1、平面解析几何一、选择题1已知抛物线x22py上一点A(m,1)到其焦点的距离为p，则p()A2 B2 C4 D4A依题意可知抛物线的准线方程为y，抛物线x22py(p0)上一点A(m,1)到其焦点的距离为p，点A到准线的距离为1p，解得p2故选A2圆心在直线xy0上且与y轴相切于点(0,1)的圆的方程是()A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22A根据题意，要求圆的圆心在直线xy0上，则设要求圆的圆心的坐标为(m，m)，又由要求圆与y轴相切于点(0,1)，则圆心在直线y1上，则m1，要求圆的半径r1，故要求圆的方程为(x1)2(y1)
2、21，故选A3已知直线l1：xsin 2y10，直线l2：xycos 30，若l1l2，则tan 2()A B C DB直线l1：xsin 2y10，直线l2：xycos 30，若l1l2，则sin 2cos 0，即sin 2cos ，所以tan 2，所以tan 2故选B4(2021河北承德高三三模)已知双曲线C：1(a0)的一条渐近线方程为2xy0，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若5，则()A1 B1或9C3或9 D9D由题意知2，所以a2，所以c2，所以|PF1|50，b0)的右焦点与抛物线y22px(p0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线
3、的渐近线于C，D两点，若|CD|AB|，则双曲线的离心率为()A B C2 D3A设双曲线1(a0，b0)与抛物线y22px(p0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y22px(p0)的准线为xc，令xc，则1，解得y，所以|AB|，又因为双曲线的渐近线方程为yx，所以|CD|，所以，即cb，所以a2c2b2c2，所以双曲线的离心率e二、填空题9(2021辽宁大连高三期末)已知椭圆1(ab0)与双曲线(a0，b0)的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 yx因为椭圆1(ab0)与双曲线(a0，b0)的焦点相同，所以a2b2，即a22b2，解得ab，所以双曲线的渐近线方程为yxx10已知双曲线C1：1
4、，当双曲线C1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线C2：y22px(p0)的焦点，若A，B是抛物线C2上的两点，且|AF|BF|8，则AB中点的横坐标为 2由题意可得42m0，即m2，因为c2m2142m(m1)24，所以当m1时，焦距2c取得最小值，所以双曲线C1的方程为1，所以双曲线C1的右焦点为(2,0)，即抛物线C2的焦点为(2,0)，所以2，p4，则抛物线C2：y28x，其准线方程为x2，设A(x1，y1)B(x2，y2)，则|AF|BF|x12x228，解得x1x24，线段AB中点的横坐标为211(2021桂林模拟)设F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆上一个点，F
5、1PF260，|F1F2|为|PF1|与|PF2|的等比中项，则该椭圆的离心率为 因为|F1F2|为|PF1|与|PF2|的等比中项，所以|F1F2|24c2|PF1|PF2|，在F1PF2中，由余弦定理知，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，即4c24a212c2，所以4c2a2，则离心率e12设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则 8过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不
6、妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以8三、解答题13已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点P(x0,3)为抛物线C上一点，且点P到焦点F的距离为4，过A(a,0)作抛物线C的切线AN(斜率不为0)，切点为N(1)求抛物线C的标准方程；(2) 求证：以FN为直径的圆过点A解(1)由题知，|PF|yP，43，解得p2，抛物线C的标准方程为x24y(2)设切线AN的方程为yk(xa)，k0，联立，消去y可得x24kx4ka0，由题意得16k216ka0，即ak，切点N(2a，a2)，又F(0,1)，(a,1)(a，a2)0FAN90，故以FN为直
7、径的圆过点A14(2020全国卷)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程解(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中c不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c由|CD|AB|得4c，即322解得2(舍去)或所以C1的离心率为(2)由(1)知a2c，bc，故C1：1设M(x0，y0)，则1，y4cx0，故1由
8、于C2的准线为xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故x05c，代入得1，即c22c30，解得c1(舍去)或c3所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y212x15在平面直角坐标系xOy中，已知A(2,0)，B(2,0)，且|PA|PB|4，记动点P的轨迹为C(1)求曲线C的方程；(2)过点(2,0)的直线l与曲线C相交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得MQONQO？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由解(1)由题意可知|PA|PB|4|AB|4，由椭圆的定义可得：动点P的轨迹C是以A，B为焦点的椭圆，其中2a4，2c4，a2，c2，b2a2c24，曲线C的方程为1(2
9、)假设定点Q存在，设Q(m,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为xty2MQONQO，直线MQ与直线NQ的斜率互为相反数，即kMQkNQ0由， 得(t22)y24ty40，y1y2，y1y2又kMQ，kNQ，0，整理得2ty1y2(2m)(y1y2)0，2t(2m)0，解得m4所以存在定点Q(4,0)，使得MQONQO16(2021北京高考)已知椭圆E：1(ab0)过点A(0，2)，以四个顶点围成的四边形面积为4(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0，3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y3于点M，N，若|PM|PN|15，求k的取值范围解
10、(1)因为椭圆E过点A(0，2)，所以b2以四个顶点围成的四边形面积为4，故2a2b2ab4联立，解得，故椭圆E的标准方程为1(2)由题意可得，直线l的斜率存在，且直线l的方程为ykx3，设B(x1，y1)，C(x2，y2)联立，消去y整理得(5k24)x230kx250，(30k)24(5k24)25400(k21)0，故k1或k1由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，进而可得y1y2k(x1x2)6，y1y2(kx13)(kx23)k2x1x23k(x1x2)9直线AB的方程为y2x，令y3，则x，故点M直线AC的方程为y2x，令y3，则x，故点N|PM|PN|5k|15，即|k|3，解得3k3综上，k的取值范围为3，1)(1,3
