1、2016-2017学年山西省太原五中高三（上）10月段考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分）1已知集合A=x|x2x60，B=x|x20，则R（AB）=（）Ax|x2或x3Bx|x2或x3Cx|x2或x3Dx|x2或x32已知向量=（，1），=（+2，1），若|+|=|，则实数的值为（）A1B2C1D23下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的是（）Ay=By=cos xCy=3xDy=ln|x|4设函数f（x）=ln xax2x，若x=1是f（x）的极值点，则a的值为（）A0B1C2D35已知f（x）=exx，g（x）=lnx+x+1，命题p：xR，f（x）0，命题q：x0（0，+
2、），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）Ap是真命题，p：x0R，f（x0）0Bp是假命题，p：x0R，f（x0）0Cq是真命题，q：x（0，+），g（x）0Dq是假命题，q：x（0，+），g（x）06如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点， =， =，则=（）AB C +D +7已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为若，则函数f（x）在上的值域为（）A1，2BCD8若sin=1tan10sin，则锐角的值为（）A40B50C60D709函数f（x）=cosx与函数g（x）=|log2|x1|的图象所有交点
3、的横坐标之和为（）A2B4C6D810设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若ABC为正三角形，则m2n=（）A8B12C12D1511已知函数f（x）=2sin xcos x2sin2x+1（xR），若在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，A为锐角，且f（A+）=，则ABC面积的最大值为（）ABCD12已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A1， +2B1，e22C+2，e22De22，+）二、填空题（
4、每题5分）13已知|=4，|=2，且与夹角为120，则（+2）（+）=14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，B=45，则角A的大小为15已知函数f（x）=xsinxcosx的图象在点A（x0，f（x0）处的切线斜率为1，则tanx0的值为16已知关于x的方程x2alnxax=0有唯一解，则实数a的取值范围为三、解答题17如图，在梯形ABCD中，已知ADBC，AD=1，BD=2，CAD=，tanADC=2，求：（1）CD的长；（2）BCD的面积18已知f（x）=，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），xR（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在AB
5、C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值19如图，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3tkm，且半径增大到81km时不再变化一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min（） 当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和表示无人侦察机到O点的距离OE；（）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由20已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（1）若a=1，求函数f（x）
6、的极值；（2）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间21设函数f（x）=k（+lnx）（k为常数，e为自然对数的底数）（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围请在下列两题中任选一题作答选修4-4：坐标系与参数方程选讲22在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin（+）=3，射线OM：=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x+1|x|
7、2（）解不等式f（x）0（）若存在实数x，使得f（x）|x|+a，求实数a的取值范围2016-2017学年山西省太原五中高三（上）10月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1已知集合A=x|x2x60，B=x|x20，则R（AB）=（）Ax|x2或x3Bx|x2或x3Cx|x2或x3Dx|x2或x3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x2x60=x|2x3，B=x|x2，则AB=x|2x3，R（AB）=x|x2或x3故选：A2已知向量=（，1），=（+2，1），若|+|=|，则实数的值为（）A1B2
8、C1D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】先根据已知条件得到，带入向量的坐标，然后根据向量坐标求其长度并带入即可【解答】解：由得：；带入向量的坐标便得到：|（2+2，2）|2=|（2，0）|2；（2+2）2+4=4；解得=1故选C3下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的是（）Ay=By=cos xCy=3xDy=ln|x|【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】逐一判断各个选项中的函数是否满足既是偶函数又在（0，+）上单调递增，从而得出结论【解答】解：由于函数y=不是偶函数，故排除A；由于y=cos x在（0，+）上不满足单调递增，故排除B；由于函数y=3x不是偶函数，故排除C；由于函
9、数y=ln|x|既是偶函数又在（0，+）上单调递增，故D满足条件，故选：D4设函数f（x）=ln xax2x，若x=1是f（x）的极值点，则a的值为（）A0B1C2D3【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，利用函数的极值点，列出方程求解即可【解答】解：函数f（x）=ln xax2x，的定义域为：x0，函数的导数为：y=，x=1是f（x）的极值点，可得1a1=0，解得a=0经检验可知a=0时，x=1是f（x）的极值点，故选：A5已知f（x）=exx，g（x）=lnx+x+1，命题p：xR，f（x）0，命题q：x0（0，+），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）Ap是真命题，
10、p：x0R，f（x0）0Bp是假命题，p：x0R，f（x0）0Cq是真命题，q：x（0，+），g（x）0Dq是假命题，q：x（0，+），g（x）0【考点】全称命题；特称命题【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可【解答】解：f（x）=ex1，由f（x）0得x0，由f（x）0得x0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e00=10=10，xR，f（x）0成立，即p是真命题g（x）=lnx+x+1在（0，+）上为增函数，当x0时，g（x）0，g（1）=0+1+1=20，则：x0（0，+），使得g（x0）=0成立，即命
11、题q是真命题则p：x0R，f（x0）0，q：x（0，+），g（x）0，综上只有C成立，故选：C6如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点， =， =，则=（）AB C +D +【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可【解答】解：如图：连结CD，OD，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，AODC是平行四边形，=故选：D7已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为若，则函数f（x）在上的值域为（）A1，2BCD【考点】正弦函数的定义域和值域【分析】求出f（x）的表达式，
12、从而求出f（x）在闭区间上的值域问题【解答】解：函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，函数的周期是，=2，由f（）=0，得：，解得A=，=，f（x）=sin（2x+），x0，2x+，显然x=时，f（x）最大，x=时，f（x）最小，则函数f（x）在上的值域为，故选：C8若sin=1tan10sin，则锐角的值为（）A40B50C60D70【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】变形利用两角和差的正弦公式、倍角公式即可得出【解答】解：sin=1tan10sin，sin=cos40=sin50，为锐角，=50故选：B9函数f（x）=cos
13、x与函数g（x）=|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为（）A2B4C6D8【考点】函数的零点；函数的图象【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案【解答】解：由图象变化的法则可知：y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=log2|x1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g（x）=|log2|x1|的图象；又f（x）=cosx的周期为=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，由中点坐标公式可得：xA+xD=2，xB+xC=2故所有交点的横坐标之和为4，故
14、选B10设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若ABC为正三角形，则m2n=（）A8B12C12D15【考点】函数的图象【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BCy轴，ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果【解答】解：根据题意，设A（m，n），B（x0，log2x0），C（x0，2+log2x0），线段BCy轴，ABC是等边三角形，BC=2，2+log2m=n，m=2n2，4m=2n；又x0m=，m=x0，x0=m+；又2+log2x0n=1，log2x0=n1，x
15、0=2n1=；m+=；2m+2=2n=4m，m=，2n=4；m2n=4=12；故选：B11已知函数f（x）=2sin xcos x2sin2x+1（xR），若在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，A为锐角，且f（A+）=，则ABC面积的最大值为（）ABCD【考点】余弦定理【分析】利用同角三角函数基本关系化简函数解析式为f（x）=sin（2x+），由f（A+）=，可求得cos2A=，而A为锐角，可求得cosA、sinA，又a=，利用余弦定理与基本不等式可得bc+，从而可求得ABC面积S的最大值【解答】解：f（x）=2sinxcosxsin2x+1=2sinxcosx+cos2x
16、=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）f（A+）=，sin（2A+）=，cos2A=，2cos2A1=，A为锐角，即0A，cosA=，sinA=又a=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即（）2=b2+c22bc，b2+c22bc，bc+S=bcsinA（+）=故选：A12已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A1， +2B1，e22C+2，e22De22，+）【考点】对数函数的图象与性质【分析】由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解，构造函数f
17、（x）=2lnxx2，求出它的值域，得到a的范围即可【解答】解：由已知，得到方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解设f（x）=2lnxx2，求导得：f（x）=2x=，xe，f（x）=0在x=1有唯一的极值点，f（）=2，f（e）=2e2，f（x）极大值=f（1）=1，且知f（e）f（），故方程a=2lnxx2在上有解等价于2e2a1从而a的取值范围为1，e22故选B二、填空题（每题5分）13已知|=4，|=2，且与夹角为120，则（+2）（+）=12【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出，再将（+2）（+）展开计算即可【解答】解： =42cos120=4（+2）（+）=1612+8=1
18、2故答案为：1214在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，B=45，则角A的大小为30【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理求出sinA的值，再利用大边对大角即可求出角A的值【解答】解：ABC中，a=，b=2，B=45，由正弦定理得， =，sinA=；又ab，AB，即角A=30故答案为：3015已知函数f（x）=xsinxcosx的图象在点A（x0，f（x0）处的切线斜率为1，则tanx0的值为【考点】导数的几何意义【分析】先求函数f（x）的导数，然后令f（x0）=1，求出x0的值后再求其正切值即可【解答】解：f（x）=xsinxcosxf（x）=又因为f（x0）=1
19、tanx0=tan（）=故答案为：16已知关于x的方程x2alnxax=0有唯一解，则实数a的取值范围为（，0）1【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由题意有x2=alnx+ax=a（lnx+x） ，则可变换为： =；方程x2alnxax=0有唯一解即式中y= 与 g（x）图形有唯一交点；【解答】解：因为f（x）=x2alnxax=0，即有x2=alnx+ax=a（lnx+x） ，函数定义域为x（0，+）；x20，a0，且lnx+x0，则可变换为： =；令g（x）= （x0），则g（x）=；方程x2alnxax=0有唯一解即式中y= 与 g（x）图形有唯一交点；令g（x）=0，则导函数零点
20、x=1；当x（0，1）时，g（x）0，则g（x）在（0，1）上单调递增；当x（1，+）时，g（x）0，则g（x）在（1，+）上单调递减；要使得y= 与 g（x）图形有唯一交点，即=1 或 a=1或a0故答案为：（，0）1三、解答题17如图，在梯形ABCD中，已知ADBC，AD=1，BD=2，CAD=，tanADC=2，求：（1）CD的长；（2）BCD的面积【考点】解三角形的实际应用【分析】（1）根据tanADC=2计算sinADC，得出sinACD，在ACD中使用正弦定理求出CD；（2）根据ADC+BCD=180求出sinBCD，cosBCD，在BCD中使用余弦定理解出BC，则SBCD=【解答
21、】解：（1）tanADC=2，sinADC=，cosADC=sinACD=sin（CAD+ADC）=sinCADcosADC+cosCADsinADC=在ACD中，由正弦定理得，即，解得CD=（2）ADBC，ADC+BCD=180，sinBCD=sinADC=，cosBCD=cosADC=在BCD中，由余弦定理得BD2=CD2+BC22BCCDcosBCD，即40=5+BC22BC，解得BC=7或BC=5（舍）SBCD=BCCDsinBCD=718已知f（x）=，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），xR（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在ABC中，角A，B，C所对的边分别
22、为a，b，c，f（A）=1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理【分析】（1）利用向量的数量积公式得到f（x）的解析式，然后化简求单调区间；（2）利用向量共线，得到b，c的方程解之【解答】解：（1）由题意知3分y=cosx在a2上单调递减，令，得f（x）的单调递减区间，6分（2），又，即，8分，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=7.10分因为向量与共线，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3cb=3，c=2.12 分19如图，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边
23、界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3tkm，且半径增大到81km时不再变化一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min（） 当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和表示无人侦察机到O点的距离OE；（）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由【考点】解三角形的实际应用【分析】（I）在OCE中，CE=15t，使用余弦定理表示出OE；（II）令f（t）=OE2r2，通过导数判断f（t）的单调性计算f（t）的最小值，判断OE与测控半径r的大小关系【解答】解：（I）在OCE中，CE=15t，OC=90，由余弦定理得
24、OE2=OC2+CE22OCCEcos=8100+225t22700tcosOE=（II）令f（t）=OE2r2=225t21350t+81009t3，令r=3t=81，解得t=90t9f（t）=27t2+450t1350=27（t）2+187513500f（t）在0，9上是减函数f（9）=2259213509+81009930当0t9时，f（t）0，即OEr雷达不能测控到无人侦察机20已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（）先求出函数f（x
25、）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性【解答】解：（）函数f（x）的定义域是（0，+），当a=1时，f（x）=xlnx，f（x）=1=，x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小f（x）在x=1处取得极小值1；（）h（x）=x+alnx，h（x）=1=，当a+10时，即a1时，在（0，1+a）上，h（x）0，在（1+a，+）上，h（x）0，h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+）递增；当1+a0，即a1时，在（0，+）上h（x）0，h（x）在（0，+）上递增21设函数f（x）=k（+lnx）（k为常数
26、，e为自然对数的底数）（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（1）当k=0时，函数f（x）=（x0）f（x）=分别令f（x）0，f（x）0，解出x的取值范围即可（2）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，f（x）=0有两个实数根化为，因此在（0，2）内存在两个实数根利用导数研究其单调性极值即可【解答】解：（1）当k=0时，函数f（x）=（x0）f（x）=令f（x）0，解得x2令f（x）0，解得0x2函数f（x）在（2，+）上单调递增；在（0，2）上单调递减（2）函数f（x）在（0，2
27、）内存在两个极值点，f（x）=0有两个实数根化为，在（0，2）内存在两个实数根设h（x）=，x（0，2）则h（x）=令h（x）=0，解得x=1令h（x）0，解得1x2；令h（x）0，解得0x1函数h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，2）上单调递增当x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=e而h（2）=，h（0）+请在下列两题中任选一题作答选修4-4：坐标系与参数方程选讲22在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin（+）=3，射线OM：=与圆C的交点为O、P，与
28、直线l的交点为Q，求线段PQ的长【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化【分析】解：（I）利用cos2+sin2=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程（II）设（1，1）为点P的极坐标，由，联立即可解得设（2，2）为点Q的极坐标，同理可解得利用|PQ|=|12|即可得出【解答】解：（I）利用cos2+sin2=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x1）2+y2=1，22cos=0，即=2cos（II）设（1，1）为点P的极坐标，由，解得设（2，2）为点Q的极坐标，由，解得1=2，|PQ|=|12|=2|PQ|=2选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x+1|x|2（
29、）解不等式f（x）0（）若存在实数x，使得f（x）|x|+a，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集（）不等式即|x+|x|+1，由题意可得，不等式有解根据绝对值的意义可得|x+|x|，故有+1，由此求得a的范围【解答】解：（）函数f（x）=|2x+1|x|2=，当x时，由x30，可得x3当x0时，由3x10，求得 x当x0时，由x10，求得 x1综上可得，不等式的解集为x|x3 或x1（）f（x）|x|+a，即|x+|x|+1，由题意可得，不等式有解由于|x+|x|表示数轴上的x对应点到对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|x|，故有+1，求得a32017年1月20日
