21 相切，易知斜率存在，设直线 l1 的方程为 yk(x3)，即 kxy3k0，则圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离为 d|3k|k211，解得 k 24.直线 l1 的
27、方程为 y 24(x3).(2)证明 对于圆方程 x2y21，令 y0，得 x1，即 P(1,0)，Q(1,0).又直线 l2过点 A 且与 x 轴垂直，直线 l2的方程为 x3.设 M(s，t)，则直线 PM 方程为 y ts1(x1).解方程组x3，y ts1(x1)，得 P3，4ts1.同理可得 Q3，2ts1.以 PQ为直径的圆 C 的方程为(x3)(x3)y 4ts1 y 2ts1 0.又 s2t21，整理得(x2y26x1)6s2ty0.若圆 C 经过定点，只需令 y0，从而有 x26x10，解得 x32 2，圆 C 总经过定点，坐标为(32 2，0).规律方法总结 1.由于直线方
28、程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况.2.处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化.3.直线与圆相交于 A，B 两点，则有 AB2 r2d2，其中 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离.4.直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值.(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值.(3)过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最
29、值.(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题.(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.5.过两圆 C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20 的交点的圆系方程为 x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.6.两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.名师押题我来做 1.已知直线 xym0 与圆 x2y22 交于不同的两点 A、B，O 是坐标原点，若|OAOB|AB|，那么实数 m 的取值范围是_.押题依据 高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围.
30、本题以向量作为表达形式，新颖别致，实属第二种题型，故押此题.押题级别 解析 如图所示，设点 D 为线段 AB 的中点，由|OAOB|AB|，则 2ODAB,4OD2AB2，即 4|m|2242|m|22，化简，得 1|m|222，求得2m 2或 2m2.故填(2，2 2，2).答案(2，2 2，2)2.与直线 xy20 和曲线 x2y212x12y540 都相切的半径最小的圆的标准方程是_.押题依据 直线与圆的位置关系是解析几何初步的重要内容，体现了运用代数方法处理几何问题的重要思想，是高考考查的重点.押题级别 解析 曲线化为(x6)2(y6)218，表示一个圆，其圆心到直线 xy20 的距离为 d|662|25 2.所求的最小圆的圆心在直线 yx 上，其到直线 xy20 的距离为 2，圆心坐标为(2,2)，则其标准方程为(x2)2(y2)22.(x2)2(y2)22返回
