1、 1互斥事件 事件A与B不可能同时发生，这种不可能的两个事件叫做互斥事件如果事件A1，A2，An中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，An彼此互斥 若A、B是互斥事件，则A包含的基本事件的集合与B包含的基本事件的集合的交集为同时发生.如果事件A、B互斥，那么事件AB发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和P(AB)一般地，如果事件A1、A2、An彼此互斥，那么事件A1A2An发生(即A1、A2、An中恰有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1A2An)P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)1李明同学在练习投篮时连续投篮两次
2、，设A“至少有一次投中”，则A是()A至多有一次投中 B两次都投中 C两次都未中D只有一次投中 答案 C 解析 投篮两次“至少一次投中”与“两次都未中”不可能同时发生 2(2010上海)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(AB)_(结果用最简分数表示)答案 726解析 考查互斥事件概率公式P(AB)1521352 726.3(08全国)从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A.929 B.1029C.1929 D.2029 答案 D解析 依题意得，从这
3、些同学中任选 3 名同学的方法有 C303 种，其中既有男同学又有女同学的方法有 C303(C203C103)种，因此选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率等于 1C203C103C3032029，选 D.4(09江西)为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 3种卡片可获奖，现购买该食品 5 袋，能获奖的概率为()A.3181 B.3381C.4881 D.5081 答案 D 解析 记3种不同类型的卡片分别是A，B，C.依题意，购买5袋该食品可能收集到的卡片的不同结果有35种，其中能获奖的收集结果有两类：第一类，所收集的5张中其中某种有三
4、张，而另两张分别是其余两种(如3张A、1张B、1张C)，这样的收集结果共有3C53C2160种；第二类，所收集的5张中其中某两种各有两张，而另一张是余下的一种(如2张A、2张B、1张C)，这样的收集结果共有3C52C3290种因此所求的概率等于3C53C213C52C32355081，选 D.5甲、乙二人同时解决一道数学题，甲做对的概率为0.7，乙做对的概率为0.8，则二人恰有一人做对的概率为()A0.56 B0.38 C0.75 D0.94 答案 B 解析 甲对乙不对的概率为0.7(10.8)0.14 乙对甲不对的概率为0.8(10.7)0.24 则二人恰有一人做对的概率为0.140.240
5、.38 故选B.例1 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：3只全是红球的概率；3只颜色全相同的概率；3只颜色不全相同的概率；3只颜色全不相同的概率【解析】设“3 只全是红球”为事件 A.从袋中有放回地抽取 3 次，每次取 1 只，共会出现 33327 种等可能的结果其中 3 只全是红球的结果只有一种，故事件 A 的概率为 P(A)127.“3 只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3 只全是红球”(设为事件 A)；“3 只全是黄球”(设为事件 B)；“3 只全是白球”(设为事件 C)，且它们之间是或者关系，故“3 只颜色全相同”这个事件可记为 ABC，由
6、于事件 A，B，C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件再由于红、黄、白球个数一样，故不难得到P(B)P(C)P(A)127，故 P(ABC)P(A)P(B)P(C)19.3 只颜色不全相同的情况较多，如有 2 只球同色而与另一只球不同色，可以 2 只红色或同黄色或同白色等；或 3 只球颜色全不相同等考虑起来比较麻烦，现在设“3只颜色不全相同”为事件 D，则事件 D 为“3 只颜色全相同”，显然事件 D 与 D 是对立事件P(D)1P(D)11989.要使 3 只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各 1只，要分三次抽取，故 3 次抽到红、黄、白各 1 只的可能结果有 C31C21C116 种，故
7、3 只颜色全不相同的概率为 62729.探究1(1)有放回地抽取与无放回地抽取，其基本事件数是不一样的，从而概率不同(2)如何把第小题等价分解为三个互斥事件的和是解题的关键，只有互斥事件才可考虑概率加法公式(3)弄懂“全相同”的对立面是“不全相同”，而不是“全不相同”，逻辑联结词中一些关键词语的否定要精通(4)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求解时可先转化为求其对立事件的概率当 A 的概率较易求得时则由 P(A)1P(A)求得事件 A 的概率 思考题1 某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能(1)求3个景区都有
8、部门选择的概率(2)求恰有2个景区有部门选择的概率【解析】某个单位的 4 个部门选择 3 个景区可能出现的结果数为 34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等(1)3 个景区都有部门选择可能出现的结果数为 C423！(从 4 个部门中任选 2 个作为 1 组，另外 2 个部门各作为 1组，共 3 组，共有 C426(种)分法，每组选择不同的景区，共有 3！种选法)，记“3 个景区都有部门选择”为事件 A1，那么事件 A1 的概率为 P(A1)C423！3449.(2)分别记“恰有 2 个景区有部门选择”和“4 个部门都选择同一个景区”为事件 A1 和 A3，则事件 A3 的概率为 334
9、 127，事件 A2的概率为 P(A2)1P(A1)P(A3)149 1271427.例2 今有标号为1,2,3,4,5的五封信，另有同样标号的五个信封现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率【解析】设恰有两封信配对为事件A，恰有三封信配对为事件B，恰有四封信(也即五封信配对)为事件C，则“至少有两封信配对”事件等于ABC，且A、B、C两两互斥P(A)C522A55，P(B)C53A55，P(C)1A55所求概率 P(A)P(B)P(C)31120答：至少有两封信配对的概率是 31120.探究2“至多”“至少”问题往往需要分解为几个互斥事件，若包含的互斥事件
10、较多，而其对立事件比较简单时，可求出对立事件的概率 思考题2(1)例2改为：试求每封都不配对的概率【解析】所求事件概率并不好求所以求对立事件，即至少有一封配对的概率，设恰有一封配对的为事件 D，P(D)C519A55 45A55.由例 1 知至少有一封配对的概率为 P(A)P(B)P(C)P(D)761201930每封都不配对的概率为 119301130.(2)已知8支球队中有3只弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求()A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；()A组中至少有两支弱队的概率【分析】()问事件：A、B组中有一组恰有两支弱队包含事件A组有2支弱队且B组有1支弱队和
11、A组有1支弱队且B组有2支弱队，由此产生下列解法一，事件：A、B组中有一组恰有两支弱队的对立事件为三支弱队分在同一组，由此产生解法二，()问中事件A组至少有两支弱队包含事件A组恰有两支弱队和A组中有三支弱队，由此产生解法一事件A组至少有两支弱队与事件B至少有两支弱队是对立事件由此产生解法二【解析】()解法一：有一组恰有两支弱队的概率为C32C52C84 C32C52C84 67解法二：三支弱队同在一组的概率为C51C84C51C8417故有一组恰有两支弱队的概率为 11767()解法一：A 组中至少有两支弱队的概率为C32C52C84 C33C51C84 12解法二：A、B 两组有一组至少有两
12、支弱队的概率为 1，由于对 A 组、B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以 A 组中至少有两支弱队的概率为12 例3 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5，移栽后成活的概率分别为0.7,0.9.()求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；()求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率【分析】()问中事件“甲、乙两种果树至少有一种果树成苗”，从正面分析有三种可能，较复杂，不妨从其对立面“甲、乙两种果树都不能成苗”入手，即 A1 A2，再根据题意 P(A1)0.6，P(A2)0.5，求得 P(A1 A2)，进而求得 P(A1A2
13、)；()问中“恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活”可以有两种情况：一是甲种果树成活，二是乙种果树成活，分两种情况讨论即可解题【解析】分别记甲、乙两种果树成苗为事件 A1，A2；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件 B1，B2，则 P(A1)0.6，P(A2)0.5，P(B1)0.7，P(B2)0.9.()甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为：P(A1A2)1P(A1 A2)10.40.50.8；()法一：分别记甲，乙两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A，B，则 P(A)P(A1B1)0.42，P(B)P(A2B2)0.45.恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为P(A B A B)0.420
14、.550.580.450.492.法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为P(A1B1 A2 A1B1A2 B2 A1 A2B2A1 B1 A2B2)0.492.探究3 把复杂事件分解为几类互斥事件的和，是求解事件概率的常用方法，概据事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)有时考虑正面分类较复杂的情况下，往往找其对立事件，根据P(A)1P()获解，也是一种很好的方法思考题 3 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率【解析】(1)记“甲投一次命中”为事件 A，
15、“乙投一次命中”为事件 B，则P(A)12，P(B)25，P(A)12，P(B)35.恰好命中一次的概率为 PP(A)P(B)P(A)P(B)1235122512.(2)事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为 P 12123535 9100，甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少有一次命中的概率为 P1 P 1 9100 91100.1利用互斥事件的概率加法公式求概率，首先要确定各事件彼此互斥，然后分别求出各事件的概率，再求和 2求“至多”、“至少”、“不少于”等词句表达的事件的概率时，常先求其对立事件的概率 3互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 1(09全国卷)甲、乙
16、二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率 解析 记Ai表示事件：第i局甲获胜，i3,4,5.Bj表示事件：第j局乙获胜，j3,4.(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛 AA3A4B3B4.由于各局比赛结果相互独立，故 P(A)P(A3A4B3B4)P(A3A4)P(B3B4)P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)0.60.60.40.40.52.(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中
17、，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 BA3A4B3A4A5A3B4A5.由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5)P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5)0.60.60.40.60.60.60.40.60.648.2(09福建)某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考试已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目 B 每次考
18、试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响()求他不需要补考就可获得证书的概率；()在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.思路分析()不需补考就获得证书的事件由两个独立事件构成，利用相互独立事件计算公式()准确找出参加考试的次数值为2,3,4，计算P(2)，P(3)，P(4)，然后利用期望公式解析 设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1，“科目 A 补考合格”为事件 A2；“科目 B 第一次考试合格”为事件 B1，“科目 B 补考合格”为事件 B2.()不需要补考就获得证书的事件为 A1B1，注意到A1与 B1相互独立，则 P(A1B1)P(A1)P(B1)231213.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.()由已知得，2,3,4.注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 P(2)P(A1B1)P(A1 A2)23121313131949，P(3)P(A1 B1 B2)P(A1B1 B2)P(A1 A2B1)23121223121213231216161949，P(4)P(A1 A2 B1 B2)P(A1 A2 B1 B2)1323121213231212 118 11819，故 E24934941983.
