1、专题八 数学思想方法 第 1 讲 函数与方程思想【高考真题感悟】(2010陕西)已知函数 f(x)3x2，x0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切热点分类突破 题型一 函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用例1 已
2、知实数abc，abc1，a2b2c21，求ab与a2b2的范围解 abc1ab1c.a2b2c21(ab)22abc210(1c)22abc210abc2c，且ab1c.构造一个一元二次方程x2(1c)xc2c0，a，b是该方程的两个不相等的根，且两根都大于c，令f(x)x2(1c)xc2c，(二次函数根的分布)则图象与x轴有两个交点且都在(c，)内的充分必要条件：(c1)24(c2c)01c2 cf(c)3c22c013c011c43，891c20，a3a10，即a1或a0，a1，故a10.abaa3a1(a1)25(a1)4a1(a1)4a159.当且仅当a1 4a1，即a3时取等号又a3
3、时，(a1)4a15是关于a的单调增函数ab的取值范围是9，)方法二(看成不等式的解集)a，b为正数，ab2 ab，又abab3，ab2 ab3.即(ab)22 ab30，解得 ab3或 ab1(舍去)，ab9.ab的取值范围是9，)方法三 若设abt，则abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的两个正根从而有(t3)24t0abt30abt0，即t1或t9t3t0，解得t9，即ab9.ab的取值范围是9，)题型二 函数与方程思想在方程问题中的应用例2 如果方程cos2xsin xa0在(0，2上有解，求a的取值范围思维启迪 可分离变量为acos2xsin x，转化为确定的相关函数的值域解
4、 方法一 把方程变形为acos2xsin x.设f(x)cos2xsin x(x(0，2)显然当且仅当a属于f(x)的值域时，af(x)有解f(x)(1sin2x)sin x(sin x12)254，且由x(0，2知sin x(0,1易求得f(x)的值域为(1,1故a的取值范围是(1,1方法二 令tsin x，由x(0，2，可得t(0,1将方程变为t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解设f(t)t2t1a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t12，如图所示因此f(t)0在(0,1上有解等价于f(0)0f(1)0，即1a01a0，10，t1t220，解得132m4x恒成立，求x的取值范围思维
5、启迪 求f(t)的值域变更主元，将m看作主元构造g(m)m(x2)x24x4.解 t 2，8，f(t)12，3，从而m12，3，原题可转化为m(x2)(x2)20恒成立当x2时，不等式不成立x2，令g(m)m(x2)(x2)2为m的一次函数问题转化为g(m)在m12，3 上恒大于0.g12 0，g(3)0.解得x2或xm(x21)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围解 问题可变成关于m的一次不等式：(x21)m(2x1)0在2,2上恒成立，设f(m)(x21)m(2x1)，则f(2)2(x21)(2x1)0f(2)2(x21)(2x1)4xp3恒成立的x的取值范围是_押题依据 不等式是高考的必考内容，通常以填空题的形式出现，也可能在综合题中的某问出现本题以变更主元的方法构建函数，考查了函数思想的应用押题级别 解析 x2px4xp3对于0p4恒成立可以变形为x24x3p(x1)0对于0p4恒成立，所以一次函数f(p)(x1)px24x3在区间0,4上的最小值大于0，即x24x30 x210，所以x的取值范围是(，1)(3，)(，1)(3，)返回
